《2022年中考数学压轴题函数等腰三角形问题精选解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年中考数学压轴题函数等腰三角形问题精选解析(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习好资料欢迎下载1 2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例 5 已知:如图1,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA2,OC3,过原点O作AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DEDC,交OA于点E(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;(2)将EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G如果 DF与( 1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为56,那么EF 2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)对于( 2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是
2、否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在成立,请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“09 重庆 26” ,拖动点G在OC上运动,可以体验到,DCG与DEF保持全等,双击按钮“M的横坐标为1.2 ” ,可以看到,EF2,GO1拖动点P在AB上运动的过程中,可以体验到,存在三个时刻,PCG可以成为等腰三角形思路点拨1用待定系数法求抛物线的解析式,这个解析式在第(2) 、 ( 3)题的计算中要用到2过点M作MNAB,根据对应线段成比例可以求FA的长3将EDC绕点D旋转的过程中,DCG与DEF保持全等4第( 3)题反客为主,
3、分三种情况讨论PCG为等腰三角形,根据点P的位置确定点Q的位置,再计算点Q的坐标满分解答(1)由于OD平分AOC,所以点D的坐标为( 2,2) ,因此BCAD1由于BCDADE,所以BDAE1,因此点E的坐标为( 0,1) 设过E、D、C三点的抛物线的解析式为cbxaxy2,那么.039,224, 1cbacbac解得65a,613b1c因此过E、D、C三点的抛物线的解析式为1613652xxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页学习好资料欢迎下载2 (2) 把56x代入1613652xxy, 求得512y 所以点M的
4、坐标为512,56如图 2,过点M作MNAB,垂足为N,那么DADNFAMN,即25622512FA解得1FA因为EDC绕点D旋转的过程中,DCGDEF,所以CGEF2因此GO1,EF2GO(3)在第( 2)中,GC2设点Q的坐标为161365,2xxx如图 3,当CPCG2 时,点P与点B(3,2)重合,PCG是等腰直角三角形此时GQQxxy,因此11613652xxx。由此得到点Q的坐标为57,512如图 4,当GPGC2 时,点P的坐标为( 1,2) 此时点Q的横坐标为1,点Q的坐标为613, 1如图 5,当PGPC时,点P在GC的垂直平分线上,点P、Q与点D重合此时点Q的坐标为( 2,
5、2) 图 3 图 4 图 5 考点伸展在第( 2)题情景下,EDC绕点D旋转的过程中,FG的长怎样变化?设AF的长为m,那么82)2()2(222mmmFG点 F 由 E开始沿射线EA运动的过程中,FG先是越来越小,F与A重合时,FG达到最小值22;F经过点A以后,FG越来越大,当C与O重合时,FG达到最大值4图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页学习好资料欢迎下载3 例 6 在平面直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为( 1,0) ,点C的坐标为( 0,4) ,直线CM/x轴(如图1 所示) 点B与点A关于原点对
6、称,直线yxb(b为常数)经过点B,且与直线CM相交于点D,联结OD(1)求b的值和点D的坐标;(2)设点P在x轴的正半轴上,若POD是等腰三角形,求点P的坐标;(3)在( 2)的条件下,如果以PD为半径的圆与圆O外切,求圆O的半径图 1 动感体验请打开几何画板文件名“09 上海 24” ,拖动点P在x轴正半轴上运动,可以体验到,POD的形状可以成为等腰三角形,分别双击按钮“PDPO” 、 “ODOP”和“DODP”可以显示三个等腰三角形在点P运动的过程中,两个圆保持相切,可以体验到,当PDPO时,圆O不存在思路点拨1第(1)题情景简单, 内容丰富, 考查了对称点的坐标特征、待定系数法、 代入
7、求值、数形结合2分三种情况讨论等腰三角形POD的存在性,三个等腰三角形的求解各具特殊性3圆O与圆P的半径、圆心距都是随点P而改变,但是两圆外切,圆心距等于半径和的性质不变满分解答(1)因为点A的坐标为( 1,0) ,点B与点A关于原点对称,所以点B的坐标为( 1,0) 将B( 1,0)代入yxb,得b1将y4代入yx1,得x3所以点D的坐标为( 3, 4) (2)因为D(3,4) ,所以OD5,3cos5DOP如图 2, 当PDPO时, 作PEOD于E 在 RtOPE中,3cos5OEDOPOP,52OE,所以256OO此时点P的坐标为25(,0)6如图 3,当OPOD5 时,点P的坐标为(5
8、,0)如图 4,当DODP时,点D在OP的垂直平分线上,此时点P的坐标为(6,0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页学习好资料欢迎下载4 图 2 图 3 图 4 ( 3)圆P的半径PrPD,两圆的圆心距为OP当两圆外切时,圆O的半径OrOPPD如图 2,当PDPO时,0Or,此时圆O不存在如图3,当OPOD 5 时,作DHOP于H在 RtDHP中,DH4,HP2,所以2 5DP此时52 5OrOPPD如图 4,当DODP时,651OrOPPD考点伸展如图 5,在本题情景下,如果圆P与圆C外切,那么点P的变化范围是什么?如图 6,当圆P经过点C时,点P在CD的垂直平分线上,点P的坐标为3(,0)2因此当点P在x轴上点3(,0)2的右边时,圆P与圆C外切图 5 图 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页