《2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习21：比较大小》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习21：比较大小（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（21）比较大小一、内容提要1比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：当 ab0 时，ab；当 ab0 时，a=b；当 ab0 时 ab。2通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。3需要讨论的可借助数轴，按零点分区。4实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a 是实数，则 a20，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如(a b)20，a2+10，a2
2、+a+1=(a+21)2+430 a20，（a2+a+2）0 当 ab 时，（ ab）20 二、例题例1 试比较 a3与 a 的大小解：a3a=a(a+1)(a 1) a3a=0,即 a3=a 以1，0，1 三个零点把全体实数分为 4 个区间，由负因数的个数决定其符号：当 a1 时，a+10,a 0,a 10（3 个负因数） a3a0 即 a3a 当1a0 时a0,a 10（2 个负因数）a3a0 即 a3a 当 0a1 时，a10（1 个负因数）a3a0 即 a3a 当 a1 时，没有负因数，a3a0 即 a3a 综上所述当 a=0,1，1 时， a3=a 当 a1 或 0a1 时，a3a
3、当1a0 或 a1 时，a3a。（试总结符号规律）例2 什么数比它的倒数大？解：设这个数为 x，则当并且只当 x x10 时，x 比它的倒数大，x x1xxxxx)1)(1(121 0 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页以三个零点 1，0，1 把实数分为 4 个区间，由例 1 可知当 x1 或1x0 时，x 比它的倒数大。例 3 己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从 A去 B，甲乘汽车到中点，后一半用歩行，乙全程骑自行车，问誰先到达？解：设从 A到 B有 x 千米，步行速度
4、每小时y 千米，那么甲、乙走完全程所用时间分别是t甲yxyxyx85242，t乙yx4t甲t乙yxyxyx83485x0，y0 t甲t乙0 答：乙先到达 B地例 4 己知 abc，求证： a2+b2+c2ab+bc+ca 证明：a2+b2+c2ab+bc+ca212（a2+b2+c2ab+bc+ca）21（2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca）21 （a-b）2+(b-c)2+(c-a)2abc， （a-b）20，(b-c)20，(c-a)20 a2+b2+c2ab+bc+ca 又证： ab，（ a-b）20 a2+b22ab(1)同理 b2+c22bc(2) c2+a22ca(3)
5、(1)+(2)+( 3)得 2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca 即 a2+b2+c2ab+bc+ca 例 5 比较 3 （1a2+a4）与(1+a+a2)2的大小解：3（1a2+a4）(1+a+a2)23 （1a+a2）2-2a-2a2-2a3(1+a+a2)22(1+a+a2)26a(1a+a2) =2(1a+a2)( 1 a+a2-3a)=2(1 a+a2)(1-a)21a+a2（43)212a0，(1-a)20 当 a=1 时，3（1a2+a4）(1+a+a2)2当 a1 时，3（1a2+a4）(1+a+a2)2例6 解方程4212xx解：以 0.5, 和 2 两个零点分为 3
6、 个区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页当 x-0.5 时， (2x+1) (x-2)=4, 解得 x=1 当0.5 x0,b0, 且 a+bbcd0且 ab=cd， 试比较 a+c 与 b+d 的大小6己知 ab,xay+bx 7己知 abc, xyaz+bx+cy ax+by+czaz+bx+cy ( 提示：可应用第 6 题的结论 ) 8己知 ab0,下列不等式，哪些能成立？不能成立的，请举个反例。ba11ab1 1baa2b0 9. 若 a,b,c都是大于 1 的负数， （即 1a,b,c0 (abc)21
7、a2-b2-c2-1 10.水池装有编号为的5 条水- 管，其中有的是进水管，有的是出水管，同时开放其中的两条水管，注满水池所用的时间列表如下开放的水管号时间（小时）2 15 6 3 10 问单独开放哪条水管能最快注満水池？答：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页练习 21 参考答案：1.b-a0a06.(ax+by)-(ay+bx)=7.运用上一题的结论8.只有成立，都可以a=2,b=- 3 作为反例9.只有成立 10.（4）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
