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1、控制工程基础The Basics of Control EngineeringThe Basics of Control Engineering 第三章 线性系统的时域分析 （稳态误差分析部分）尹尹 怡怡 欣欣TelTel：6233226262332262，E-mailE-mail：yyx_yyx_BlogBlog：http:/ 5:03 PM 第第 2 页页3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制系统的三性分析：控制系统的三性分析：控制系统的三性分析：控制系统的三性分析：稳定性、稳态特性、动态特性稳定性、稳态特性、动态特性稳定性、稳
2、态特性、动态特性稳定性、稳态特性、动态特性 l l对于一个对于一个对于一个对于一个稳定稳定稳定稳定的控制系统而言，稳态误差是反映其的控制系统而言，稳态误差是反映其的控制系统而言，稳态误差是反映其的控制系统而言，稳态误差是反映其控制精控制精控制精控制精度的一种度量度的一种度量度的一种度量度的一种度量，通常又称为稳态性能。，通常又称为稳态性能。，通常又称为稳态性能。，通常又称为稳态性能。l l在控制系统设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。在控制系统设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。在控制系统设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。在控制系统设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。l l研究表明：
3、稳态误差与系统的结构、输入信号的形式有很研究表明：稳态误差与系统的结构、输入信号的形式有很研究表明：稳态误差与系统的结构、输入信号的形式有很研究表明：稳态误差与系统的结构、输入信号的形式有很大关系。大关系。大关系。大关系。l l控制系统设计的任务之一就是要保证系统在稳定的前提下，控制系统设计的任务之一就是要保证系统在稳定的前提下，控制系统设计的任务之一就是要保证系统在稳定的前提下，控制系统设计的任务之一就是要保证系统在稳定的前提下，尽量地减小乃至消除稳态误差。尽量地减小乃至消除稳态误差。尽量地减小乃至消除稳态误差。尽量地减小乃至消除稳态误差。控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的
4、时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 3 页页一、误差与稳态误差一、误差与稳态误差1 1定义定义 误差的两种定义： a. 从输出端定义：等于系统输出量的实际值与希望值之差。这种方法在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量。因此，一般只具有数学意义。 b. 从输入端定义：等于系统的输入信号与主反馈信号之差。 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 4 页页3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算或若设 式中
5、系统的误差传递函数。得到 这种方法定义的误差，在实际系统中是可测量的，故具有一定的物理意义。以后我们均采用从系统输入端定义的误差来进行计算和分析。误差本身是时间的函数，其时域表达式为：式中： 动态分量， 稳态分量。控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 5 页页 稳态误差稳态误差 误差信号误差信号 的稳态分量的稳态分量 。 对稳定系统而言，随着时间趋于无穷，系统的动态过程对稳定系统而言，随着时间趋于无穷，系统的动态过程结束，结束， 将趋于零。根据拉氏变换终值定理，稳定的非将趋于零。根据拉氏变换终值定理，稳定的非单位反馈系统的稳态误差
6、为单位反馈系统的稳态误差为 由上式可知，控制系统的稳态误差与输入信号的形式和由上式可知，控制系统的稳态误差与输入信号的形式和开环传递函数的结构有关。当输入信号形式确定后，系统的开环传递函数的结构有关。当输入信号形式确定后，系统的稳态误差就取决于以开环传递函数描述的系统结构。稳态误差就取决于以开环传递函数描述的系统结构。3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 6 页页 例例: : 一系统的开环传递函数一系统的开环传递函数 求：r(t)=1(
7、t)r(t)=1(t)及及t t时的稳态误差时的稳态误差 解:r(t)=1(t)时,R(s)=1/sr(t)=t时,R(s)=1/s23.63.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 7 页页 2. 2. 系统扰动作用下的稳态误差系统扰动作用下的稳态误差 系统经常处于各种扰动作用下。如：负载力矩的变化，电系统经常处于各种扰动作用下。如：负载力矩的变化，电源电压和频率的波动，环境温度的变化等。因此系统在扰动作源电压和频率的波动，环境温度的变化等。因此系
8、统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。 得到系统的输出拉氏变换表达式为得到系统的输出拉氏变换表达式为 3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 8 页页R(s)R(s)0 0 时：时： 稳态时，误差取其绝对值稳态时，误差取其绝对值 若扰动为单位阶跃信号，即若扰动为单位阶跃信号，即 时时 ， 式中：式中： 3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线
9、性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 9 页页分析可知：分析可知： 扰动作用点前的系统前向通道传递系数越大，扰动作用点前的系统前向通道传递系数越大，由扰动引起的稳态误差就越小。由扰动引起的稳态误差就越小。 所以，为了降低由扰动引起的稳态误差，我们所以，为了降低由扰动引起的稳态误差，我们可以增大扰动作用点前的前向通道传递系数或者在可以增大扰动作用点前的前向通道传递系数或者在扰动作用点以前引入积分环节，但这样不利于系统扰动作用点以前引入积分环节，但这样不利于系统的稳定性。的稳定性。3.6 3.6 线性系统稳态误差计算
10、线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 10 页页二、系统类型二、系统类型 一般情况下，系统的开环传递函数可表示为：一般情况下，系统的开环传递函数可表示为： 注意！注意！分母中有分母中有s项，表示开环传递函数在项，表示开环传递函数在s平面原点处的平面原点处的重重极点。极点。3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 11
