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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思xy0ABCMD5FAPHBQFFPHy0xA解圆锥曲线问题常用方法例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P 的坐标为 _ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为。分析:(1) A 在抛物线外,如图,连PF,则PFPH,因而易发现,当A、P、F 三点共线时,距离和最小。( 2)B 在抛物线内,如图,作QRl 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时,距离和最小。解: (1) (2,2)连PF,当A、P、 F 三点共线时,PFAPPHA
2、P最小,此时AF 的方程为) 1(13024xy即 y=22(x-1), 代入 y2=4x 得 P(2,22), (注:另一交点为(2,21),它为直线AF 与抛物线的另一交点,舍去)( 2) (1 ,41)过 Q 作 QR l 交于 R,当 B、Q、R 三点共线时,QRBQQFBQ最小,此时Q 点的纵坐标为 1,代入 y2=4x 得 x=41, Q(1 ,41) 点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。例 2、F 是椭圆13422yx的右焦点, A(1,1) 为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。( 1)PFPA的最小值为( 2)PFPA2的最小值为分
3、析: PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。解: (1)4-5设另一焦点为F,则F(-1,0)连 AF,PF542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当 P是FA 的延长线与椭圆的交点时, PFPA取得最小值为4-5。( 2)作出右准线l,作 PHl 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2, c=1, e=21,PHPFPHPF2,21即PHPAPFPA2当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为3142Axca例 3、 动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切 ,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方
4、程。分析: 作图时, 要注意相切时的 “图形特征” :两个圆心与切点这三点共线(如图中的A、M 、C 共线, B、 D、 M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思MDMC) 。解:如图,MDMC,26MBMADBMBMAAC即8MBMA(* )点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为1151622yx点 评 : 得 到 方 程 ( * ) 后 , 应 直 接 利 用 椭 圆 的 定 义 写 出 方
5、 程 , 而 无 需 再 用 距 离 公 式 列 式 求 解 , 即 列 出4) 1() 1(2222yxyx,再移项,平方,相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!例 4、 ABC 中, B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB=53sinA,求点 A 的轨迹方程。分析:由于sinA、sinB、 sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以2R(R 为外接圆半径) ,可转化为边长的关系。解: sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=532RsinA BCACAB53即6ACAB(* )点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) 2a=6, 2c=10 a=3, c
6、=5, b=4 所求轨迹方程为116922yx(x3)点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)例 5、定长为3 的线段 AB 的两个端点在y=x2上移动, AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设A(x1,x12),B(x2, X22),又设AB 中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0关于 x0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。( 2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M 到准线的距离,想到用定义法。解法一:设A(x1,x12),B(x2,x22),AB 中点 M(x0,y0)
