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1、精品资料欢迎下载第十四讲二次函数的同象和性质【重点考点例析】考点一:二次函数图象上点的坐标特点例 1 已知二次函数y=a(x-2)2+c(a0) ,当自变量x 分别取2、3、0 时,对应的函数值分别: y1,y2,y3, ,则 y1, y2,y3的大小关系正确的是()Ay3 y2y1 By1y2y3 Cy2 y1 y3 D y3y1y2对应训练1已知二次函数y=12x2-7x+152,若自变量x 分别取 x1, x2,x3,且 0x1x2x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是()Ay1 y2y3 By1y2y3 Cy2 y3 y1 Dy2y3y1考点二:二次函数的图象和性质例
2、2 对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法:它的图象与x 轴有两个公共点;如果当x1时 y 随 x 的增大而减小,则m=1;如果将它的图象向左平移3 个单位后过原点,则m=-1;如果当x=4 时的函数值与x=2008 时的函数值相等,则当x=2012 时的函数值为-3其中正确的说法是 (把你认为正确说法的序号都填上)考点:二次函数的性质;二次函数图象与几何变换;抛物线与x 轴的交点对应训练2如图,抛物线y1=a(x+2)2-3 与 y2=12(x-3)2+1 交于点 A(1,3) ,过点 A 作 x 轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C则以下结论:无论 x 取何值, y2的值总是正数;
3、a=1;当 x=0 时, y2-y1=4; 2AB=3AC ;其中正确结论是()A B C D考点三:抛物线的特征与a、b、c的关系例 3 二次函数y=ax2+bx+c (a0 )的图象如图所示,其对称轴为x=1,有如下结论:c 1; 2a+b=0; b24ac;若方程ax2+bx+c=0 的两根为x1,x2,则 x1+x2=2,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精品资料欢迎下载则正确的结论是()A B C D对应训练3已知二次函数y=ax2+bx+c (a0 )的图象如图所示对称轴为x=12下列结论中,正确的是(
4、)Aabc0 Ba+b=0 C2b+c 0 D4a+c 2b 考点四:抛物线的平移例 4 如图,把抛物线y=x2沿直线 y=x 平移2个单位后,其顶点在直线上的A 处,则平移后的抛物线解析式是()Ay=(x+1)2-1 By=( x+1)2+1 Cy=( x-1)2+1 Dy=(x-1)2-1 对应训练4已知下列函数y=x2; y=-x2; y=(x-1)2+2其中,图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3 的图象的有(填写所有正确选项的序号)【聚焦中考】1二次函数y=a(x+m)2+n 的图象如图,则一次函数y=mx+n 的图象经过()A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第二、三、四象
5、限 D第一、三、四象限2如图,二次函数的图象经过(-2, -1) , (1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是()Ay 的最大值小于0 B当 x=0 时, y 的值大于1 C当 x=-1 时, y 的值大于1 D当 x=-3 时, y 的值小于0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精品资料欢迎下载3(2015?菏泽)已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示,那么一次函数y=bx+c 和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是()A B C D4设 A(-2,y1) , B( 1,y2)
6、,C(2, y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为()Ay1 y2y3 By1y3y2 Cy3 y2 y1 Dy3y1y25已知二次函数y=2( x-3)2+1下列说法:其图象的开口向下;其图象的对称轴为直线 x=-3;其图象顶点坐标为(3,-1) ;当 x3时, y 随 x 的增大而减小则其中说法正确的有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6二次函数y=ax2+bx+c(a0 )的图象如图所示,给出下列结论:b2-4ac0; 2a+b0; 4a-2b+c=0; abc0. 其中正确的是()A B C D7将抛物线y=3x2向上平移3 个单位,再向左
7、平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为()Ay=3(x+2)2+3 By=3(x-2)2+3 Cy=3(x+2)2-3 D y=3( x-2)2-3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精品资料欢迎下载【备考真题过关】一、选择题1二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则函数值y0 时 x 的取值范围是()Ax-1 Bx3 C-1x 3 Dx-1 或 x 3 2已知二次函数y=x2-4x+5 的顶点坐标为()A (-2,-1) B (2,1) C (2,-1) D (-2,1)3若二次函数y=ax2+bx+a
