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1、注册岩土工程注册岩土工程师_ _基基础考考试_ _数学数学_04_041. 1.行列式的定义行列式的定义行列式的定义行列式的定义一、行列式一、行列式注：行列式是一个数。注：行列式是一个数。2. 行列式的性质行列式的性质利用行列式性质，将行列式化成上三角，再按上式计算利用行列式性质，将行列式化成上三角，再按上式计算余子式与代数余子式余子式与代数余子式3.行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开例例1例例2：设行列式：设行列式二、二、 矩阵矩阵1.矩阵的概念矩阵的概念记作简记为简记为几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量) ).(
2、1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶方阵方阵. .也可记作也可记作只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵( (或或列向量列向量).). 称为称为对角对角对角对角矩阵矩阵矩阵矩阵( (或或对角阵对角阵对角阵对角阵）.（3）形如形如 的方阵的方阵, ,记作记作 （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零零矩阵记作矩阵记作 或或 . .注意注意不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如(5)单位单位阵：对角线上全为阵：对角线上全为1的对角阵的对角阵称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）. .(6)对
3、称矩阵对称矩阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果阶方阵，如果A的元素满足的元素满足 那末那末 称为称为对称阵对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等等.说明说明 2 2）两个矩阵）两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且并且对应元素相等对应元素相等,即即则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作例如例如为为同型矩阵同型矩阵.同型矩阵与矩阵相等同型矩阵与矩阵相等1 1）两个矩阵的行数相等）两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为称为同型矩阵同型矩阵.1) 1) 加法加法加法加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规
4、定为，规定为2.矩阵的运算矩阵的运算2) 2) 数与矩阵相乘数与矩阵相乘数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的线性运算线性运算. .并把此乘积记作并把此乘积记作3) 3) 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘.例例3：计算：计算注：注：
5、（1 1）矩阵乘法）矩阵乘法不满足不满足交换律交换律 (2)(2)矩阵乘法矩阵乘法不满足不满足消去律消去律, ,即即（其中（其中 为数）为数）; 若若A是是 阶阶方阵方阵，则，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 （注注：单位矩阵：单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数在矩阵乘法中的作用类似于数1）定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .例例4 4）矩阵的转置）矩阵的转置）矩阵的转置）矩阵的转置转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质注：若A为对称阵，则5）方阵的行列式）方阵的行列式定义定义 由由 阶
6、方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算性质运算性质伴随矩阵定义伴随矩阵定义行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵伴随矩阵性质伴随矩阵性质称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.6）逆矩阵）逆矩阵逆矩阵定义逆矩阵定义逆矩阵定义逆矩阵定义 对于对于 阶方阵阶方阵 ，如果有一个，如果有一个 阶方阵阶方阵 则说方阵则说方阵 是是可逆可逆的，并把方阵的，并把方阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.使得使得定理定理1 1 方阵方阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 二阶矩阵的
7、逆矩阵用该公式求，三阶及以上矩阵二阶矩阵的逆矩阵用该公式求，三阶及以上矩阵的逆矩阵用初等变换求。的逆矩阵用初等变换求。逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质解：矩阵方程矩阵方程解解定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:3.3.初等变换和初等矩阵初等变换和初等矩阵定义定义2 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型且变换类型相同相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换
