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1、1 数列百通通项公式求法 ( 一)转化为等差与等比1、已知数列na满足11a，211nnaa（,nNn） ，则它的通项公式na什么2.已知na是首项为2 的数列，并且112nnnnaaa a，则它的通项公式na是什么3.首项为 2 的数列，并且231nnaa，则它的通项公式na是什么4、已知数列na中，10a，112nnaa，*Nn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 33 页2 求证：11na是等差数列；并求数列na的通项公式；5. 已知数列na中，13a，1222nnaan，如果2nnban，求数列na的通项公式（二）
2、含有nS的递推处理方法1）知数列 an的前 n 项和 Sn满足 log2（Sn+1）=n+1，求数列 an 的通项公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 33 页3 2.）若数列na的前 n 项和nS满足，2(2)8nnaS则，数列na3）若数列na的前 n 项和nS满足，111,0,4nnnnaS Saa则，数列na4）12323.(1)(2)naaanan nn求数列na（三）累加与累乘（ 1）如果数列na中111,2nnnaaa(2)n求数列na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
3、- - - - - -第 3 页，共 33 页4 （ 2）已知数列na满足31a，)2() 1(11nnnaann，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32nnnaaaaa,求此数列的通项公式.（ 4）若数列na的前 n 项和nS满足，211,2nnSn aa则，数列na（四）一次函数的递推形式1. 若数列na满足1111,12nnaaa(2)n，数列na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 33 页5 2 .若数列na满足1111,22nnnaaa(2)n，数列na（五）分类讨论（ 1）2123(3),1,7nna
4、anaa，求数列na（ 2）1222,(3)1,3nnanaaa，求数列na（六）求周期16 （1）121,41nnnaaaa，求数列2004a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 33 页6 （ 2）如果已知数列11nnnaaa，122,6aa，求2010a拓展 1：有关等和与等积（ 1）数列 na满足01a,12nnaa, 求数列 an的通项公式（ 2）数列 na满足01a,12nnaan, 求数列 an的通项公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 33
5、 页7 (3).已知数列满足na)( ,)21(, 3*11Nnaaannn, 求此数列 an 的通项公式 . 拓展 2 综合实例分析1 已知数列 an 的前 n 项和为nS，且对任意自然数n，总有1 ,0,1nnSp app（ 1）求此数列 an 的通项公式 (2)如果数列nb中，11222,nbnq ab ab，求实数p 的取值范围2 已知整数列 an满足31223341.3nnnna aa aa aaa，求所有可能的na3 已知na是首项为的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)nnnnnanaaanL， 则它的通项公式na是什么4 已知na是首项为1 的数列，并且134nnna
6、aa，则它的通项公式na是什么精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 33 页8 5、 数列na和nb中，1,nnnaba成等差数列，nb，1na，1nb成等比数列， 且11a，21b， 设nnnbac，求数列nc的通项公式。6 设无穷数列na的前n项和为nS，已知12a，且当nN时，总有1312nnSS，求na及nS7 数列na满足11nnpSa，其中p为正实数，12nSaa*nanN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 33 页9 (1)证明：na为等比数列
7、，并求出它的通项；(2)数列nb中，11b，1nnnbba，求nb的通项公式数列求最值的方法（一）化为函数方法转化为耐克函数（ 1）如果数列na的通项公式是na=24nnn，此数列的哪一项最小？并求其最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 33 页10 （ 2）如果数列na的通项公式是na=2156nn，此数列的哪一项最大？并求其最大值转化为分式函数（ 3）如果数列na的通项公式是na=15nn，此数列的哪一项最大？并求其最大值转化为二次函数（ 4）如果数列na的通项公式是na=22nkn是单调递增数列，求k 的取值范围。
