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1、因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,如下:1、 提公因式法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例题:(1)2x2yxy (2)6a2b39ab2(3)x(ab)y(ba)(4)axaybxby(5)abb2acbc (6)axax2bbx (7)axax1 (8)m (x2)n(2x)x2 (9) (m a)23x(m a)( xy) (am ) (10)117217nnnaaa(11)a3a2ba2cabc (12)2ax3am 10bx15bm (13)
2、先化简再求值(2x1)2(3x2)( 2x1) (3x2)2x(2x1) (23x) (其中,32x)2、 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。平方差公式abab ab22()()完全平方公式aabbab2222()立方和、立方差公式ababaabb3322() ()补充:欧拉公式:abcabcabc abcabbcca3332223()()12222()()()() abcabbcca特别地:(1)当abc0时,有abcabc3333三项和的平方2)(cba222cbaacbcab222精选学习资料 - - - - - -
3、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页例题1. 把aabb2222分解因式的结果是()A. ()()()abab22B. ()()ab ab2C. ()()ab ab2D. ()()ab ba22222:已知abc、 、是ABC的三条边,且满足abcabbcac2220,试判断ABC的形状。3. 已知:ambmcm121122123,求aabbaccbc222222的值。4. 已知abcabc00333,求证:abc55505. 若xyxxyy3322279,求xy22的值。6. 分解因式:(1)()()aa23122(2)xxyxyx5222()()(3
4、)axya xyxy22342()()()7. 已知:xx13,求xx441的值。8. 若abc, ,是三角形的三条边,求证:abcbc222209. 已知:210,求2001的值。10. 已知abc, ,是不全相等的实数,且abcabcabc03333,试求(1)abc的值; (2)abcbcacab()()()111111的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页3、 分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n
5、)+b(m+n),又可以提出公因式m+n ,从而得到 (a+b)(m+n) 例题1. 把多项式211242a aaaa()分解因式,所得的结果为()AaaBaaCaaDaa.().().().()2222222211112. 分解因式xxxxx543213求方程xyxy的整数解4.分解因式:1222mnmn_ 。5分解因式:xyxy22_ 6. 分解因式:xxx323412_ 7. 分解因式:mnmnn222141()8. 已知:abcdacbd2222110,且,求 ab+cd的值。9. 分解因式:xx32311. 已知:abcaa cabcb cb03223,求的值。12. 分解因式:15
6、aa13. 已知:xyzAx y zxyzxy xz A2223330, 是一个关于的一次多项式,且, ,()(),试求 A的表达式。14. 证明:()()()() ()abab ababab221112224、 十字相乘法利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(ax b)(cxd)竖式乘法法则它的一般规律是:对于二次项系数为1 的二次三项式qpxx2,如果能把常数项q 分解成两个因数a,b 的积,并且ab 为一次项系数p,那么它就可以运用公式:)()(2bxaxabxbax例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页1.
7、把下列各式分解因式:(1)91024xx;(2))(2)(5)(723yxyxyx;(3)已知12624xxx有一个因式是42axx,求 a 值和这个多项式的其他因式(4) 分解因式:22210235yabyba2把下列各式分解因式:(1)6724xx;(2)36524xx;(3)422416654yyxx;(4)633687bbaa;(5)234456aaa;(6)422469374babaa3把下列各式分解因式:(1)2224)3(xx; (2)9)2(22xx;(3)2222)332()123(xxxx;(4)60)(17)(222xxxx;4已知60197223xxx有因式 2x5,把
8、它分解因式5已知xy2,xya4,2633yx,求a的值5、拆、添项法将多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个符号相反的项,使得便于用分组分解法进行分解因式。例题1.(1)3292624xxx(2)32332aaa2.、 (1) 6424936xxx(2) 32374aa3、22223345abcabacbc4、 (1)3221215aaa(2) 、343 11 5xx5、求多项式2059416178222bababaP的最小值,并求P最小时ba,的值6:22210235yabyba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
9、 页,共 8 页7、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 6、配方法步骤: 1 提:提出二次项系数;2 配:配成完全平方;3 化:化成平方差;4 分解:运用平方差分解因式。配方法是一种 “ 通法” ,就是说只要是能分解的二次三项式,都能用配方法来分解。例题1、xx42x()2;2y+ 425y(y- )22、方程0582xx左边配成一个完全平方式后,所得的方程是3、配方法解方程xx两边应同时加上。4、解下列方程(1) 、4x2+4x-1=0 (2) 、05522xx(3) 、3x2-2x-4=0 (4) 、x2-2ax=b2-a2 (a 、b是常数 ) 5:无论 x 为何实数
10、,代数式5.442xx的值恒大于零。你同意这种说法吗?说出你的理由。7、 换元法将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,用一个新字母替代它,从而简化运算过程,分解后要注意将新字母还原;有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。例题1、22224()(2)12xxyyxxyyy2、44(1)(3)272xx3、2(61)(21)(31)(1)xxxxx4、42242(1)(3)xxxx5、22222()4()xxyyxy xy6、2222(48)3 (48)2xxx xxx7、222(231)22331xxxx8、2200020063
11、997 *20011997*1999*2002*20032()( 2000)8、 主元法主元法:在解多变元问题时,选择其中某个变元为主要元素,视其他变元为常量,将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式,则能排除字母间的干扰,简化问题的结构。先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。例题1:2222222x yy zz xx zy xz yxyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页2: (1)222()()()abcbcacab(2)2232xyxy3: (1)22276xxyy
12、xy(2)226136xxyyxy4:3222(21)(21)(1)xaxaaxa5:对方程22222004a bab,求出至少一组整数解。6:已知在ABC中,222166100abcabbc(a、b、c 是三角形三边的长),求证:2acb。7、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)9、待定系数法将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法。本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会
13、解题的技巧。这一部分中, 通过一系列题目的因式分解过程,同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法,步骤,技巧等。例题1、 分解因式2、分解因式3、 在关于 x 的二次三项式中,当时,其值为0;当时,其值为0;当时,其值为10,求这个二次三项式。4、 已知多项式的系数都是整数。若是奇数,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。5、 已知能被整除,求证:6、若 a 是自然数,且的值是一个质数,求这个质数。7、分解因式_. 8、若多项式能被整除,则n=_. 9、二次三项式当时其值为 -3 ,当时其值为 2,当时其值为 5 ,这个二次三项式是 _. 10、 m, n 是什么数时,多项式能被整除?11、多项式能分解为两个一次因式的积,则k=_. 12、若多项式能被整除,则_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页13、若多项式当2 时的值均为0,则当 x=_时,多项式的值也是0。14、求证:不能分解为两个一次因式的积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页