11、页页3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算根据开环传递函数在根据开环传递函数在s平面原点处重极点的个数平面原点处重极点的个数,将系统定义为将系统定义为型系统。型系统。=0， 0 型系统，开环传递型系统，开环传递 函数在原点无极点函数在原点无极点=1，型系统，开环传递函数在原点有型系统，开环传递函数在原点有1个极点个极点=2，型系统，开环传递函数在原点有型系统，开环传递函数在原点有2个极点个极点 . . .=n，n 型系统，开环传递函数在原点有型系统，开环传递函数在原点有n个极点个极点一般我们只讨论一般我们只讨论2 2型以下的系统，因型以
12、下的系统，因为为2 2型以上的系统，使系统稳定比较型以上的系统，使系统稳定比较困难困难控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 12 页页三三 、不同信号作用下的稳态误差计算、不同信号作用下的稳态误差计算 1 1、单位阶跃信号作用下的稳态误差、单位阶跃信号作用下的稳态误差 定义：定义： - -为系统的稳态位置误差系数。为系统的稳态位置误差系数。 对于对于0 0型系统型系统: : 对于对于I I型及型及I I型以上系统型以上系统: :3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程
13、基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 13 页页 于是，稳态误差可表示为：于是，稳态误差可表示为： 0 0型系统对阶跃信号的稳态误差为型系统对阶跃信号的稳态误差为一定值，一定值， 大小基本上与开环放大大小基本上与开环放大系数系数 成反比，成反比， 越大，越大， 越小，越小，但总有误差，除非但总有误差，除非 K 为无穷大。所为无穷大。所以以0 0型系统又称为有差系统。为了降型系统又称为有差系统。为了降低稳态误差低稳态误差 ，在稳定条件允许的，在稳定条件允许的前提下，可增大开环放大系数前提下，可增大开环放大系数 。3.6 3.6 线性系统稳态
14、误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 14 页页 2 2、单位速度信号作用下的稳态误差、单位速度信号作用下的稳态误差 r(t)=t 则则 稳态误差为稳态误差为定义定义: : 稳态速度误差系数稳态速度误差系数 0 0 型系统型系统: : 型系统型系统: : 型或高于型或高于型系统型系统: : 习惯上，常把系统在阶跃响应输入作用下的稳态误差称为静差习惯上，常把系统在阶跃响应输入作用下的稳态误差称为静差3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态
15、误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 15 页页 I I型系统的输出能跟踪速度输型系统的输出能跟踪速度输入信号，但总有一定误差。入信号，但总有一定误差。为了使误差不超过规定值，为了使误差不超过规定值，系统的系统的 ，即，即 值必须足值必须足够大。够大。 3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 16 页页 3 3、单位加速度信号作用下的稳态误差、单位
16、加速度信号作用下的稳态误差 r(t)=t2 /2 则则 稳态误差稳态误差定义定义: -: -稳态速度误差系数稳态速度误差系数 0 0 型系统型系统: : 型系统型系统: : 型系统型系统: : 型以上系统型以上系统 : :3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 17 页页当输入为单位加速度信号时，当输入为单位加速度信号时， 型系统的稳态误差为一常值。型系统的稳态误差为一常值。 3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系
17、统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 18 页页表表: : 系统的稳态误差系统的稳态误差1. 1. 稳态误差与输入、系统结构有关。稳态误差与输入、系统结构有关。2. 2. 减小或消除稳态误差的方法：减小或消除稳态误差的方法： a a、增加开环放大系数、增加开环放大系数K K； b b、提高系统的型号数。、提高系统的型号数。系统型号系统型号误差系数误差系数Kp Kv Ka单位阶跃单位阶跃输入输入单位速度单位速度输入输入单位加速单位加速度输入度输入3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计
18、算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 19 页页例例: : 如下系统，当输入信号分别为如下系统，当输入信号分别为 、 和和 时，试分别求出系统的稳态误差。时，试分别求出系统的稳态误差。解：此系统为解：此系统为I I型系统型系统 输入为输入为 t 时的稳态误差为时的稳态误差为 3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 20 页页3.6 3
19、.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算4 4、扰动输入作用下的稳态误差（、扰动输入作用下的稳态误差（输入端定义输入端定义）控制系统的典型结构图控制系统的典型结构图控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 21 页页例：如下系统，求例：如下系统，求 r(t)=t 及及 n(t)= 1(t) 时的时的 ess解：解：(1) (1) 控制信号作用（令控制信号作用（令N(s)=0N(s)=0）3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系
20、统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 22 页页(2) (2) 扰动信号作用（令扰动信号作用（令R(s)R(s)0 0） 系统总误差：系统总误差：3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 23 页页3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算系统结构图如下图所示，设被控对象的系统结构图如下图所示，设被控对象的传递函数为：传递函数为：求当采用比例调节器和比例积分调节器时，系统对阶求当采用比例调节器和比例积分调节器时