8、如果该数列在第四项最小，求k 的取值范围（二）数列的简单单调性求最值的方法：如果数列na的通项公式是na= *111.()12nNnnnn，(1)判断数列的增减(2)若对于一切大于1 的自然数n，不等式12log (1)123naaa恒成立求a 的取值范围？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 33 页11 （三）计算器结合复杂单调性，求最值的方法（ 1）数列na的通项公式是na=*1,nnN，是否存在自然数m， 使对任意的序号*nN，有nmaa恒成立，若存在，求出m，如果不存在，请说明理由（ 2）如果数列na的通项公式是n
9、a=*9() ,10nnN，是否存在自然数m，使对任意的序号*nN， 有nmaa恒成立，若存在，求出m，如果不存在，请说明理由（ 3）如果数列na的通项公式是na=*9(1)() ,10nnnN，是否存在自然数m，使对任意的序号*nN，有nmaa恒成立，若存在，求出m，如果不存在，请说明理由（四）数列单调性求“和”的最值的方法已知数列前n 项和为nS，且585,()nnSnanN（ 1）求na的通项公式（ 2）求nS的通项公式（ 3）说说 n 为何值时，nS取得最小值？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 33 页12 数列
10、的求和（一）倒序相加法：（1）设122xfx，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求：87ff0f89ff的值（ 2）01231234.(1)nnnnnnnnnSCCCCnCnC（二）错位相减法求和：135724816212nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 33 页13 （三）公式求和法（ 1）数列na中，148,2aa且*2120nnnaaanN，1234nSaaaana，求nS（2）)(*122221NnbabbababaaSnnnnnnn（ 3）求和222212342n（三）裂项求和法（ 1）111,1
11、5 3 7 5 9（ 2）111133557精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 33 页14 （3）)( ,32114321132112111*Nnn（ 4）求数列!nan n的前 n 项和（四） . 分组求和法1. 分部分组法（ 1）1111,2,3,248（2） 1，313，32132， 3n13n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 33 页15 2.奇偶分组（3）已知654nnnnan为偶数为奇数求数列na的前n项和3均匀分组（ 4）1,3, 5
12、,74. 不均匀分组（ 5）求数列：1 1 1 1 1 1 1 1 11, , ,2 2 3 3 3 4 4 4 4的前 100 项和；（ 6）求数列：1,23,456,78910,的前n项和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 33 页16 数列的极限5 个“三”三个定义极限（ 1）nlim C=C（C为常数） ; （ 2）nlimn1=0; （ 3）nlimqn=0（|q|1）三个不存在的极限limnnlim(1)nnlim 2nn三个推导极限（ 1）多项式1*1101110,;.( ,0,0).0,.limkkkkkl
13、llnllalka nana nak lNabbbnb nbnblk3543lim2nbnann，则._, ba(2)单指数1(1)(1)(1)limnnnrqqq（ 3）多指数若131lim331nnnna，求a的取值范围三个待定形1）00型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 33 页17 比较2213lim12nnnnn和2213lim14nnnnn2）型比较2232lim21nnn和2252lim21nnn3）0+0+0+0+0+0+0+0 型nlim._)12131211(2222nnnnn三个重要条件0( 11)
14、limnnqqlimnnq极限存在( 11)q1lim1nnaSSq(0| 1)q设数列na是公比0q的等比数列，nS是它的前n项和，若nlim7nS，那么1a的的取值范围是_ 例 1 已知数列na中，)(2, 111Nnaaannn（1）求证数列na不是等比数列，并求该数列的通项公式；（2）求数列na的前 n 项和nS；（3）设数列na的前n2 项和为nS2，若nnnaSka222)1 (3?对任意Nn恒成立，求 k 的最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 33 页18 例 2 定义1x，2x，nx的“倒平均数
15、”为nxxxn21（*Nn） （1）若数列na前 n项的“倒平均数”为421n，求na的通项公式；（2）设数列nb满足：当 n为奇数时，1nb，当 n为偶数时，2nb若nT为nb前 n 项的倒平均数，求nnTlim；（3） 设函数xxxf4)(2， 对（1） 中的数列na， 是否存在实数， 使得当 x时，1)(naxfn对任意*Nn恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 33 页19 例 3 设 满 足 条 件)(2:*12NnaaaPnnn的 数 列 组 成 的 集 合 为
