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1、优秀学习资料欢迎下载20132014 学年华师大八年级数学（上）第 11 章数的开方 11.1 平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根。（也叫做二次方根）即：若 x2=a，则 x 叫做 a 的平方根。2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；例如： 5 的平方根是5（2）零的平方根是零；例如： 0的平方根是0（3）负数没有平方根。例如： 1 没有平方根二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根。2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；例如： 3 的算术平方根是3（
2、2）零的算术平方根是零；例如： 0 的算术平方根是0，即0=0（3）负数没有算术平方根；例如1没意义（4）算术平方根的非负性：a 0。 （a0）其中 a叫做被开方数。负数没有平方根，被开方数a 必须为非负数，即：a0。三、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。四、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根。（也叫做三次方根）即：若 x3=a，则 x 叫做 a 的立方根。2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；例如： 2 的立方根是32（2）一个负数的立方根为负；例如： 2 的立方根是332=2（3）零的立方根是零。即30=03、立方根的记号：3a
3、（读作：三次根号a） ， a 称为被开方数， “3”称为根指数。3a中的被开方数a 的取值范围是：a 为全体实数。五、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。六、注意事项：1 取值问题若3x有意义，则x 取值范围是。 （ x-30， x3） （填： x3）若32013x有意义，则x 取值范围是。 （填：全体实数）2、33aa。如：3273，3273，3327273、 几个常见的算数平方根的值：414.12，732.13，236.25，449.26，646.27。七、补充的部分内容 (1)baab（a 0，b0） ；(2) baba（a0，b 0） ；(3) aa2)(（a0） ； (4)
4、|2aa11.2 实数与数轴一、无理数1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。2、常见的无理数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载（1）开方开不尽的数。如：256710，2532617102，等。（2） “”类的数。如：，3，1，2等。（3）无限不循环小数。如：2.1010010001 ， -0.234242242224 ，等二、实数1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。2、与实数有关的概念：（1）相反数：实数a 的相反数为 - a。若实数a、b 互为相反数，则a+b=0。（2）倒数：非零实数
5、a 的倒数为a1（a0） 。若实数a、b 互为倒数，则ab=1。（3）绝对值：实数a 的绝对值为：)0()0(0) 0(|aaaaaa3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。4、实数的分类：（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。（2）按照定义分为：有理数和无理数统称为实数。5、几个“非负数” ： （1） a2 0； （2） | a|0； （ 3）a0。6、实数与数轴上的点是一 一对应 关系。第 12 章整式的乘除12.1 幂的运算一、同底数幂的乘法公式： aman=am+n（ m、 n、均为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。二、幂的乘方公式： (am)n
6、=amn（m、n 均为正整数） 。幂的乘方，底数不变，指数相乘。三、积的乘方公式： (ab)n=anbn（ n 为正整数）。积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。四、同底数幂的除法公式： aman=am-n（m、n 均为正整数，mn，a0）同底数幂相除，底数不变，指数相减。 12.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。如： (-5 a2b2) (-4 b2c) (-23ab)=(-5)(-4) (-23) ( a2a)( b2b2) c =-30 a3b4c 二、单项式与多项式
7、相乘法则： （乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。如：22( 3)(21)xxx(-3 x2) (- x2)+(-3 x2) 2 x 一(-3 x2) 1=432363xxx三、多项式与多项式相乘法则： （1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。如： ( m+n)( a+b)= ma+mb+na +nb (2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载项式相
8、乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。如： ( m+n)( a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb +nb12.3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式： ( a+b)( a-b)= a2- b2；名称：平方差公式。2、注意事项： （1）a、b 可以是实数，也可以是代数式等。（2）注意公式的本质特征：a 这项前后是一样的，但是b这项前后要互为相反数。二、完全平方公式1、公式： ( ab)2=a2 2a b+b2；名称：完全平方公式。2、注意事项： （1）a、b 可以是实数，也可以是代数式等。（2）注意公式中“中间的乘积项的符号及系数”。3、补充公式： ( a+
9、b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算” 。 12.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。如： -21 a2b3c3ab=(-21 3) a2-1b3-1c =-7 ab2c 二、多项式除以单项式法则：只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。如： (21 x4y3-35 x3y2+7x2y2)(-7 x2y)=21 x4y3(-7 x2y)-35 x3y2(-7 x2y
10、)+ 7x2y2(-7 x2y)=-3 x2y2+5xy - y 整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。12.5 因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。具体步骤：（1） “看” 。观察各项是否有公因式； （2） “隔” 。把每项的公因式“隔离”出来；（3） “提” 。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。(
