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1、1 数列百通通项公式求法 ( 一)转化为等差与等比1、已知数列na满足11a,211nnaa(,nNn) ,则它的通项公式na什么2.已知na是首项为2 的数列,并且112nnnnaaa a,则它的通项公式na是什么3.首项为 2 的数列,并且231nnaa,则它的通项公式na是什么4、已知数列na中,10a,112nnaa,*Nn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 33 页2 求证:11na是等差数列;并求数列na的通项公式;5. 已知数列na中,13a,1222nnaan,如果2nnban,求数列na的通项公式(二)
2、含有nS的递推处理方法1)知数列 an的前 n 项和 Sn满足 log2(Sn+1)=n+1,求数列 an 的通项公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 33 页3 2.)若数列na的前 n 项和nS满足,2(2)8nnaS则,数列na3)若数列na的前 n 项和nS满足,111,0,4nnnnaS Saa则,数列na4)12323.(1)(2)naaanan nn求数列na(三)累加与累乘( 1)如果数列na中111,2nnnaaa(2)n求数列na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
3、- - - - - -第 3 页,共 33 页4 ( 2)已知数列na满足31a,)2() 1(11nnnaann,求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32nnnaaaaa,求此数列的通项公式.( 4)若数列na的前 n 项和nS满足,211,2nnSn aa则,数列na(四)一次函数的递推形式1. 若数列na满足1111,12nnaaa(2)n,数列na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 33 页5 2 .若数列na满足1111,22nnnaaa(2)n,数列na(五)分类讨论( 1)2123(3),1,7nna
4、anaa,求数列na( 2)1222,(3)1,3nnanaaa,求数列na(六)求周期16 (1)121,41nnnaaaa,求数列2004a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 33 页6 ( 2)如果已知数列11nnnaaa,122,6aa,求2010a拓展 1:有关等和与等积( 1)数列 na满足01a,12nnaa, 求数列 an的通项公式( 2)数列 na满足01a,12nnaan, 求数列 an的通项公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 33
5、 页7 (3).已知数列满足na)( ,)21(, 3*11Nnaaannn, 求此数列 an 的通项公式 . 拓展 2 综合实例分析1 已知数列 an 的前 n 项和为nS,且对任意自然数n,总有1 ,0,1nnSp app( 1)求此数列 an 的通项公式 (2)如果数列nb中,11222,nbnq ab ab,求实数p 的取值范围2 已知整数列 an满足31223341.3nnnna aa aa aaa,求所有可能的na3 已知na是首项为的正项数列,并且2211(1)0(1,2,3,)nnnnnanaaanL, 则它的通项公式na是什么4 已知na是首项为1 的数列,并且134nnna
6、aa,则它的通项公式na是什么精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 33 页8 5、 数列na和nb中,1,nnnaba成等差数列,nb,1na,1nb成等比数列, 且11a,21b, 设nnnbac,求数列nc的通项公式。6 设无穷数列na的前n项和为nS,已知12a,且当nN时,总有1312nnSS,求na及nS7 数列na满足11nnpSa,其中p为正实数,12nSaa*nanN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 33 页9 (1)证明:na为等比数列
7、,并求出它的通项;(2)数列nb中,11b,1nnnbba,求nb的通项公式数列求最值的方法(一)化为函数方法转化为耐克函数( 1)如果数列na的通项公式是na=24nnn,此数列的哪一项最小?并求其最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 33 页10 ( 2)如果数列na的通项公式是na=2156nn,此数列的哪一项最大?并求其最大值转化为分式函数( 3)如果数列na的通项公式是na=15nn,此数列的哪一项最大?并求其最大值转化为二次函数( 4)如果数列na的通项公式是na=22nkn是单调递增数列,求k 的取值范围。