16、A ， 而 满 足 条 件)(2:*12NnaaaQnnn的数列组成的集合为B . （1）判断数列naann21:和数列nnnbb21:是否为集合 A或 B中的元素？（2）已知数列3)(knan，研究na是否为集合 A或 B 中的元素；若是，求出实数k的取值范围；若不是，请说明理由. （ 3） 已知*231( 1)log(,)inan iZnN， 若na为 集 合 B 中 的元 素， 求满 足不 等式60|2|nan的 n的值组成的集合 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 33 页20 例 4 对于数列nx，如果存在一
17、个正整数m，使得对任意的n（Nn）都有nmnxx成立，那么就把这样一类数列nx称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列nx的最小正周期，以下简称周期. 例如当2nx时nx是周期为1的周期数列，当sin()2nyn时ny是周期为4的周期数列 .（1）设数列na满足nnnaaa12（Nn） ，baaa21,（,a b不同时为0） ，求证：数列na是周期为6的周期数列，并求数列na的前 2012 项的和2012S；（2）设数列na的前n项和为nS，且2)1(4nnaS. 若0na，试判断数列na是否为周期数列，并说明理由； 若01nnaa，试判断数列na是否为周期数列，并说明理由；精选学习资料 -
18、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 33 页21 例 5 已知数列na和nb的通项公式分别为36nan，27nbn（*nN） ，将集合*|,|,nnx xanNx xbnNU中的元素从小到大依次排列，构成数列123,nc cccLL。（1）求1234,c c cc；（2）求证：在数列nc中但不在数列nb中的项恰为242,naaaLL；（3）求数列nc的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 33 页22 例 6 如果有穷数列123ma aaaL， ， ， ，（m
19、为正整数）满足条件maa1，12maa，1aam，即1imiaa（1 2imL， ， ） ，我们称其为“对称数列”例如，数列 1 2 5 2 1， 与数列 8 4 2 2 4 8，都是“对称数列” （1）设nb是 7 项的“对称数列” ，其中1234b bb b， ， ， 是等差数列，且21b，114b依次写出nb的每一项；（2）设nc是49项的“对称数列” ，其中252649cccL， ， ，是首项为1，公比为2的等比数列，求nc各项的和S；（3）设nd是100项的“对称数列”，其中5152100dddL， ，是首项为2，公差为3的等差数列 求nd前n项的和nS(1 2100 )nL， ，精
20、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 33 页23 挑战一已知数列na是首项1aa，公差为2 的等差数列；数列nb满足nnanb) 1(2. （ 1）若1a、3a、4a成等比数列，求数列na的通项公式；（ 2）若对任意nN都有5nbb成立，求实数a的取值范围；（ 3）数列nc满足1213 ()(3)2nnnccnNn且，其中11c，232c；nncbnf)(，当1614a时，求)(nf的最小值（nN）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 33 页24 挑战二
21、我们规定：对于任意实数A，若存在数列na和实数(0)x x，使得21123.nnAaa xa xa x，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：1231 ()()().()()nnAxaaaaa。如：2 ( 1)(3)( 2)(1)A，则表示A是一个2 进制形式的数，且23132( 2)21 2A5.（ 1）已知2(12 )(13)mxx（其中0)x，试将 m 表示成x进制的简记形式.（ 2）若数列na满足12a，*11,1kkakNa，123323132 ()()().()()()nnnnbaaaaaa*()nN，是否存在实常数p 和q，对于任意的*nN，nnbp 8qg总成立？若存在，求出p
22、 和 q；若不存在，说明理由.（ 3）若常数t满足0t且1t，1231 ()()().()()nnnnnnnndtCCCCC，求1limnnndd. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 33 页25 挑战三已知数列，满足)(22111Nnaaaannnn(1)nnaa并求出数列的通项公式；(2)求等差数列11231201)(nnnnnnnnaCbCbCbCbNnb，使对Nn都成立；MacacacacMNnnbcnnnn332211)(，使，是否存在正常数令Nn对恒成立，并证明你的结论精选学习资料 - - - - - - -