8、2-2( a、b 为常数)的图象如图,则a的值为()A1 B2 C-2 D-2 4如图,二次函数y=ax2+bx+c 的图象过(1,1) 、 (2, 1)两点,下列关于这个二次函数的叙述正确的是()A当 x=0 时, y 的值大于1 B 当 x=3 时, y 的值小于0 C 当 x=1 时, y 的值大于1 Dy 的最大值小于0 5对于二次函数y=2( x+1) (x-3) ,下列说法正确的是()A图象的开口向下 B 当 x1 时, y 随 x 的增大而减小C当 x1时, y 随 x 的增大而减小 D图象的对称轴是直线x=-1 6已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示,它与x 轴的两
9、个交点分别为(-1, 0) , (3,0) 对于下列命题:b-2a=0; abc 0; a-2b+4c0; 8a+c0其中正确的有()A3 个 B2 个 C1 个 D0 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精品资料欢迎下载7将抛物线y=x2+1 先向左平移2 个单位,再向下平移3 个单位,那么所得抛物线的函数关系式是()Ay=(x+2)2+2 B y=(x+2)2-2 Cy=(x-2)2+2 Dy=(x-2)2-2 8在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2-4x+3 先向右平移3 个单位长度,再向上平移2个单位长
10、度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是()A (-2,3) B (-1, 4) C (1, 4) D (4,3)9在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-x-6 向上(下)或向左(右)平移m 个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m|的最小值为()A1 B2 C3 D6 二、填空题10 平面直角坐标系中,点A 是抛物线y=a(x-3)2+k 与 y 轴的交点,点B 是这条抛物上的另一点,且ABx 轴,则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为11 二次函数y=ax2+bx+c (a,b,c 是常数, a0 )图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示对于下列说法: abc0;a-
11、b+c0; 3a+c0;当 -1x 3时, y0其中正确的是(把正确的序号都填上)12 将抛物线y=x2+x 向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是13.函数 y=(x-1)2+2 的图象绕原点旋转180 后得到的图象的解析式为14 如图,把抛物线y=12x2平移得到抛物线m,抛物线m 经过点 A(-6,0)和原点O(0,0) ,它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=12x2交于点 Q,则图中阴影部分的面积为三、解答题15 知:抛物线y=34(x-1)2-3(1)写出抛物线的开口方向、对称轴;(2)函数 y 有最大值还是最小值?并求出这个最大(小)值;(3)设抛物线与y 轴的交点为P,与 x 轴
12、的交点为Q,求直线PQ 的函数解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精品资料欢迎下载第十五讲二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一:确定二次函数关系式例 1 如图,已知二次函数y=x2+bx+c 过点 A(1,0), C (0,-3 )(1)求此二次函数的解析式;(2)在抛物线上存在一点P使 ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标对应训练1已知抛物线y=-x2+bx+c 经过点 A(3,0), B(-1 ,0)(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标考点二:二次函数与x 轴的交点问题例 2 已知二
13、次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0 的两实数根是()Ax1=1,x2=-1 Bx1=1,x2=2 Cx1=1,x2=0 Dx1=1,x2=3 对应训练2二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是()A-8 B.8 C 8 D6 考点三:二次函数的实际应用例 3 为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20 元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元 / 千克)有如下关系:y=-2x+80
14、设这种产品每天的销售利润为w元(1)求 w与 x 之间的函数关系式(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28 元,该农户想要每天获得150 元的销售利润,销售价应定为每千克多少元?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精品资料欢迎下载考点四:二次函数综合性题目例 4 如图,已知抛物线y=ax2+bx-2 (a0)与 x 轴交于 A 、B两点,与y 轴交于 C点,直线BD交抛物线于点D,并且 D(2,3), tan DBA= 12(1
15、)求抛物线的解析式;(2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M 、C、A,求四边形BMCA 面积的最大值;(3)在( 2)中四边形BMCA 面积最大的条件下,过点M作直线平行于 y 轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心, OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由对应训练4如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象过点C(0,1),顶点为Q ( 2,3),点 D在 x轴正半轴上,且OD=OC (1)求直线CD的解析式;(2)求抛物线的解析式;(3)将直线CD绕点 C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:CEQ C
