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1、学习必备欢迎下载二次函数图象与性质一、目标认知学习目标:1. 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义. 2. 会用描点法画出二次函数的图象,能从图象上认识二次函数的性质. 3. 会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴( 公式不要求记忆和推导) ,并能解决简单的实际问题. 4. 会用待定系数法求二次函数的解析式. 重点、难点:二次函数的图象及性质. 二、知识要点梳理:知识点一、二次函数的定义:形如 y=ax2+bx+c(a 0,a,b,c 为常数 ) 的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中 a 为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项
2、 . 知识点二、二次函数的图象及画法二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的图象是对称轴平行于y 轴( 或是 y 轴本身 ) 的抛物线 . 几个不同的二次函数. 如果二次项系数a 相同,那么其图象的开口方向、形状完全相同,只是顶点的位置不同 . 1. 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、 顶点坐标, 然后在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称地画图. 画结构图时应抓住以下几点:对称轴、顶点、与x 轴的交点、与y 轴的交点. 2. 用平移法画图象由于 a 相同的抛物线y=ax2+bx+c 的开口及形状完全相同,故可将抛物线y=ax2的图象平移得到 a 值相同的其它形式的二次函数的图
3、象. 步骤为:利用配方法或公式法将二次函数化为 y=a(x-h)2+k 的形式, 确定其顶点 (h , k) , 然后做出二次函数y=ax2的图象 . 将抛物线y=ax2平移,使其顶点平移到(h ,k). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页学习必备欢迎下载知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a 0) 的图象与性质1. 函数 y=ax2(a 0) 的图象与性质:函数a 的符号图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大 ( 小) 值y=ax2a0 向上(0 ,0) y 轴x0 时, y 随 x 增大而增大x0 时, y
4、随 x 增大而减小当 x=0 时,y最小=0 y=ax2a0 时, y 随 x 增大而减小x0 时,开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同,不同的是顶点坐标为(0 ,c) ,当 x=0 时, y最小=c (2) 当 a0 a0 时,抛物线开口向上,并向上无限延伸,顶点是它的最低点. (2) 在对称轴直线的左侧,抛物线自左向右下降,在对称轴的右侧,抛物线自左向(1) 当 a0 开口向上a0 交点在 x 轴上方c=0 抛物线过原点c0 对称轴在y 轴左侧ab0 抛物线与x 轴有两个交点b2-4ac=0 顶点在 x 轴上b2-4ac0 时,抛物线的开口向上,在对称轴的左侧,y 随 x 的增大而减小
5、;在对称轴的右侧, y 随 x 的增大而增大,函数图象有最低点(0,0). 当 a0 时,抛物线的开口向下,在对称轴的左侧,y 随 x 的增大而增大;在对称轴的右侧, y 随 x 的增大而减小,函数图象有最高点(0,0). 基于上述性质,我们逆向推理很快就能得出结论. 解:(1) 由题意,得,解得 k=2. (2) 二次函数为,则顶点坐标为(0 ,0) ,对称轴为 y 轴. 4. 已知正方形的周长为Ccm ,面积为Scm2.(1) 求 S和 C之间的函数关系式,并画出图象;(2) 根据图象,求出S=1cm2时,正方形的周长;(3) 根据图象,求出C取何值时, S4cm2. 思路点拨: 此题是二
6、次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C的取值应在取值范围内. 解:(1) 由题意,得. 列表:C 2 4 6 8 1 4 描点、连线,图象如图. (2) 根据图象得S=1cm2时,正方形的周长是4cm. (3) 根据图象得,当C8cm时, S 4cm2. 总结升华:(1) 此图象原点处为空心点. (2) 横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y. (3) 在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分. 第二类: y=ax2+k 的图象和性质5. 一条抛物线的开口方向和对称轴都与相同,顶点纵坐标是-2 ,且抛物精选学习资料 - - - - - -
7、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页学习必备欢迎下载线经过点 (1,1) ,求这条抛物线的函数关系式.解:由题意可得,所求函数开口向上,对称轴是y 轴,顶点坐标为(0 ,-2) ,因此所求函数关系式可看作. 又因为抛物线经过点(1, 1) ,所以,解得. 故所求函数关系式为. 第三类: y=a(x-h)2的图象和性质6. 不画出图象,你能说明抛物线与之间的关系吗 ?解:抛物线的顶点坐标为 (0 ,0) ;抛物线的顶点坐标为 (-2 ,0). 因此,抛物线与形状相同,开口方向都向下,对称轴分别是y 轴和直线. 抛物线是由向左平移2 个单位而得的. 第四类:
8、 y=a(x-h)2k 的图象和性质7. 把抛物线向上平移2 个单位,再向左平移4 个单位,得到抛物线,求 b,c 的值 .思路点拨: 把抛物线向上平移2 个单位,再向左平移4 个单位,得到抛物线,也就意味着把抛物线向下平移 2 个单位,再向右平移4 个单位,得到抛物线. 解:根据题意得,y=(x-4)2-2=x2-8x+14, 所以第五类:二次函数y=ax2 bx+c 的图象和性质8. 通过配方, 确定抛物线的开口方向、 对称轴和顶点坐标,再描点画图 .解:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页学习必备欢迎下载因此,