8、如果该数列在第四项最小,求k 的取值范围(二)数列的简单单调性求最值的方法:如果数列na的通项公式是na= *111.()12nNnnnn,(1)判断数列的增减(2)若对于一切大于1 的自然数n,不等式12log (1)123naaa恒成立求a 的取值范围?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 33 页11 (三)计算器结合复杂单调性,求最值的方法( 1)数列na的通项公式是na=*1,nnN,是否存在自然数m, 使对任意的序号*nN,有nmaa恒成立,若存在,求出m,如果不存在,请说明理由( 2)如果数列na的通项公式是n
9、a=*9() ,10nnN,是否存在自然数m,使对任意的序号*nN, 有nmaa恒成立,若存在,求出m,如果不存在,请说明理由( 3)如果数列na的通项公式是na=*9(1)() ,10nnnN,是否存在自然数m,使对任意的序号*nN,有nmaa恒成立,若存在,求出m,如果不存在,请说明理由(四)数列单调性求“和”的最值的方法已知数列前n 项和为nS,且585,()nnSnanN( 1)求na的通项公式( 2)求nS的通项公式( 3)说说 n 为何值时,nS取得最小值?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 33 页12 数列
10、的求和(一)倒序相加法:(1)设122xfx,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,求:87ff0f89ff的值( 2)01231234.(1)nnnnnnnnnSCCCCnCnC(二)错位相减法求和:135724816212nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 33 页13 (三)公式求和法( 1)数列na中,148,2aa且*2120nnnaaanN,1234nSaaaana,求nS(2))(*122221NnbabbababaaSnnnnnnn( 3)求和222212342n(三)裂项求和法( 1)111,1
11、5 3 7 5 9( 2)111133557精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 33 页14 (3))( ,32114321132112111*Nnn( 4)求数列!nan n的前 n 项和(四) . 分组求和法1. 分部分组法( 1)1111,2,3,248(2) 1,313,32132, 3n13n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 33 页15 2.奇偶分组(3)已知654nnnnan为偶数为奇数求数列na的前n项和3均匀分组( 4)1,3, 5
12、,74. 不均匀分组( 5)求数列:1 1 1 1 1 1 1 1 11, , ,2 2 3 3 3 4 4 4 4的前 100 项和;( 6)求数列:1,23,456,78910,的前n项和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 33 页16 数列的极限5 个“三”三个定义极限( 1)nlim C=C(C为常数) ; ( 2)nlimn1=0; ( 3)nlimqn=0(|q|1)三个不存在的极限limnnlim(1)nnlim 2nn三个推导极限( 1)多项式1*1101110,;.( ,0,0).0,.limkkkkkl
13、llnllalka nana nak lNabbbnb nbnblk3543lim2nbnann,则._, ba(2)单指数1(1)(1)(1)limnnnrqqq( 3)多指数若131lim331nnnna,求a的取值范围三个待定形1)00型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 33 页17 比较2213lim12nnnnn和2213lim14nnnnn2)型比较2232lim21nnn和2252lim21nnn3)0+0+0+0+0+0+0+0 型nlim._)12131211(2222nnnnn三个重要条件0( 11)
14、limnnqqlimnnq极限存在( 11)q1lim1nnaSSq(0| 1)q设数列na是公比0q的等比数列,nS是它的前n项和,若nlim7nS,那么1a的的取值范围是_ 例 1 已知数列na中,)(2, 111Nnaaannn(1)求证数列na不是等比数列,并求该数列的通项公式;(2)求数列na的前 n 项和nS;(3)设数列na的前n2 项和为nS2,若nnnaSka222)1 (3?对任意Nn恒成立,求 k 的最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 33 页18 例 2 定义1x,2x,nx的“倒平均数
15、”为nxxxn21(*Nn) (1)若数列na前 n项的“倒平均数”为421n,求na的通项公式;(2)设数列nb满足:当 n为奇数时,1nb,当 n为偶数时,2nb若nT为nb前 n 项的倒平均数,求nnTlim;(3) 设函数xxxf4)(2, 对(1) 中的数列na, 是否存在实数, 使得当 x时,1)(naxfn对任意*Nn恒成立?若存在,求出最大的实数;若不存在,说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 33 页19 例 3 设 满 足 条 件)(2:*12NnaaaPnnn的 数 列 组 成 的 集 合 为
