《2022年焦点专题3导数与函数综合问题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年焦点专题3导数与函数综合问题(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1 x y O P Q1Q2y=f(x) 焦点专题 3 导数与函数综合问题(上) 【基础盘点】1、判断函数单调性四法:“ 和、积函数型 ” 观察法 :(i)“ 增函数增函数” 为,如1yxx;(ii) “ 正的增函数 正的增函数 ” 为,如(0)xyx ex;“ 复合函数型 ” 箭头分析法 :在( )f g x中,令( )tg x,有 ( )( )f g xf t,当x,t,( )f t时, ( )f g x为函数,当x,t,( )f t时,( )f g x为函数,当x,t,( )f t时,( )f g x为函数等,如22( )log (1)f xx的递减区间为. “ 抽象函数型 ” 定义法
2、: (i)当12xx时,21()()0f xf x,知( )f x为函数,如“ 已知对于任意的实数,x y,满足()( )()fxyf x fy,且当0x时,( )1fx,求证( )f x为增函数 ” ;(ii) 当12xx时,21()()0f xf x,知( )f x为函数,如“ 已知对于任意的正实数,x y,满足()( )( )f xyf xfy,且当1x时,( )0f x,求证( )f x为减函数 ” ;“ 具体函数型” 导数法 :(i)( )0fx( )fx为函数, (ii)( )0fx( )f x为函数 . 2、导数的几何意义:如图 ,曲线( )yf x在点00(,)P xy处切线的
3、 斜率k;切线方程为. 3、用导数求函数的单调区间:解不等式( )0fx可得函数( )fx的单调递区间 ;解不等式( )0fx可得函数( )f x的单调递区间 . 4、知单调区间求参数的范围:函数( )f x在区间I上为增函数在区间I上恒成立 ; 函数( )f x在区间I上为减函数在区间I上恒成立 (且( )0fx);通过研究恒成立问题求解参数的取值范围. 5、导数与函数单调性的关系:(1)试求函数3yx的单调区间 ,并说明单调区间端点值的取舍原 则 为;(2) 试 举 一 例 子 说 明 “ 函 数( )f x在 区 间I上 为 增 函 数( )0fx在区间I上恒成立 ”,例子. 6、常用求
4、导公式:C,()nx,(sin)x,(cos )x, (ln)x,(log)ax,()xe,()xa. 7、求导运算 :()ku,()uv,()uv,( )uv. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页2 【例题精选】【例 1】 (1)讨论函数( )()af xxaxR的单调性,并画出其图象. 【题情捉摸】(1)函数( )f x的定义域为,需在此定义域讨论该函数的单调性;(2)( )f x的单调性与a的取值密切相关, 当0a时,可用法得到其单调性,当0a时,也可用法得到其单调性,当0a时,可用法研究其单调性,再根据每种情
5、况下的单调性可画出其图象. (2)已知函数( )af xxx在区间1,2上为增函数 ,求实数a的取值范围 . 【题情捉摸】(1)( )fx在1,2上为增函数恒成立 ; (2)得a在1,2上恒成立 ,于是得a的取值范围 . 【例 2】 (1)函数31( )3f xxx的递增区间为. 【题情捉摸】(1)计算得( )fx;(2)令( )fx0,解得. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页3 (2)已知函数2( )ln,()2xfxxkxk为常数,试讨论( )f x的单调性 . 【题情捉摸】(1)注意到( )fx的定义域为,算
6、得( )fx; (2)由于0x,故只需抓住,讨论它在(0,)上的正、负即可. 【真题回忆】1、(2008 广东理改 )设kR,函数10( )0xxf xx x,,( )( )F xf xkx,试讨论函数( )F x的单调性 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页4 【名模精选】2、(2010 惠州二模文 )曲线1xyx在2x处的切线方程为A.40xyB.40xyC. 0xyD. 40xy3、 (2010 广州二模理 )已知函数sinfxxx,假设12,2 2x x且12fxfx, 则以下不等式中正确的选项是A.12x
7、xB.12xxC.120xxD.2212xx4、 (2010 广州一模文 )已知函数32fxxaxbxc在,0上是减函数, 在0,1上是增函数,函数fx在R上有三个零点,且1 是其中一个零点. (1)求b的值;(2)求2f的取值范围;(3)试探究直线1yx与函数yfx的图像交点个数的情况,并说明理由. 5、 (2010 广州二模文 )已知函数32fxxxaxb(a,bR)的一个极值点为1x.方程20axxb的两个实根为, 函数fx在区间,上是单调的 . (1)求a的值 ; (2)求b的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
8、 页,共 8 页5 x y O aa图 ax y O 图 bx y O aa图 c【参考答案】【例 1】 (1)解:可得函数( )fx的定义域为0x,当0a时,2( )10afxx,函数( )fx在(,0),(0,)上为增函数;当0a时,( )10fx,函数( )fx在(,0),(0,)上为增函数;当0a时,2222()()( )1axaxaxafxxxx, 令( )0fx, 得1xa,2xa,当xa或xa时,( )0fx,( )f x单调递增,当0ax或0xa时,( )0fx,( )fx单调递减,这时( )f x在(,),(,)aa上为增函数;在(,0),(0,)aa上为减函数;由上面( )