9、抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1, 8). 由对称性列表:x -2 -1 0 1 2 3 4 -10 0 6 8 6 0 -10 描点 . 连线,如图所示. 总结升华:1. 列表时选值,应以对称轴x=1 为中心,函数值可由对称性得到. 2. 描点画图时, 要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点. 9. 已知抛物线的顶点在坐标轴上,求的值 .思路点拨: 顶点在坐标轴上有两种可能:(1) 顶点在 x 轴上,则顶点的纵坐标等于0;(2) 顶点在 y 轴上,则顶点的横坐标等于0. 解:,则抛物线的顶点坐标是. 当顶点在x
10、轴上时,有,解得,或. 当顶点在y 轴上时,有,解得,. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页学习必备欢迎下载所以,当抛物线的顶点在坐标轴上时,有三个值,分别是-8, -2 ,4. 类型三:二次函数的最值10. 求下列函数的最大值或最小值.(1); (2). 思路点拨: 由于函数和的自变量x 的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值. 解:(1) 因为二次函数中的二次项系数20,所以抛物线有最低点,即函数有最小值. 因为=,所以当时,函数有最小值是. (2) 因为二
11、次函数中的二次项系数-1 0,所以抛物线有最高点,即函数有最大值. 因为=,所以当时,函数有最大值. 总结升华:最大值或最小值的求法:第一步确定a 的符号 ,a0 有最小值, a0 有最大值;第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. 11. 某商场试销一种成本为60 元/ 件的 T恤,规定试销期间单价不低于成本单价,又获利不得高40% ,经试销发现,销售量( 件 ) 与销售单价( 元 / 件 ) 符合一次函数,且时,;时,;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页学习必备欢迎下载(1) 求出一次函数的解
12、析式;(2) 若该商场获得利润为元,试写出利润与销售单价之间的关系式,销售单价定为多少时,商场可获得最大利润,最大利润是多少?思路点拨: 日销售利润 =日销售量每件产品的利润,因此主要是正确表示出这两个量. 解:(1) 由题意得:, 一次函数的解析式为:. (2)抛物线开口向下,当时,随的增大而增大;而 6084,当时,. 答: 当销售价定为84 元/ 件时,商场可以获得最大利润,最大利润是864 元. 总结升华:解决实际问题时,应先分析问题中的数量关系,列出函数关系式,再研究所得的函数,一定要考虑在自变量的取值范围内得出正确结果. 类型四:用待定系数法确定二次函数的解析式12. 根据下列条件
13、,分别求出对应的二次函数的关系式.(1) 已知二次函数的图象经过点A(0,-1) ,B(1,0) ,C(-1 ,2);(2) 已知抛物线的顶点为(1 ,-3) ,且与 y 轴交于点 (0,1) ;(3) 已知抛物线与x 轴交于点M(-3, 0) ,(5,0) ,且与 y 轴交于点 (0 ,-3) ;(4) 已知抛物线的顶点为(3 ,-2) ,且与 x 轴两交点间的距离为4. 思路点拨:(1) 根据二次函数的图象经过三个已知点,可设函数关系式为的形式;(2) 根据已知抛物线的顶点坐标,可设函数关系式为,再根据抛物线与 y 轴的交点可求出a 的值;(3) 根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标,可设函
14、数关系式为,再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值;(4) 根据已知抛物线的顶点坐标(3,-2) ,可设函数关系式为,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由与x 轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x 轴的两个交点为(1 ,0) 和(5 ,0) ,任选一个代入,即可求出a 的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页学习必备欢迎下载解: (1) 设二次函数关系式为,由已知,这个函数的图象过(0 ,-1) ,可以得到c=-1. 又由于其图象过点(1 , 0).(-1,2)两点,可以得到解这个方程组,得a=2, b=-
15、1. 所以,所求二次函数的关系式是. (2) 因为抛物线的顶点为(1 ,-3) ,所以设二次函数的关系式为,又由于抛物线与y 轴交于点 (0,1) ,可以得到,解得. 所以,所求二次函数的关系式是. (3) 因为抛物线与x 轴交于点M(-3, 0).(5,0) ,所以设二次函数的关系式为. 又由于抛物线与y 轴交于点 (0,-3) ,可以得到,解得. 所以,所求二次函数的关系式是. (4) 根据前面的分析,本题已转化为与(2) 相同的题型,请同学们自己完成. 总结升华:确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.
16、 二次函数的关系式可设如下三种形式:(1) 一般式:,给出三点坐标可利用此式来求. (2) 顶点式:,给出两点,且其中一点为顶点时可利用此式来求. (3) 交点式:,给出三点,其中两点为与x 轴的两个交点.时可利用此式来求. 13. 有一个抛物线形的拱形隧道,隧道的最大高度为6m ,跨度为 8m ,把它放在如图所示的平面直角坐标系中. (1) 求这条抛物线所对应的函数关系式;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页学习必备欢迎下载(2) 若要在隧道壁上点P (如图 ) 安装一盏照明灯, 灯离地面高4.5 m.求灯与点B的距离 . 思路点拨: 先观察图象,挖掘已知条件,确定设适当的解析式. 解:(1) 由题意,设抛物线所对应的函数关系为y=ax2 +6 (a 9) , 点 A(-4 ,0) 或 B(4, 0) 在抛物线上, 得. 故抛物线的函数关系式为. (2) 将 y=4.5 代入中,得 x= 2. P (-2,4.5) ,Q(-2 ,0),于是 PQ =4.5 , BQ =6,从而. 所以照明灯与点B的距离为7.5m. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页