16、A , 而 满 足 条 件)(2:*12NnaaaQnnn的数列组成的集合为B . (1)判断数列naann21:和数列nnnbb21:是否为集合 A或 B中的元素?(2)已知数列3)(knan,研究na是否为集合 A或 B 中的元素;若是,求出实数k的取值范围;若不是,请说明理由. ( 3) 已知*231( 1)log(,)inan iZnN, 若na为 集 合 B 中 的元 素, 求满 足不 等式60|2|nan的 n的值组成的集合 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 33 页20 例 4 对于数列nx,如果存在一
17、个正整数m,使得对任意的n(Nn)都有nmnxx成立,那么就把这样一类数列nx称作周期为m的周期数列,m的最小值称作数列nx的最小正周期,以下简称周期. 例如当2nx时nx是周期为1的周期数列,当sin()2nyn时ny是周期为4的周期数列 .(1)设数列na满足nnnaaa12(Nn) ,baaa21,(,a b不同时为0) ,求证:数列na是周期为6的周期数列,并求数列na的前 2012 项的和2012S;(2)设数列na的前n项和为nS,且2)1(4nnaS. 若0na,试判断数列na是否为周期数列,并说明理由; 若01nnaa,试判断数列na是否为周期数列,并说明理由;精选学习资料 -
18、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 33 页21 例 5 已知数列na和nb的通项公式分别为36nan,27nbn(*nN) ,将集合*|,|,nnx xanNx xbnNU中的元素从小到大依次排列,构成数列123,nc cccLL。(1)求1234,c c cc;(2)求证:在数列nc中但不在数列nb中的项恰为242,naaaLL;(3)求数列nc的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 33 页22 例 6 如果有穷数列123ma aaaL, , , ,(m
19、为正整数)满足条件maa1,12maa,1aam,即1imiaa(1 2imL, , ) ,我们称其为“对称数列”例如,数列 1 2 5 2 1, 与数列 8 4 2 2 4 8,都是“对称数列” (1)设nb是 7 项的“对称数列” ,其中1234b bb b, , , 是等差数列,且21b,114b依次写出nb的每一项;(2)设nc是49项的“对称数列” ,其中252649cccL, , ,是首项为1,公比为2的等比数列,求nc各项的和S;(3)设nd是100项的“对称数列”,其中5152100dddL, ,是首项为2,公差为3的等差数列 求nd前n项的和nS(1 2100 )nL, ,精
20、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 33 页23 挑战一已知数列na是首项1aa,公差为2 的等差数列;数列nb满足nnanb) 1(2. ( 1)若1a、3a、4a成等比数列,求数列na的通项公式;( 2)若对任意nN都有5nbb成立,求实数a的取值范围;( 3)数列nc满足1213 ()(3)2nnnccnNn且,其中11c,232c;nncbnf)(,当1614a时,求)(nf的最小值(nN)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 33 页24 挑战二
21、我们规定:对于任意实数A,若存在数列na和实数(0)x x,使得21123.nnAaa xa xa x,则称数A可以表示成x进制形式,简记为:1231 ()()().()()nnAxaaaaa。如:2 ( 1)(3)( 2)(1)A,则表示A是一个2 进制形式的数,且23132( 2)21 2A5.( 1)已知2(12 )(13)mxx(其中0)x,试将 m 表示成x进制的简记形式.( 2)若数列na满足12a,*11,1kkakNa,123323132 ()()().()()()nnnnbaaaaaa*()nN,是否存在实常数p 和q,对于任意的*nN,nnbp 8qg总成立?若存在,求出p
22、 和 q;若不存在,说明理由.( 3)若常数t满足0t且1t,1231 ()()().()()nnnnnnnndtCCCCC,求1limnnndd. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 33 页25 挑战三已知数列,满足)(22111Nnaaaannnn(1)nnaa并求出数列的通项公式;(2)求等差数列11231201)(nnnnnnnnaCbCbCbCbNnb,使对Nn都成立;MacacacacMNnnbcnnnn332211)(,使,是否存在正常数令Nn对恒成立,并证明你的结论精选学习资料 - - - - - - -
