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1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，如下：1、 提公因式法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例题：（1）2x2yxy （2）6a2b39ab2（3）x（ab）y（ba）（4）axaybxby（5）abb2acbc （6）axax2bbx （7）axax1 （8）m （x2）n（2x）x2 （9） （m a）23x（m a）（ xy） （am ） （10）117217nnnaaa（11）a3a2ba2cabc （12）2ax3am 10bx15bm (13)
2、先化简再求值（2x1）2（3x2）（ 2x1） （3x2）2x（2x1） （23x） （其中，32x）2、 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。平方差公式abab ab22()()完全平方公式aabbab2222()立方和、立方差公式ababaabb3322() ()补充：欧拉公式：abcabcabc abcabbcca3332223()()12222()()()() abcabbcca特别地：（1）当abc0时，有abcabc3333三项和的平方2)(cba222cbaacbcab222精选学习资料 - - - - - -
3、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页例题1. 把aabb2222分解因式的结果是（）A. ()()()abab22B. ()()ab ab2C. ()()ab ab2D. ()()ab ba22222：已知abc、 、是ABC的三条边，且满足abcabbcac2220，试判断ABC的形状。3. 已知：ambmcm121122123，求aabbaccbc222222的值。4. 已知abcabc00333，求证：abc55505. 若xyxxyy3322279，求xy22的值。6. 分解因式：（1）()()aa23122（2）xxyxyx5222()()（3
4、）axya xyxy22342()()()7. 已知：xx13，求xx441的值。8. 若abc， ，是三角形的三条边，求证：abcbc222209. 已知：210，求2001的值。10. 已知abc， ，是不全相等的实数，且abcabcabc03333，试求（1）abc的值； （2）abcbcacab()()()111111的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3、 分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n
5、)+b(m+n),又可以提出公因式m+n ，从而得到 (a+b)(m+n) 例题1. 把多项式211242a aaaa()分解因式，所得的结果为（）AaaBaaCaaDaa.().().().()2222222211112. 分解因式xxxxx543213求方程xyxy的整数解4.分解因式：1222mnmn_ 。5分解因式：xyxy22_ 6. 分解因式：xxx323412_ 7. 分解因式：mnmnn222141()8. 已知：abcdacbd2222110，且，求 ab+cd的值。9. 分解因式：xx32311. 已知：abcaa cabcb cb03223，求的值。12. 分解因式：15
6、aa13. 已知：xyzAx y zxyzxy xz A2223330， 是一个关于的一次多项式，且, ,()()，试求 A的表达式。14. 证明：()()()() ()abab ababab221112224、 十字相乘法利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax b)(cxd)竖式乘法法则它的一般规律是：对于二次项系数为1 的二次三项式qpxx2，如果能把常数项q 分解成两个因数a，b 的积，并且ab 为一次项系数p，那么它就可以运用公式：)()(2bxaxabxbax例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页1.
7、把下列各式分解因式：（1）91024xx；（2）)(2)(5)(723yxyxyx；（3）已知12624xxx有一个因式是42axx，求 a 值和这个多项式的其他因式（4） 分解因式：22210235yabyba2把下列各式分解因式：（1）6724xx；（2）36524xx；（3）422416654yyxx；（4）633687bbaa；（5）234456aaa；（6）422469374babaa3把下列各式分解因式：（1）2224)3(xx； （2）9)2(22xx；（3）2222)332()123(xxxx；（4）60)(17)(222xxxx；4已知60197223xxx有因式 2x5，把
8、它分解因式5已知xy2，xya4，2633yx，求a的值5、拆、添项法将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式。例题1.（1）3292624xxx（2）32332aaa2.、 (1) 6424936xxx(2) 32374aa3、22223345abcabacbc4、 （1）3221215aaa（2） 、343 11 5xx5、求多项式2059416178222bababaP的最小值，并求P最小时ba,的值6：22210235yabyba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
9、 页，共 8 页7、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 6、配方法步骤： 1 提：提出二次项系数；2 配：配成完全平方；3 化：化成平方差；4 分解：运用平方差分解因式。配方法是一种 “ 通法” ，就是说只要是能分解的二次三项式，都能用配方法来分解。例题1、xx42x(）2；2y+ 425y（y- ）22、方程0582xx左边配成一个完全平方式后，所得的方程是3、配方法解方程xx两边应同时加上。4、解下列方程（1） 、4x2+4x-1=0 （2） 、05522xx（3） 、3x2-2x-4=0 （4） 、x2-2ax=b2-a2 (a 、b是常数 ) 5：无论 x 为何实数
10、，代数式5.442xx的值恒大于零。你同意这种说法吗？说出你的理由。7、 换元法将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原；有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例题1、22224()(2)12xxyyxxyyy2、44(1)(3)272xx3、2(61)(21)(31)(1)xxxxx4、42242(1)(3)xxxx5、22222()4()xxyyxy xy6、2222(48)3 (48)2xxx xxx7、222(231)22331xxxx8、2200020063
11、997 *20011997*1999*2002*20032（）（ 2000）8、 主元法主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例题1：2222222x yy zz xx zy xz yxyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页2： （1）222()()()abcbcacab（2）2232xyxy3： （1）22276xxyy
12、xy（2）226136xxyyxy4：3222(21)(21)(1)xaxaaxa5：对方程22222004a bab，求出至少一组整数解。6：已知在ABC中，222166100abcabbc（a、b、c 是三角形三边的长），求证：2acb。7、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)9、待定系数法将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会
13、解题的技巧。这一部分中， 通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。例题1、 分解因式2、分解因式3、 在关于 x 的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。4、 已知多项式的系数都是整数。若是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。5、 已知能被整除，求证：6、若 a 是自然数，且的值是一个质数，求这个质数。7、分解因式_. 8、若多项式能被整除，则n=_. 9、二次三项式当时其值为 -3 ，当时其值为 2，当时其值为 5 ，这个二次三项式是 _. 10、 m, n 是什么数时，多项式能被整除？11、多项式能分解为两个一次因式的积，则k=_. 12、若多项式能被整除，则_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页13、若多项式当2 时的值均为0，则当 x=_时，多项式的值也是0。14、求证：不能分解为两个一次因式的积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
