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1、学习必备欢迎下载二次函数图象与性质一、目标认知学习目标：1. 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义. 2. 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质. 3. 会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴( 公式不要求记忆和推导) ，并能解决简单的实际问题. 4. 会用待定系数法求二次函数的解析式. 重点、难点：二次函数的图象及性质. 二、知识要点梳理：知识点一、二次函数的定义：形如 y=ax2+bx+c(a 0，a，b，c 为常数 ) 的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项
2、 . 知识点二、二次函数的图象及画法二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的图象是对称轴平行于y 轴( 或是 y 轴本身 ) 的抛物线 . 几个不同的二次函数. 如果二次项系数a 相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同 . 1. 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、 顶点坐标， 然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图. 画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x 轴的交点、与y 轴的交点. 2. 用平移法画图象由于 a 相同的抛物线y=ax2+bx+c 的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到 a 值相同的其它形式的二次函数的图
3、象. 步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为 y=a(x-h)2+k 的形式， 确定其顶点 (h ， k) ， 然后做出二次函数y=ax2的图象 . 将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h ，k). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a 0) 的图象与性质1. 函数 y=ax2(a 0) 的图象与性质：函数a 的符号图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大 ( 小) 值y=ax2a0 向上(0 ，0) y 轴x0 时， y 随 x 增大而增大x0 时， y
4、随 x 增大而减小当 x=0 时，y最小=0 y=ax2a0 时， y 随 x 增大而减小x0 时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0 ，c) ，当 x=0 时， y最小=c (2) 当 a0 a0 时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点是它的最低点. (2) 在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向(1) 当 a0 开口向上a0 交点在 x 轴上方c=0 抛物线过原点c0 对称轴在y 轴左侧ab0 抛物线与x 轴有两个交点b2-4ac=0 顶点在 x 轴上b2-4ac0 时，抛物线的开口向上，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小
5、；在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而增大，函数图象有最低点(0，0). 当 a0 时，抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而减小，函数图象有最高点(0，0). 基于上述性质，我们逆向推理很快就能得出结论. 解：(1) 由题意，得，解得 k=2. (2) 二次函数为，则顶点坐标为(0 ，0) ，对称轴为 y 轴. 4. 已知正方形的周长为Ccm ，面积为Scm2.(1) 求 S和 C之间的函数关系式，并画出图象；(2) 根据图象，求出S=1cm2时，正方形的周长；(3) 根据图象，求出C取何值时， S4cm2. 思路点拨： 此题是二
6、次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内. 解：(1) 由题意，得. 列表：C 2 4 6 8 1 4 描点、连线，图象如图. (2) 根据图象得S=1cm2时，正方形的周长是4cm. (3) 根据图象得，当C8cm时， S 4cm2. 总结升华：(1) 此图象原点处为空心点. (2) 横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y. (3) 在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分. 第二类： y=ax2+k 的图象和性质5. 一条抛物线的开口方向和对称轴都与相同，顶点纵坐标是-2 ，且抛物精选学习资料 - - - - - -
7、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载线经过点 (1，1) ，求这条抛物线的函数关系式.解：由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为(0 ，-2) ，因此所求函数关系式可看作. 又因为抛物线经过点(1， 1) ，所以，解得. 故所求函数关系式为. 第三类： y=a(x-h)2的图象和性质6. 不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗 ?解：抛物线的顶点坐标为 (0 ，0) ；抛物线的顶点坐标为 (-2 ，0). 因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线. 抛物线是由向左平移2 个单位而得的. 第四类：
8、 y=a(x-h)2k 的图象和性质7. 把抛物线向上平移2 个单位，再向左平移4 个单位，得到抛物线，求 b，c 的值 .思路点拨： 把抛物线向上平移2 个单位，再向左平移4 个单位，得到抛物线，也就意味着把抛物线向下平移 2 个单位，再向右平移4 个单位，得到抛物线. 解：根据题意得，y=(x-4)2-2=x2-8x+14, 所以第五类：二次函数y=ax2 bx+c 的图象和性质8. 通过配方， 确定抛物线的开口方向、 对称轴和顶点坐标，再描点画图 .解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载因此，