7、 则0222102122221221229)()(yxxxxxxxxx由得 (x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即(x1+x2)2-4x1x2 1+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得(2x0)2-(8x02-4y0) 1+(2x0)2=92020041944xxy,1149)14(4944202020200xxxxy, 5192450y当 4x02+1=3 即220x时,45)(min0y此时)45,22(M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页读书之法 ,在循序
8、而渐进 ,熟读而精思xy0MABA1A2M1M2B1B2xyF1F20ABCD法二:如图,32222ABBFAFBBAAMM232MM, 即23411MM,451MM, 当 AB 经过焦点F 时取得最小值。M 到 x 轴的最短距离为45例 6、已知椭圆)52(1122mmymx过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、 D、设 f(m)=CDAB,( 1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值。分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A、B 来源于“不同系统” ,A 在准线上, B 在椭圆上,同样 C 在椭圆上, D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线
9、段“投影”到x 轴上,立即可得防)()(22)(2)()(CDABCDABXxxxxxxxmf)()(2DACBxxxx)(2CBXx解 : ( 1 ) 椭 圆1122mymx中 , a2=m, b2=m-1 , c2=1, 左 焦 点F1(-1,0) 则BC:y=x+1, 代 入 椭 圆 方 程 即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-)52(122mmm12222)()(2)()(2)(2121mmxxxxxxxxxxCDABmfCACDAB
10、( 2))1211(2121122)(mmmmf当 m=5 时,9210)(minmf当 m=2 时,324)(maxmf点评:此题因最终需求CBxx,而 BC 斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、 C坐 标 代 入 作 差 , 得0100kmymx, 将y0=x0+1 , k=1代 入 得01100mxmx, 120mmx, 可 见122mmxxCB当然,解本题的关键在于对CDABmf)(的认识,通过线段在x 轴的“投影”发现CBxxmf)(是解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共
11、10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思此题的要点。【典型例题】例 1:已知 P(a,b) 是直线 x+2y-1=0 上任一点,求S=136422baba的最小值。分析:由此根式结构联想到距离公式,解: S=22)3()2(ba设 Q(-2,3),则 S=|PQ|, 它的最小值即Q到此直线的距离Smin5535|1322|点评:此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题(注:可令根式内为t 消元后,它是一个一元二次函数)例 2:已知点P(x,y) 是圆 x2+y2-6x-4y+12=0上一动点,求xy的最值。解:设 O (0,0) ,则xy表示直线OP的斜率,由图可知,当直线OP
12、与圆相切时,xy取得最值,设最值为k,则切线: y=kx, 即 kx-y=0 圆(x-3)2+(y-2)2=1, 由圆心( 3,2)到直线kx-y=0 的距离为1 得11|23|2kk, 433k433,433maxminxyxy例 3:直线 l :ax+y+2=0 平分双曲线191622yx的斜率为1 的弦,求a 的取值范围 . 分析: 由题意,直线l 恒过定点P(0,-2),平分弦即过弦中点,可先求出弦中点的轨迹,再求轨迹上的点M与点 P的连线的斜率即-a 的范围。解:设 A(x1,y1),B(x2,y2) 是双曲线上的点,且AB的斜率为1,AB的中点为M(x0,y0) 则:1916191
13、622222121yxyx- 得01916, 09160022122212yxyyxx即即 M(X0,y0) 在直线 9x-16y=0 上。由 9x-16y=0 得 C79,716,D79,716191622yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思点 M的轨迹方程为9x-16y=0(x7716) kPD=167297160792,167297160792PDk由图知,当动直线l 的斜率 k16729,169169,16729时, l 过斜率为1 的弦 AB的中点 M ,而 k=-
14、a a 的取值范围为:16972,169169,16729点评:此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的,由图得知, 弦 AB中点轨迹并不是一条直线 (9x-16y=0) ,而是这条直线上的两条射线(无端点) 。再利用图形中的特殊点(射线的端点C、D )的属性(斜率)说明所求变量a 的取值范围。例 4:过 y2=x 上一点 A(4, 2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC交抛物线于B、C两点。求证:直线BC的斜率是定值。分析: (1)点 A为定点,点B、C为动点,因直线AB、AC的倾斜角互补,所以kAB与 kAC相反,故可用“ k 参数”法,设 AB的斜率为k,写出直线AB的方程,将A
