《2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习21:比较大小》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习21:比较大小(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、中考数学复习资料,精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持,感激不尽!初 中数学竞赛精品标准教程及练习(21)比较大小一、内容提要1比较两个代数式的值的大小,一般要按字母的取值范围进行讨论,常用求差法。根据不等式的性质:当 ab0 时,ab;当 ab0 时,a=b;当 ab0 时 ab。2通常在写成差的形式之后,用因式分解化为积的形式,然后由负因数的个数决定其符号。3需要讨论的可借助数轴,按零点分区。4实数(有理数和无理数的统称)的平方是非负数,在决定符号时常用到它。即若a 是实数,则 a20,由此而推出一系列绝对不等式(字母不论取什么值,永远成立的不等式)。诸如(a b)20,a2+10,a2
2、+a+1=(a+21)2+430 a20,(a2+a+2)0 当 ab 时,( ab)20 二、例题例1 试比较 a3与 a 的大小解:a3a=a(a+1)(a 1) a3a=0,即 a3=a 以1,0,1 三个零点把全体实数分为 4 个区间,由负因数的个数决定其符号:当 a1 时,a+10,a 0,a 10(3 个负因数) a3a0 即 a3a 当1a0 时a0,a 10(2 个负因数)a3a0 即 a3a 当 0a1 时,a10(1 个负因数)a3a0 即 a3a 当 a1 时,没有负因数,a3a0 即 a3a 综上所述当 a=0,1,1 时, a3=a 当 a1 或 0a1 时,a3a
3、当1a0 或 a1 时,a3a。(试总结符号规律)例2 什么数比它的倒数大?解:设这个数为 x,则当并且只当 x x10 时,x 比它的倒数大,x x1xxxxx)1)(1(121 0 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页以三个零点 1,0,1 把实数分为 4 个区间,由例 1 可知当 x1 或1x0 时,x 比它的倒数大。例 3 己知步行的速度是骑车速度的一半,自行车速度是汽车速度的一半,甲、乙两人同时从 A去 B,甲乘汽车到中点,后一半用歩行,乙全程骑自行车,问誰先到达?解:设从 A到 B有 x 千米,步行速度
4、每小时y 千米,那么甲、乙走完全程所用时间分别是t甲yxyxyx85242,t乙yx4t甲t乙yxyxyx83485x0,y0 t甲t乙0 答:乙先到达 B地例 4 己知 abc,求证: a2+b2+c2ab+bc+ca 证明:a2+b2+c2ab+bc+ca212(a2+b2+c2ab+bc+ca)21(2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca)21 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2abc, (a-b)20,(b-c)20,(c-a)20 a2+b2+c2ab+bc+ca 又证: ab,( a-b)20 a2+b22ab(1)同理 b2+c22bc(2) c2+a22ca(3)
5、(1)+(2)+( 3)得 2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca 即 a2+b2+c2ab+bc+ca 例 5 比较 3 (1a2+a4)与(1+a+a2)2的大小解:3(1a2+a4)(1+a+a2)23 (1a+a2)2-2a-2a2-2a3(1+a+a2)22(1+a+a2)26a(1a+a2) =2(1a+a2)( 1 a+a2-3a)=2(1 a+a2)(1-a)21a+a2(43)212a0,(1-a)20 当 a=1 时,3(1a2+a4)(1+a+a2)2当 a1 时,3(1a2+a4)(1+a+a2)2例6 解方程4212xx解:以 0.5, 和 2 两个零点分为 3
6、 个区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页当 x-0.5 时, (2x+1) (x-2)=4, 解得 x=1 当0.5 x0,b0, 且 a+bbcd0且 ab=cd, 试比较 a+c 与 b+d 的大小6己知 ab,xay+bx 7己知 abc, xyaz+bx+cy ax+by+czaz+bx+cy ( 提示:可应用第 6 题的结论 ) 8己知 ab0,下列不等式,哪些能成立?不能成立的,请举个反例。ba11ab1 1baa2b0 9. 若 a,b,c都是大于 1 的负数, (即 1a,b,c0 (abc)21
7、a2-b2-c2-1 10.水池装有编号为的5 条水- 管,其中有的是进水管,有的是出水管,同时开放其中的两条水管,注满水池所用的时间列表如下开放的水管号时间(小时)2 15 6 3 10 问单独开放哪条水管能最快注満水池?答:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页练习 21 参考答案:1.b-a0a06.(ax+by)-(ay+bx)=7.运用上一题的结论8.只有成立,都可以a=2,b=- 3 作为反例9.只有成立 10.(4)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页