11、a-b) 2n=(b-a) 2n(n 为正整数 )； (a-b) 2n+1=- (b-a) 2n+1(n 为正整数 )；如： 8a2b-4ab+2a =2a4ab- 2a2b+2a1=2a(4ab-2b+1) ；- 5 a2+25 a= - 5 aa+5a 5=- 5 a(a+5) (注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“- ”号与公因式一并提出来。) 三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式：a2- b2=( a+b)( a-b) ；名称：平方差公式。2、完全平方公式：( ab)2=a22a b+b2；名称：完全平方公式。四、综合1、遇到因式分解的题目时
12、，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否含有“负号”，若有“一”，就要注意提负号； （2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解。2、注意事项： （1）注意（ a-b）与（ b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数。第 13 章全等三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载1、五种基
13、本尺规作图画角平分线过已知点画垂线画垂直平分线画角画线段2、等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的边也相等；注意： 如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。3、角平分线：性质：角平分线上的点到角两边的距离相等判定：到一个角两边距离相等的点在角平分线上4、垂直平分线：性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等判定：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。5、.全等三角形： 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。表示方法：ABC DEF 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等6
14、、 三角形全等的判定：No.1 边边边(SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。No.2 角边角（ SAS） ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。No.3 角边角（ ASA ） ：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。No.4 角角边（ AAS） ：两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。No.5 斜边，直角边(HL) ：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。第 14 章勾股定理14.1 勾股定理一、直角三角形三边的关系1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。几何语言：如图，在RtABC中， C=90o，A、 B、 C所对的边分别是a、b、c则有： a
15、2+b2=c2。2、注意事项：假设两条直角边为a、 b，斜边为 c已知两边，利用勾股定理可求第三边，常常使用变形公式已知两条直角边a、b 求斜边 c：则22cab已知一条直角边a 和斜边 c 求另一条直角边b,则22bca已知一条直角边b 和斜边 c 求另一条直角边a,则22acb勾股定理必须在Rt使用，若遇到非Rt，则可引垂线段“造”Rt。注意 Rt中告诉的“直角”是哪个，以便准确确定“斜边”。二、 Rt的判定1、直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：若ABC的三边 a、b、c 满足 a2+b2=c2，则 C=9
16、0o。“勾股数” ：指三个满足a2+b2=c2的正整数，我们称为勾股数。注意勾股定理的逆定理的应用，只要涉及三角形三边长的问题，都要判定一下是否为Rt。三、反证法的步骤：先 假结 论 的 反 面是 正 确 的 ， 然 后 通 过推 理 证 明， 推 出 与 基 本 事 实 ，定 理 ，定 义， 或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确。A C B cab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载 14.2 勾股定理的应用常见问题：1、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树”、 “到两个点的路程之和最短”
17、等问题。2、 “通过问题”。如“过门洞” 、 “路线穿过公园”等问题。3、 “干扰问题”。如“台风影响” 、 “噪音影响”等问题。4、阴影面积问题。5、作图中的作2，3，5，13等问题。15 数据的收集与表示生活中的数据无处不在，当大量的数据呈现在我们面前时，我们要收集、整理、分析这些数据，从而为我们的决策提供依据频数：个体出现的次数总数：样本各个体出现的次数总和=频数频率总数调查和借助统计图表是收集数据的基本方法.做统计图表是处理数据、表示数据的基本手段1. 常见的统计图有:(1) 条形统计图 (2) 扇形统计图 (3) 折线统计图扇形统计图能清楚地表示各部分的总体中所占的百分比，条形图能准
18、确地表示出每个项目的具体数目，折线图能清楚地反映事物的变化趋势2. 扇形统计图及其特点: (1) 扇形统计图是利用圆和扇形来表示和部分的比例关系, 即用圆表示 . 用扇形表示 ,扇形的大小反映(2) 扇形统计图能清楚的表示各部分在总体中所占3 扇形中心角计算方法: (1) 扇形的中心角=3600 . (2) 若已知扇形统计图, 用量角器量出每个扇形的读数 . (3) 部分占总体的百分比=100%总体. 4. 画扇形统计图的步骤(1) ; (2) ; (3)第十一章：数的开方知识点内容备注精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9
19、 页优秀学习资料欢迎下载知识点内容备注幂的运算同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加逆用：= 幂的乘方幂的乘方， 底数不变，指数相乘逆用：例：积的乘法积的乘方，把积的每一个因式分别相乘，再把所得的幂相乘= = 逆用：=1 同底数幂的除法同底数幂相处，底数不变，指数相减逆用 ：例：若 =2,则的值是 ? 整式的乘法单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、 相同的字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式例： =3 2 (x)(y) =单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加例： (- 2
20、 =(- 2+(- 2) =- 6+10 多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加例： （X+2） （ X 3）= 整式的除法单项式除以单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式例： 24 =（24） （） （）=8多项式除以单项式多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加例: (9)(3x) =9 =3 乘法公式平方差公式两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差例： (a+b)(a-b)= 逆用： =(a+b)(a-b)