21、，系统对阶跃作用信号的稳态误差。跃作用信号的稳态误差。例例3.5.13.5.1控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 24 页页 可见，阶跃扰动输入下系统的稳态误差为常值，可见，阶跃扰动输入下系统的稳态误差为常值，它与阶跃信号的幅值成正比，与控制器比例系数它与阶跃信号的幅值成正比，与控制器比例系数K KP P成反比。成反比。若令若令U U( (s s)=0)=0，N N( (s s)= )= N N/ /s s，则系统对阶跃扰动输入的稳态误差为：则系统对阶跃扰动输入的稳态误差为：3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计
22、算解解若采用比例调节器，即若采用比例调节器，即由图可以看出，系统对给定输入为由图可以看出，系统对给定输入为型系统，令扰动型系统，令扰动NN( (s s)=0)=0，给定输入，给定输入U U( (s s)=)=U U/ /s s，则系统对阶跃给定输入，则系统对阶跃给定输入的稳定误差为零。的稳定误差为零。控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 25 页页这时控制系统对给定输入来说是这时控制系统对给定输入来说是型系统，因此给定输型系统，因此给定输入为阶跃信号、斜率信号时，系统的稳定误差为零。入为阶跃信号、斜率信号时，系统的稳定误差为零。3
23、.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算若采用比例积分调节器，即：若采用比例积分调节器，即：控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 26 页页3.63.6线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算结论：结论：（1）采用比例积分调节器能够消除阶跃扰动作用下的）采用比例积分调节器能够消除阶跃扰动作用下的稳态误差。其物理意义在于：因为调节器中包含积分稳态误差。其物理意义在于：因为调节器中包含积分环节，只要稳态误差不为零，调节器的输出必然继续环节，只要稳态误差不为零，调节器的输出必然继续增加，并力图减小这个误差。只有当稳态误差为
24、零时，增加，并力图减小这个误差。只有当稳态误差为零时，才能使调节器的输出与扰动信号大小相等而方向相反。才能使调节器的输出与扰动信号大小相等而方向相反。这时，系统才进入新的平衡状态。这时，系统才进入新的平衡状态。（2）对干扰输入而言，只有在输入与干扰之间存在积）对干扰输入而言，只有在输入与干扰之间存在积分环节时，误差才会为分环节时，误差才会为0。控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 27 页页3.63.6线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算4 4）减小稳态误差的方法）减小稳态误差的方法（1 1）保证系统中各个环节（或元件），特别
25、是反馈保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；（2 2）对输入信号而言，）对输入信号而言，增大开环放大系数，以提高增大开环放大系数，以提高系统对给定输入的跟踪能力；系统对给定输入的跟踪能力；（3 3）对干扰信号而言，）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间增大输入和干扰作用点之间环节的放大系数，有利于减小稳态误差；环节的放大系数，有利于减小稳态误差；（4 4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。号提高，可以消除不同输入信号时的稳
26、态误差。控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 28 页页3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算（5 5）采用前馈控制（复合控制）采用前馈控制（复合控制）对干扰补偿对干扰补偿控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 29 页页3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算对给定输入进行补偿对给定输入进行补偿控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 30 页页3.6 3.6 线性系统稳态误
27、差计算线性系统稳态误差计算-R(s)=0N(s)C(s)补偿装置补偿装置放大器放大器滤波器滤波器系统输出系统输出: :解解例例3.5.23.5.2控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 31 页页3.63.6线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算若选若选响响,但不容易物理实现。因为一般物理系统的传递函但不容易物理实现。因为一般物理系统的传递函数都是分母的阶次高于或等于分子的阶次。数都是分母的阶次高于或等于分子的阶次。则系统的输出不受扰动的影则系统的输出不受扰动的影如果选如果选则在稳态情况下则在稳态情况下,这就是稳态全补偿这就是稳态
28、全补偿,实现很方便。实现很方便。控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 32 页页3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算（6 6）采用串级控制抑制内回路扰动）采用串级控制抑制内回路扰动主调节器主调节器副调节器副调节器主回路主回路内回路内回路控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 33 页页3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算内回路内回路传函：传函：主回路主回路传函：传函：控制的目的是通过主、副调节器的选择使得：控制的目的是通过主、副调
29、节器的选择使得：控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 34 页页3.6 3.6 线性系统稳态误差计算线性系统稳态误差计算假设：假设：则：则：只要只要充分大则有好的抑制效果，一般副回路的充分大则有好的抑制效果，一般副回路的系统阶数低，系统阶数低，通常可以取的较大，故有：通常可以取的较大，故有：甚至甚至控制工程基础控制工程基础线性系统的时域分析线性系统的时域分析7/19/2024 5:03 PM 第第 35 页页本章小结本章小结本章小结本章小结l典型信号与时域性能指标典型信号与时域性能指标l一阶系统的时域响应与性能分析一阶系统的时域响应与性能分析l二阶系统的时域响应与性能分析二阶系统的时域响应与性能分析l高阶系统的时域响应与性能分析高阶系统的时域响应与性能分析l线性系统状态方程的解线性系统状态方程的解l稳态误差的计算稳态误差的计算
