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1、1.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数1.求过曲线求过曲线y=x3-2x上的点上的点(1,-1)的切线方程的切线方程求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否在曲线上，还要分在曲线上，还要分“该点是切点该点是切点”和和“该点不是切点该点不是切点”两种两种情况进行讨论，解法复制。若设情况进行讨论，解法复制。若设M(x0,y0)为曲线为曲线y=f(x)上上一点，则以一点，则以M为切点的曲线的切线方程可设为为切点的曲线的切线方程可设为y-y0=f(x)(x-x0)，利用此切线方程可以简化解题，避免，利用此切线方程可以简化解题，避免疏漏。疏漏
2、。（4）.对数函数的导数对数函数的导数:（5）.指数函数的导数指数函数的导数: （3）.三角函数三角函数 ： （1）.常函数：常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）.幂函数幂函数 ： (xn)/ nxn 1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式一、复习回顾：基本初等函数的导数公式函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则
3、 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G = ( a , b )二、复习引入二、复习引入:oyxyox1oyx1在（ ，0）和（0, ）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（ ，1）上是减函数，在（1, ）上是增函数。在( ,)上是增函数概念回顾概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性； (2)
4、函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的的前提下前提下,比较比较f(x1)f(x2)与的大小与的大小,在函数在函数y=f(x)比较复杂比较复杂的情况下的情况下
5、,比较比较f(x1)与与f(x2)的大小并不很容易的大小并不很容易.如果利用如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单导数来判断函数的单调性就比较简单.观观 察察: 下图下图(1)表示高台跳水运动员的高度表示高台跳水运动员的高度 h 随时间随时间 t 变化的变化的函数函数 的图象的图象, 图图(2)表示高台跳水运表示高台跳水运动员的速度动员的速度 v 随时间随时间 t 变化的函数变化的函数 的图象的图象. 运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO 运动员从起跳到运动员从起跳到
6、最高点最高点, ,离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t 的增加而增加的增加而增加, ,即即h(th(t) )是增函数是增函数. .相应相应地地, , 从最高点到入水从最高点到入水, ,运动员运动员离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t t的的增加而减少增加而减少, ,即即h(th(t) )是减函数是减函数. .相应地相应地, ,(1)(1)(2)(2)xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系. 在某个区间在某个区间( (a, ,b) )内内, ,如果
7、如果 , ,那么函数那么函数 在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增; ; 如果如果 , ,那那么函数么函数 在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减. .如果恒有如果恒有 ，则，则 是常数。是常数。题题1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4 , 或或 x 1时时,当当 x = 4 , 或或 x = 1时时,试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.解解: 当当1 x 4 , 或或 x 0(或或f(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）确认并指出递增区间（或递减区间）2、证明可导函数、证明可导函数f(x)在在(a,b)内的单调性的方法：内的单调性
8、的方法：(1)求求f(x)(2)确认确认f(x)在在(a,b)内的符号内的符号(3)作出结论作出结论练习练习判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:例例3 3 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注入水的体积相同) )注注入下面四种底面积相同的容器中入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别找出与各容器对应请分别找出与各容器对应的水的高度的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO 一般地一般
9、地, , 如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大的绝对值较大, , 那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快, , 这时这时, , 函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”( (向上或向上或向下向下) ); ; 反之反之, , 函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些. . 如图如图, ,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 内的图象内的图象平缓平缓. .练习练习2.函数函数 的图象如图所示的图象如图所示, 试画出导函数试画出导函数 图象图象的大致形状的大致形状练习练习3.讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的
10、单调区间.解解: 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是练习练习4.求证求证: 函数函数 在在 内是内是减函数减函数.解解: 由由 , 解得解得 , 所以函数所以函数 的递减区间是的递减区间是 , 即函数即函数 在在 内是减内是减函数函数.一、求参数的取值范围一、求参数的取值范围增例增例2：求参数：求参数解：由已知得解：由已知得因为函数在（因为函数在（0，1上单调递增上单调递增增例增例2：在某个区间上，在某个
11、区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增）在这个区间上单调递增（递减）；但由（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于是不够的。还有可能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证增例增例2：本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：例例3：方程根的问题：方程根的问题求证：方程求证：方程 只有一个根。只有一个根。作业：作业：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取值范围。的取值范围。