23、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 33 页26 挑战四已知等差数列na中，公差0d，其前n项和为nS，且满足2345aa，1414aa. （1）求数列na的通项公式；（2）设由nnSbnc（0c）构成的新数列为nb，求证：当且仅当21c时，数列nb是等差数列；（3）对于（ 2）中的等差数列nb，设8(7)nnncab（*nN） ，数列nc的前n项和为nT，现有数列( )f n，8( )30.9nnnnf nTab（*nN），是否存在整数M，使Mnf对一切*nN都成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由.精选学习资料 - - - - - - - - -
24、 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 33 页27 挑战五已知，数列na有paaa21,（常数0p） ，对任意的正整数nnaaaSn21,，并有nS满足2)(1aanSnn。（1）求a的值；（2）试确定数列na是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；（3）对于数列nb，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bbn且bbnnlim，则称b为数列nb的“上渐进值” ，令2112nnnnnSSSSp，求数列npppn221的“上渐进值” 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 33 页28
25、 挑战六已知数列na中，10a，112nnaa，*Nn. （ 1）求证：11na是等差数列；并求数列na的通项公式；（ 2）假设对于任意的正整数m、n，都有|nmbb，则称该数列为“域收敛数列”. 试判断 : 数列45nnnba，*Nn是否为一个“23域收敛数列” ，请说明你的理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 33 页29 211123 (18)( ),(0),( )0.(1),( )4,;(2)124.2.,;(3)()23,1,nnnnnnnnnnnf xxaxaaxRxf xaSf naabbnTcccnc
26、c、 本大题分 已知二次函数有且仅有唯一的实数 值满足在数列中 满足求的通项在数列中依次取出第 项、第 项、第 项第项组成新数列求新数列的前 项和理科 设数列满足数列1,(1).(3)(),.nnnnnnnnnHHSncca a的前 项和记作试比较与题中的大小文科 设求数列的最大和最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 33 页30 挑战八已 知 函 数311223log,(,),(,)1xfxMx yN xyx是xf图 像 上 的 两 点 ， 横 坐 标 为21的 点P满 足2OPOMONuu u ruu uu ruu
27、u r（O为坐标原点） . （ 1）求证：12yy为定值；（ 2）若121nnSfffnnnL*(2)nnN ，求1149lim49nnnnSSSSn的 值；（ 3） 在 (2) 的 条 件 下 ， 若111612411nnnnanSS，*()nN，nT为 数 列na的 前n项 和 ， 若11nnTm S对一切*nN都成立，试求实数m的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 33 页31 挑战九本题共有3 小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3小题满分6分把公差为2的等差数列na的各项依次插入
28、等比数列nb中，将nb按原顺序分成1 项、2 项、4项、 、12n项的各组， 得到数列nc：3765423211,abbbbabbab，记数列nc的前n项和为nS若11c，22c，3S413（ 1）求数列na、nb的通项公式；（ 2）求数列nc的前 100 项和100S；（ 3）设nnnabT2009，阅读框图写出输出项，说明理由开始i1100iii1结束是是否否T15 输出 Ti 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 33 页32 挑战十已知数列 an和bn满足： a1=,an+1=24,( 1) (321),3nnnna
29、nban其中为实数， n 为正整数 .（ 1）对任意实数，证明: 数列 an不是等比数列；（ 2）证明：当18nb时，数列是等比数列；（ 3）设 0ab（a,b 为实常数） ,Sn为数列 bn 的前 n 项和 . 是否存在实数，使得对任意正整数 n，都有 aSnb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 33 页33 挑战十一将数列 an 中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a1，a4， a8，构成的数列为bn ，已知： 在数列 bn 中， b1=1，对于任何nN* ，都有（ n+1）bn+1nbn=0； 表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（ q0）的等比数列；请解答以下问题：（ 1）求数列 bn 的通项公式；（2）求上表中第k（kN*）行所有项的和S（k） ；（ 3）若关于x 的不等式在上有解，求正整数k 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 33 页