9、抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1， 8). 由对称性列表：x -2 -1 0 1 2 3 4 -10 0 6 8 6 0 -10 描点 . 连线，如图所示. 总结升华：1. 列表时选值，应以对称轴x=1 为中心，函数值可由对称性得到. 2. 描点画图时， 要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点. 9. 已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值 .思路点拨： 顶点在坐标轴上有两种可能：(1) 顶点在 x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；(2) 顶点在 y 轴上，则顶点的横坐标等于0. 解：，则抛物线的顶点坐标是. 当顶点在x
10、轴上时，有，解得，或. 当顶点在y 轴上时，有，解得，. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是-8， -2 ，4. 类型三：二次函数的最值10. 求下列函数的最大值或最小值.(1)； (2). 思路点拨： 由于函数和的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值. 解：(1) 因为二次函数中的二次项系数20，所以抛物线有最低点，即函数有最小值. 因为=，所以当时，函数有最小值是. (2) 因为二
11、次函数中的二次项系数-1 0，所以抛物线有最高点，即函数有最大值. 因为=，所以当时，函数有最大值. 总结升华：最大值或最小值的求法：第一步确定a 的符号 ，a0 有最小值， a0 有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. 11. 某商场试销一种成本为60 元/ 件的 T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高40% ，经试销发现，销售量( 件 ) 与销售单价( 元 / 件 ) 符合一次函数，且时，；时，；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载(1) 求出一次函数的解
12、析式；(2) 若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？思路点拨： 日销售利润 =日销售量每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量. 解：(1) 由题意得：, 一次函数的解析式为：. (2)抛物线开口向下，当时，随的增大而增大；而 6084，当时，. 答： 当销售价定为84 元/ 件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864 元. 总结升华：解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，一定要考虑在自变量的取值范围内得出正确结果. 类型四：用待定系数法确定二次函数的解析式12. 根据下列条件
13、，分别求出对应的二次函数的关系式.(1) 已知二次函数的图象经过点A(0，-1) ，B(1，0) ，C(-1 ，2)；(2) 已知抛物线的顶点为(1 ，-3) ，且与 y 轴交于点 (0，1) ；(3) 已知抛物线与x 轴交于点M(-3， 0) ，(5，0) ，且与 y 轴交于点 (0 ，-3) ；(4) 已知抛物线的顶点为(3 ，-2) ，且与 x 轴两交点间的距离为4. 思路点拨：(1) 根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的形式；(2) 根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与 y 轴的交点可求出a 的值；(3) 根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标，可设函
14、数关系式为，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；(4) 根据已知抛物线的顶点坐标(3，-2) ，可设函数关系式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x 轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x 轴的两个交点为(1 ，0) 和(5 ，0) ，任选一个代入，即可求出a 的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载解: (1) 设二次函数关系式为，由已知，这个函数的图象过(0 ，-1) ，可以得到c=-1. 又由于其图象过点(1 ， 0).(-1，2)两点，可以得到解这个方程组，得a=2， b=-
15、1. 所以，所求二次函数的关系式是. (2) 因为抛物线的顶点为(1 ，-3) ，所以设二次函数的关系式为，又由于抛物线与y 轴交于点 (0，1) ，可以得到，解得. 所以，所求二次函数的关系式是. (3) 因为抛物线与x 轴交于点M(-3， 0).(5，0) ，所以设二次函数的关系式为. 又由于抛物线与y 轴交于点 (0，-3) ，可以得到，解得. 所以，所求二次函数的关系式是. (4) 根据前面的分析，本题已转化为与(2) 相同的题型，请同学们自己完成. 总结升华：确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.
16、 二次函数的关系式可设如下三种形式：(1) 一般式：，给出三点坐标可利用此式来求. (2) 顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求. (3) 交点式：，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点.时可利用此式来求. 13. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为 8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中. (1) 求这条抛物线所对应的函数关系式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载(2) 若要在隧道壁上点P (如图 ) 安装一盏照明灯， 灯离地面高4.5 m.求灯与点B的距离 . 思路点拨： 先观察图象，挖掘已知条件，确定设适当的解析式. 解：(1) 由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2 +6 (a 9) ， 点 A(-4 ，0) 或 B(4， 0) 在抛物线上， 得. 故抛物线的函数关系式为. (2) 将 y=4.5 代入中，得 x= 2. P (-2，4.5) ，Q(-2 ，0)，于是 PQ =4.5 ， BQ =6，从而. 所以照明灯与点B的距离为7.5m. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