9、f x的单调性知,当0a时,( )fx的图象如图a,当0a时,( )fx的图象如图b,当0a时,( )fx的图象如图c,(2) (2)解:得2( )1(1,2)afxxx恒成立 ,当( )f x在1,2上为增函数时 , 有210ax,即2ax恒成立 ,2min()1ax.填(,1【例 2】 (1)解:由2( )101fxxx或1x.故填(, 1,1,). (2)解:(1)函数的定义域为(0,),211( )xkxfxxkxx, 0x, 令2( )1g xxkx,其对称轴为2kx. (i)当02k,即0k时,(0)1g,( )(0)10g xg在(0,)上恒成立 , 即有( )0fx,( )f
10、x在(0,)上为增函数 ; (ii) 当02k,且240k,即02k时,( )0g x,有( )0fx恒成立 , ( )f x在(0,)上为增函数 ; (iii) 当2k,2( )(1)g xx,那么(0,1)(1,)x时,( )0g x,( )0fx, 所以( )f x是增函数 ; (iv) 当2k时,240k,方程210xkx有两不等实根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页6 221244,22kkkkxx,且均为正数 , 当2402kkx或242kkx时,( )0g x,( )0fx,( )f x是增函数 , 当
11、224422kkkkx时,( )0g x,( )0fx,( )f x是减函数 ; 综上 :当2k时,( )f x在(0,)是增函数 ;当2k时,( )f x在24(0,)2kk, 24(,)2kk是增函数 ,在2244(,)22kkkk是减函数 . 1、解:1,0( )( ),0kxxxF xf xkxxkx x,21,0( )1,02kxxFxk xx(1)当0k时,假设0x,21( )0Fxkx,( )F x在(,0)上为增函数,假设0x,1( )2Fxkx,令( )0Fx,得102kx,解得214xk,令( )0Fx,得214xk,令( )0Fx,得2104xk,这时( )F x在21(
12、0,)4k上为减函数,在21(,)4k上为增函数;(2)当0k时,假设0x,21( )0Fxx,( )F x在(,0)上为增函数,假设0x,1( )02Fxx,( )F x在(0,)上为减函数,(3)当0k时,假设0x,21( )Fxkx,令( )0Fx,解得1kxk,2kxk(舍去 ),令( )0Fx,得210kx,解得kkxkk,令( )0Fx,得kxk或kxk,又0x,知函数( )F x在(,0)kk上是增函数,在(,)kk上是减函数;假设0x,1( )02Fxkx,( )F x在(0,)上是减函数;综上所述,当0k时,( )F x在(,0),21(,)4k上为增函数,在21(0,)4k
13、上为减函数;当0k时,( )F x在(,0)上为增函数, 在(0,)上为减函数; 当0k时,( )F x在(,0)kk上是增函数,在(,)kk,(0,)上是减函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页7 23BD 4.(1) 解:32fxxaxbxc,232fxxaxb. fx在,0上是减函数,在0,1上是增函数,当0x时,fx取到极小值,即00f. 0b. (2)解:由 (1)知,32fxxaxc,1 是函数fx的一个零点,即10f,1ca. 2320fxxax的两个根分别为10x,223ax. fx在0,1上是
14、增函数,且函数fx在R上有三个零点,2213ax,即32a.于是52841372faaa. 故2f的取值范围为5,2. (3)解:由 (2)知321fxxaxa,且32a. 要讨论直线1yx与函数yfx图像的交点个数情况,即求方程组321,1yxyxaxa解的个数情况 . 由3211xaxax,得321110xa xx. 即2111110xxxa xxx. 即21120xxa xa.1x或2120xa xa. 由方程2120xa xa,(*)得2214 227aaaa. 32a,假设0,即2270aa,解得32 212a.此时方程 (*)无实数解 . 假设0,即2270aa,解得2 21a.此
15、时方程 (*)有一个实数解21x. 假设0,即2270aa,解得2 21a.此时方程 (*)有两个实数解,分别为211272aaax,221272aaax. 且当2a时,10x,21x. 综上所述,当32 212a时,直线1yx与函数yfx的图像有一个交点. 当2 21a或2a时,直线1yx与函数yfx的图像有二个交点. 当2 21a且2a时,直线1yx与函数yfx的图像有三个交点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页8 5.解:(1)32fxxxaxb,232fxxxa. 32fxxxaxb的一个极值点为1x,21
16、3 12 10fa.得1a. (2)由(1)得2321311fxxxxx, 当13x时, 0fx;当113x时, 0fx;当1x时, 0fx; 函数fx在1,3上单调递增 , 在1,13上单调递减 ,在1,上单调递增 . 方程20axxb的两个实根为, 即20xxb的两根为, 114114,22bb.得1,b,14b. 函数fx在区间,上是单调的 , 区间,只能是区间1,3,1,13,1,之一的子区间 . 由于1,故1,13.假设0,则1,与1矛盾 . ,0,1.知方程20xxb的两根,都在区间0,1上. 令2g xxxb, g x的对称轴为10,12x, 则00,10,140.gbgbb解得104b.实数b的取值范围为1,04. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页