16、DO ;(4)在( 3)的条件下,若点P是线段 QE上的动点,点F 是线段 OD上的动点,问:在P点和 F 点移动过程中,PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精品资料欢迎下载【聚焦中考】1如图, RtOAB的顶点 A(-2 ,4)在抛物线y=ax2上,将 RtOAB绕点 O顺时针旋转90,得到 OCD ,边 CD与该抛物线交于点P,则点 P的坐标为()A (2,2)B ( 2,2)C (2,2)D (2,2)2 如图,在平面直角坐标系中,二次函数
17、y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B两点, A点在原点的左侧, B点的坐标为( 3,0) ,与 y 轴交于 C(0,-3 )点,点P是直线 BC下方的抛物线上一动点(1)求这个二次函数的表达式(2)连接 PO 、 PC ,并把 POC沿 CO翻折,得到四边形POP C,那么是否存在点P ,使四边形 POP C 为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由(3)当点 P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积3 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是边长为2 的正方形,二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点A,
18、B ,与 x 轴分别交于点E,F,且点 E的坐标为( -23,0) ,以 0C为直径作半圆,圆心为D(1)求二次函数的解析式;(2)求证:直线BE是 D的切线;(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段 CB上的一个动点(点M与点 B,C不重合),过点 M作 MN BE交 x 轴与点 N,连结 PM ,PN ,设 CM的长为 t , PMN 的面积为S,求 S与 t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围S是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精品资料
19、欢迎下载7如图,抛物线y=12x2+bx+c 与 y 轴交于点C(0,-4 ) ,与 x 轴交于点A,B,且 B点的坐标为(2,0)(1)求该抛物线的解析式(2)若点 P是 AB上的一动点,过点P作 PE AC ,交 BC于 E,连接 CP ,求 PCE面积的最大值(3)若点 D为 OA的中点,点M是线段 AC上一点,且 OMD 为等腰三角形,求 M点的坐标8如图,抛物线y=ax2+bx+c 关于直线x=1 对称,与坐标轴交与A, B,C三点,且AB=4 ,点D(2,32)在抛物线上,直线l 是一次函数y=kx-2 (k0)的图象,点O是坐标原点(1)求抛物线的解析式;(2)若直线l 平分四边
20、形OBDC 的面积,求k 的值;(3)把抛物线向左平移1 个单位,再向下平移2 个单位,所得抛物线与直线l 交于 M , N两点,问在y 轴正半轴上是否存在一定点P,使得不论k 取何值,直线PM与 PN总是关于y 轴对称?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由【备考真题过关】一、选择题1已知函数y=x2+2x-3 ,当 x=m时, y0,则 m的值可能是()A-4 B0 C2 D3 2若二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x 轴有两个交点,坐标分别为(x1,0),(x2,0),且 x1x2,图象上有一点M (x0,y0)在 x 轴下方,则下列判断正确的是()Aa0 Bb2- 4ac
21、0Cx1 x0x2Da(x0-x1)( x0-x2) 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精品资料欢迎下载二、填空题3 若函数 y=mx2+2x+1 的图象与x 轴只有一个公共点,则常数m的值是4 如图,在平面直角坐标系xOy 中,若动点P在抛物线y=ax2上, P恒过点 F(0,n) ,且与直线y=-n 始终保持相切,则n= (用含 a 的代数式表示) 三、解答题5 如图,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交y 轴于 A点,交 x 轴于 B、C两点(点B在点 C的左侧),已知A点坐标为( 0,-5 )
22、(1)求此抛物线的解析式;(2)过点 B作线段 AB的垂线交抛物线于点D ,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l 与 C有什么位置关系,并给出证明;(3)在抛物线上是否存在一点P,使 ACP是以 AC为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由12如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4 与坐标轴分别交于A、B两点,过A、 B两点的抛物线为y=-x2+bx+c点 D为线段 AB上一动点,过点D作 CD x 轴于点 C,交抛物线于点 E(1)求抛物线的解析式(2)当 DE=4时,求四边形CAEB的面积(3)连接 BE ,是否存在点D,使得 DBE和 DAC相似?若存在,求此点 D坐标;若不存在,说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页