15、B的方程与抛物线方程联立,因A为已知交点,则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B坐标,同理可得点C坐标,再求BC斜率。(2) 因点 B、 C在抛物线上移动, 也可用“点参数” 法, 设 B (x1,y1) ,C(x2,y2), 因 x1=y12,x2=y22, 即可设 B (y12,y1) ,C(y22,y2) 。再考虑 kAB=-kAC得参数 y1,y2的关系。解法 1:设 AB的斜率为k,则 AC的斜率为 -k AB:y-2=k(x-4),与 y2=x 联立得: y-2=k(y2-4), 即 ky2-y-4k+2=0 y=2 是此方程的一解,2yB=kkykkB21,24xB=yB2=,
16、44122kkk Bkkkkk21,44122kAC=-k, 以-k 代替 k 代入 B点坐标得Ckkkkk21,44122kBC=414414412121222kkkkkkkkkk为定值解法 2:设 B(y12,y1),C(y22,y2) ,则 kBC=122122121yyyyyykAB=2142,214222221121yyykyyyAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思由题意, kAB=-kAC, 4,21212121yyyy则则: kBC=41为定值。点评:解法1 运
17、算量较大,但其方法是一种基本方法,因k 的变化而造成了一系列的变化,最终求出BC的斜率为定值;解法2 利用点 B,C在抛物线上设点,形成含两个参数y1,y2的问题,用整体思想解题,运算量较小。例 5:在圆 x2+y2=4 上,有一定点A (2,0)和两动点B,C(A,B,C按逆时针排列) ,当 B,C两点保持 BAC=3时,求 ABC的重心的轨迹。分析:圆周角BAC=3可转化为圆心角BOC=32,选用“角参数” ,令 B(2cos,2sin )则 C(2cos( +32),2sin(+32) 则重心可用 表示出来。解:连 OB , OC , BAC=3, BOC=32设 B (2cos ,2s
18、in )(0 34), 则 C(2cos( +32),2sin(+32) 设重心 G(x, y) ,则: x=)32cos(2cos2231 y=)32sin(2sin2031即: x=)3cos(132)3cos(123x y=)3sin(32)3sin(23y +)35,3(31)23()123(22yx。 (x0) 有公共点时a的取值范围分析 : 将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解, 用判别式0 可求得a 的取值范围。也可考虑另一代入顺序,从椭圆方程出发设公共点P(用参数形式) ,代入直线方程,转化为三角问题:asinx+bcosx=c何时有解。解法 一 :由 直线 方程3x
19、-4y+10=0得2543xy代入 椭 圆 方 程 得1)2543(1222xxa0421415)1691(22xxa0,得0)1691(4214)415(22a解得3282a,又 a0, 372a解法二:设有公共点为P,因公共点P 在椭圆上,利用椭圆方程设P( acos, sin)再代入直线方程得3acos-4sin+10=0 yxBAC0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思4sin-3acos=10。16910cos1693sin1694222aaaa令 sin =16932
20、aa,cos=16942a,则 sin(- )= 169102a,由1)sin(即 sin2(- ) 1 得11691002a9a284,a2328(a0) a3212点评:解法1,2 给出了两种不同的条件代入顺序,其解法1 的思路清晰,是常用方法,但运算量较大,对运算能力提出较高的要求,解法2 先考虑椭圆,设公共点再代入直线,技巧性强,但运算较易,考虑一般关系:“设直线l :Ax+By+C=0与椭圆12222byax有公共点 , 求应满足的条件”此时,若用解法一则难于运算,而用解法二,设有公共点P,利用椭圆,设P( acos,bsin)代入直线方程得Aacos+Bbsin=-C。12222b
21、BaAC时上式有解。C2A2a2+B2b2因此,从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。高中数学高考总复习圆锥曲线的综合问题习题及详解一、选择题1(2010 聊城模考 )已知双曲线x2a2y2b2 1的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合,且双曲线的离心率等于5,则该双曲线的方程为() A5x245y21 B.x25y241 C.y25x241 D5x254y21 答案 D解析 抛物线 y2 4x 焦点为 (1,0),双曲线中c 1,又 eca5,a55,b2 c2a211545,双曲线方程为x215y2451. 2 (2010 山东郓城 )已知对 kR,直线 ykx10 与椭圆x25y2m
22、1 恒有公共点,则实数m 的取值范围是() A(0,1) B(0,5) C1,5)(5, ) D 1,5) 答案 C解析 直线 ykx1 过定点 (0,1),只要 (0,1)在椭圆x25y2m1 上或共内部即可,从而m1. 又因为椭圆x25y2m1 中 m5, m1,5)(5, )点评 含参数的直线与曲线位置关系的命题方式常常是直线过定点,考虑定点与曲线位置,以确定直线与曲线的位3图中的椭圆C1、C2与双曲线C3、C4的离心率分别为e1、e2、e3、e4,则它们的大小关系是() Ae1e2e3e4B e2e1e3e4Ce1e2e4e3D e2e1e4e2同理 C4的虚轴长 C3的虚轴长,而实轴