8、逆变换逆变换逆变换可逆阵与单位阵等价可逆阵与单位阵等价矩阵的等价矩阵的等价利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：4.矩阵的秩矩阵的秩如果矩阵如果矩阵A A的秩等于该矩阵的行数的秩等于该矩阵的行数( (或列数或列数),),则称为则称为满秩矩阵满秩矩阵, ,可逆矩阵就是满秩矩阵可逆矩阵就是满秩矩阵. .例例6：求矩阵：求矩阵的秩。的秩。解：解：但但A中有中有2阶子式不为零，故阶子式不为零，故例例7解解求矩阵秩的方法：求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩
9、.例例8解解由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知与矩阵的秩有关的结论与矩阵的秩有关的结论1.初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩2.等价矩阵有相同的秩等价矩阵有相同的秩3.设设 则则当当B是可逆矩阵时是可逆矩阵时,有有4.设设 则则三、三、n 维向量维向量 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组1.向量组的线性相关性向量组的线性相关性一个向量由一个向量组线性表示一个向量由一个向量组线性表示解：考虑解：考虑定义定义2 设有两个向量组设有两个向量组（1）若向量组）若向量组B 中每个向量
10、都能由向量组中每个向量都能由向量组A 线性表线性表示，则称向量组示，则称向量组B 能由向量组能由向量组A 线性表示。线性表示。（2）若向量组）若向量组A与向量组与向量组B能相互线性表示，则称这能相互线性表示，则称这两个向量组等价。两个向量组等价。两个向量组等价两个向量组等价向量组的线性相关性向量组的线性相关性则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关由定义由定义3可得：可得：1、任一向量组不是线性相关就是线性无关。、任一向量组不是线性相关就是线性无关。2、含零向量的向量组一定线性相关。含零向量的向量组一定线性相关。3、单个非零向量一定是线性无关、单个非零
11、向量一定是线性无关。4、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。比例。定理定理2 2解解例例10与线性相关性有关的结论与线性相关性有关的结论: :（1）部分相关整体相关。）部分相关整体相关。（2）m 个个n 维向量，当维数维向量，当维数n 小于向量个数小于向量个数m 时一定线性相关。时一定线性相关。例例11：设：设1.1.线性方程组的三种表达方式线性方程组的三种表达方式若记若记（1）四、线性方程组四、线性方程组则上述方程组（则上述方程组（1）可写成矩阵方程）可写成矩阵方程如果将矩阵如果将矩阵A的列向量组记为的列向量组记为则方程组（则方程组（1
12、）还可表为向量方程）还可表为向量方程2. 线性方程组有解的判定条件线性方程组有解的判定条件齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质3.线性方程组解的性质与结构线性方程组解的性质与结构基础解系的定义基础解系的定义注：基础解系不唯一注：基础解系不唯一齐次线齐次线齐次线齐次线性方程组解的结构性方程组解的结构性方程组解的结构性方程组解的结构非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个为非齐次线性方程组的任意一个特特解解.非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组非齐次线性方程组
13、Ax=b的通解为的通解为齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；简形矩阵，便可写出其通解；3. 线性方程组的解法线性方程组的解法例例1212 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组由此即得由此即得例例13 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变
14、换进行初等变换故方程组有解，且有故方程组有解，且有所以方程组的通解为所以方程组的通解为例例14：设：设五、矩阵的特征值和特征向量五、矩阵的特征值和特征向量求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：特征值、特征向量性质特征值、特征向量性质（1 1）属于不同特征值的特征向量是线性无关。）属于不同特征值的特征向量是线性无关。解解例例1515 六、矩阵相似与对角化六、矩阵相似与对角化1、相似矩阵与相似变换的概念、相似矩阵与相似变换的概念2 2、相似矩阵的性质、相似矩阵的性质（1）相似关系是 等价关系（4）相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值。3 3、方阵的对角化、方阵的对角化如
15、果方阵如果方阵A与一对角阵相似与一对角阵相似,则称则称方阵方阵A可对角化可对角化.4、实对称矩阵的性质 (1) (1)特征值为实数；特征值为实数； (2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等； (4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值六、二次型六、二次型称为二次型称为二次型. .只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形称为二次型的标准形例：例：解解例例为为正定二次型正定二次型为为负定二次型负定二次型正正( (负负) )定二次型的概念定二次型的概念例如例如定义：对于不全为定义：对于不全为0的一组实数的一组实数若二次型若二次型f恒为正（恒为正（负负）数，则称二次型为正（）数，则称二次型为正（负负）定的。）定的。二次型二次型f为正定的充要条件是为正定的充要条件是 f的矩阵的矩阵A的特征值都为正。的特征值都为正。谢谢大家！结结 语语