23、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 33 页26 挑战四已知等差数列na中,公差0d,其前n项和为nS,且满足2345aa,1414aa. (1)求数列na的通项公式;(2)设由nnSbnc(0c)构成的新数列为nb,求证:当且仅当21c时,数列nb是等差数列;(3)对于( 2)中的等差数列nb,设8(7)nnncab(*nN) ,数列nc的前n项和为nT,现有数列( )f n,8( )30.9nnnnf nTab(*nN),是否存在整数M,使Mnf对一切*nN都成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.精选学习资料 - - - - - - - - -
24、 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 33 页27 挑战五已知,数列na有paaa21,(常数0p) ,对任意的正整数nnaaaSn21,,并有nS满足2)(1aanSnn。(1)求a的值;(2)试确定数列na是不是等差数列,若是,求出其通项公式。若不是,说明理由;(3)对于数列nb,假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bbn且bbnnlim,则称b为数列nb的“上渐进值” ,令2112nnnnnSSSSp,求数列npppn221的“上渐进值” 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 33 页28
25、 挑战六已知数列na中,10a,112nnaa,*Nn. ( 1)求证:11na是等差数列;并求数列na的通项公式;( 2)假设对于任意的正整数m、n,都有|nmbb,则称该数列为“域收敛数列”. 试判断 : 数列45nnnba,*Nn是否为一个“23域收敛数列” ,请说明你的理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 33 页29 211123 (18)( ),(0),( )0.(1),( )4,;(2)124.2.,;(3)()23,1,nnnnnnnnnnnf xxaxaaxRxf xaSf naabbnTcccnc
26、c、 本大题分 已知二次函数有且仅有唯一的实数 值满足在数列中 满足求的通项在数列中依次取出第 项、第 项、第 项第项组成新数列求新数列的前 项和理科 设数列满足数列1,(1).(3)(),.nnnnnnnnnHHSncca a的前 项和记作试比较与题中的大小文科 设求数列的最大和最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 33 页30 挑战八已 知 函 数311223log,(,),(,)1xfxMx yN xyx是xf图 像 上 的 两 点 , 横 坐 标 为21的 点P满 足2OPOMONuu u ruu uu ruu
27、u r(O为坐标原点) . ( 1)求证:12yy为定值;( 2)若121nnSfffnnnL*(2)nnN ,求1149lim49nnnnSSSSn的 值;( 3) 在 (2) 的 条 件 下 , 若111612411nnnnanSS,*()nN,nT为 数 列na的 前n项 和 , 若11nnTm S对一切*nN都成立,试求实数m的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 33 页31 挑战九本题共有3 小题,第1 小题满分4 分,第 2 小题满分6 分,第 3小题满分6分把公差为2的等差数列na的各项依次插入
28、等比数列nb中,将nb按原顺序分成1 项、2 项、4项、 、12n项的各组, 得到数列nc:3765423211,abbbbabbab,记数列nc的前n项和为nS若11c,22c,3S413( 1)求数列na、nb的通项公式;( 2)求数列nc的前 100 项和100S;( 3)设nnnabT2009,阅读框图写出输出项,说明理由开始i1100iii1结束是是否否T15 输出 Ti 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 33 页32 挑战十已知数列 an和bn满足: a1=,an+1=24,( 1) (321),3nnnna
29、nban其中为实数, n 为正整数 .( 1)对任意实数,证明: 数列 an不是等比数列;( 2)证明:当18nb时,数列是等比数列;( 3)设 0ab(a,b 为实常数) ,Sn为数列 bn 的前 n 项和 . 是否存在实数,使得对任意正整数 n,都有 aSnb?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页,共 33 页33 挑战十一将数列 an 中的所有项按第一排三项,以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表:记表中的第一列数a1,a4, a8,构成的数列为bn ,已知: 在数列 bn 中, b1=1,对于任何nN* ,都有( n+1)bn+1nbn=0; 表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q( q0)的等比数列;请解答以下问题:( 1)求数列 bn 的通项公式;(2)求上表中第k(kN*)行所有项的和S(k) ;( 3)若关于x 的不等式在上有解,求正整数k 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页,共 33 页