21、两数和的平方公式两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2 倍例：逆用两数差的平方公式两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2 倍例：逆用平方根概念 : 如果 一个数的平方等于 a，那么这个数叫做a 的平方根算术平方根 ：正数 a的正的平方根。记作：性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数，0 的平方根是 0，负数没有平方根考点：（ a 的取值范围a） () (a 的取值范围为任意实数) = 例： =（） =5 =a(a 为任意实数 ) 例： =2, =2 立方根概念：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a 的立方根性质 ： 任何实数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的
22、立方根是负数，0的立方根是0 (1)baab（a0，b0） ；aa2)(（a0） ；实数1.包括 有理数 和无理数2.实数与数轴上的点一一对应常见的无理数 （无限不循环小数）有：开方开不尽的数，如，等有规律且无限不循环的小数。考点：判断下列的数哪些是无理数？有理数：分数和整数的统称如： ，, 0 都是有理数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解因式分解的方法：提公因式法运用乘法公式法十字相乘法=(a+b)(a-b) 常考点：两种因式
23、分解法一起运用（先提公因式，然后再运用公式法）例：= “ 1”常常要变成“”例：第十三章：全等三角形全等三角形性质： 全等三角形的对应边和对应角相等全等三角形的判定：1. （边边边） S.S.S.：如果两个三角形的三条边都对应地相等，那么这两个三角形全等。2.（边、角、边）S.A.S.：如果两个三角形的其中两条边都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等，那么这两个三角形全等。3.（角、边、角）A.S.A.：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，那么这两个三角形全等。4.（角、角、边）A.A.S.：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，且对应相等的角所对应
24、的边对应相等，那么这两个三角形全等。5.（斜边、直角边）H.L. ：如果两个直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，那么这两个三角形全等。常考点：公共边公共角两直线平行 （两直线平行， 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补）对顶角（对顶角相等）需要注意：判定两直角三角形全等：五个判定都可用，特殊：斜边直角边等腰三角形等腰三角形的性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两底角相等等腰三角形“三线合一”（顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合）等腰三角形是轴对称图形 ，只有一条对称轴等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）考点：若则说明等腰三角形“三线合一”DBC
25、A1.若AD 则 BD=BC, BAD= CAD2.自己补充完整判定定义法： 在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。判定定理： 在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边 ） 。线段的垂直平分线线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等EF ,AC=BC, 点 D 是直线 EF 上任意一点DA=DB考点：CEAFBD若直线 EF 是线段AB的垂直平分线，则： DA=DB 是等腰三角形，因此具有等腰三角形的一切性质线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上DA=DB 点 D 在线段 AB 的垂直平分线上角平
26、分角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等OP 平分 AOB ，且 PD，PE，PE=PDDEBOAP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载线角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上PD， PE 且 PE=PD OP 平分 AOB互逆命题与互逆定理第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做 互逆命题。每一个命题都有逆命题，但不是每个定理都有逆定理。考点： 判断一个命题或定理的逆命题为真为假尺规作图五个基本的作图方法：作一条线段等于已知线段作一个角等于
27、已知角作已知角的平分线过一点作已知线段的垂线作已知线段的垂直平分线考点：综合考察，例如用尺规作图画直角三角形，等腰三角形等等等边三角形性质： 是特殊的等腰三角形，因此具有等腰三角形的一切性质。（等腰三角形包括等边三角形，等腰大于等边）等边三角形的三条边相等等边三角形的三个角相等，都为60 判定：定义：三条边都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形第十四章：勾股定理知识点内容备注勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、 b、c 有关系 ，那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角反
28、证法步骤：假设结论的反面是正确的然后得出推理或定理与已知条件相矛盾从而说明假设不成立，原结论正确拓展 : 如果三角形的三边长a、b、c 有关系，那么这个三角形不是直角三角形，且边 c 所对的角不为直角勾股定理的应用（把实际问题转化为数学问题）常见的勾股数：3、4、5 或 5、 12、13 或 6、8、 10、路程最短问题：展开圆柱或者正方体，长方体的面积航行问题已知直角三角形的两条边，求第三条边第十五章：数据的收集与处理知识点内容备注频数、频率、总次数频数：每个对象出现的次数频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）公式：频率 =, 总次数 = 频率 = 频数 =总次数频率考点拓展：
29、频数之和等于总次数频率之和为1 频率 P 取值范围（ 0P1） 频率可以表示为小数，分数，或者百分数（必须统一）弄清频数、频率、总次数三者之间的关系，只其二必可算出第三个数据的表示扇形统计图考查各部分占总体大小的百分比各部分的百分比之和等于或者等于 1 各部分的百分比不等于1， 不能用扇形统计图表示条形统计图考查各部分具体数据各部分的具体数据为频数折线统计图考查总体的变化趋势常运用于股市与气温的统计b c a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载综合考查扇形统计图与条形统计图一起考，条形统计图的具体数据为频数，扇形统计图的百分比为频率，从而可以根据公式计算出总次数根据统计表，会制作条形统计图（单位值，间隔值要相等）根据统计表，会制作扇形统计图（计算百分比和百分数）扇形圆心角的度数=百分比扇形的面积之比=各部分所占百分数之比=各部分圆心角之比精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