23、长相同C4的焦距 C3的焦距e4e3综上可得: e2e1e30),则将 x3y4 代入椭圆方程得,4(b21)y28 3b2y b4 12b20,椭圆与直线x3y 40 有且仅有一个公共点, (83b2)244(b21)(b4 12b2)0,即 (b2 4)(b23)0, b23,长轴长为2b2 42 7,故选 C. 5已知椭圆x2a2y2b21(ab0),过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A、B 两点,若 OA OB0,则椭圆的离心率 e 等于 () A.152B.132C.12D.32答案 A解析 如图, F2(c,0)把 xc 代入椭圆x2a2y2a2 1 得 A(c,b2a)由OA
24、OB0 结合图形分析得|OF2|AF2|,即 cb2a? b2ac? a2 c2 ac? (ca)2ca 10? e2e1 0? e512. 6 (2010 重庆南开中学)双曲线x2ny21(n1)的两焦点为F1, F2, 点 P 在双曲线上, 且满足:|PF1|PF2|2n2,则 PF1F2的面积是 () A1 B.12C2 D4 答案 A解析 由条件知|PF1|PF2|2n|PF1|PF2|2n 2,|PF1|n2n,|PF2|n2n又 |F1F2|2n 1, |PF1|2|PF2|2|F1F2|2,SPF1F212|PF1| |PF2|12(n2n)(n2n)1. 7在同一坐标系中方程a
25、2x2b2y21 与 axby2 0(ab0)的曲线大致是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思答案 D解析 方程 a2x2b2y21,即x21a2y21b21,因为1a20,n0)与直线 y1x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的连线的斜率为12,则椭圆的离心率为() A.12B.22C.32D.62答案 B解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 中点为x1x22,y1y22,mx12ny121,mx22ny221,两式相减得y1y2x1x2mn
26、x1 x2y1 y2,12mn(1),即mn12,离心率e1m1n1m1mn22,故选 B. 9 (2010 福建福州市质检)已知 P 为抛物线y24x 上一个动点,Q 为圆 x2(y4)2 1 上一个动点,那么点P 到点 Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是() A5 B8 C.17 1 D.52 答案 C解析 抛物线 y24x 的焦点为F(1,0),圆 x2(y4)2 1 的圆心为C(0,4),设点 P 到抛物线的准线距离为 d,根据抛物线的定义有d|PF|, |PQ|d |PQ|PF|,由圆的几何性质及三角形两边之和大于第三边可知,当 P、Q、F、C 四点共线时取最小值,故
27、最小值为|FC |1171. 10(2010 北方四校联考)已知抛物线C:y22px(p0),过点 Ap2,0 的直线与抛物线C 交于 M、N 两点, 且MA2AN,过点 M、N 向直线 xp2作垂线,垂足分别为P、Q, MAP 、 NAQ 的面积分别为记为S1与 S2,那么 () AS1S221 BS1S2 52CS1S241 D S1S271 答案 C解析 依题意,点A 为抛物线的焦点,直线xp2为抛物线的准线,则|MP |MA|, |NA|NQ|,PMA QNA,故 S1|MP|MA|sinPMA 4|AN|2sin QNA4S2,故选 C. 二、填空题11(2010 吉林省调研 )已知
28、过双曲线x2a2y2b21 右焦点且倾斜角为45 的直线与双曲线右支有两个交点,则双曲线的离心率 e的取值范围是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思答案 (1,2)解析 由条件知,渐近线的倾斜角小于45 ,即ba1,c2a2a21,c2a22,即 e21, 1e1)解析 设另两个切点为E、F,如图所示,则|PE|PF|,|ME |MB|,|NF |NB|. 从而 |PM| |PN|ME |NF |MB|NB|42 21)13(2010 平顶山市调研)在下列命题中:方程 |x|
29、|y|1 表示的曲线所围成区域面积为2;与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y x;与两定点 (1,0)、(1,0)距离之和等于1的点的轨迹为椭圆;与两定点 (1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于1 的点的轨迹为双曲线正确的命题的序号是_(注:把你认为正确的命题序号都填上) 答案 解析 方程 |x|y|1 与两轴交点A(1,0),B(0, 1),C(1,0),D(0,1)组成正方形的面积S12|AC| |BD|122 22,故真;设与两坐标轴距离相等的点为P(x,y),则 |x|y|, y x,故真;两点E(1,0), F(1,0)的距离 |EF |21,到两点E、F 距离之和等于1 的点不存在,错误;与两点E、F 距离之差的绝对值等于1 的点的轨迹为双曲线正确精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页