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1、学习必备欢迎下载关于等式与不等式的基本证明一、考试内容(一)介值 定理介值 定理: 若)(xf在,ba上连续, 且( )( )f af b,对于( ),( )f af b之间的任一个数C,),(ba,使( )fC (,a b)介值 定理推论 1(零点 定理):若)(xf在,ba上连续,且( )( )0f a f b,则),(ba,使( )0f (,a b)介值 定理推论 2(零点 定理):若)(xf在( , )a b内连续,且()()0f af b,则),(ba,使( )0f (,a b)介值 定理推论 3(零点 定理):若)(xf在(,)内连续,且lim( ) lim( )0xxfxf x,
2、则),(ba,使( )0f (,a b)介值 定理推论 4:若)(xf在,ba上连续,min( )fxm,max( )fxM,且Mm,对于,m M之间的任一个数C,则),(ba,使( )fC (可能取到a或b)(二)代數基本定理: 任何一個非零的一元n 次实系数多項式,都至多有n 個实数零点(三)积分 中值定理定积分 中值定理:若)(xf在,ba上连续,则( , )a b,使( )( )()baf x dxfba定积分 中值定理推论1:设)(),(xgxf在,ba上连续,且( )g x在,ba上不变号,则( , )a b,使babadxxgfdxxgxf)()()()(对于定积分 中值定理及其
3、推论1,可能取到a或b(四)微分 中值定理罗尔 中值定理:若)(xf在,ba上连续,在),(ba内可导,且( )( )f af b,则),(ba,使( )0f罗尔 中值定理的推广形式1:若)(xf在,ba上连续, 在),(ba内可导, 且)(xf有2n个不同的零点,则( )fx在),(ba内至少存在1n个不同的零点罗尔 中值定理的推广形式2:若)(xf在),(ba内可导,且()()f aAf b,则),(ba,使( )0f罗尔 中值定理的推广形式3:若)(xf在 ,)a内连续,在( ,)a内可导,且lim( )( )xf xf a,则( ,)a,使( )0f罗尔 中值定理的推广形式4:若)(x
4、f在,ba上连续,在),(ba内可导,且( )0fx,则)(xf在),(ba内为单调函数拉格朗日 中值定理:若)(xf在,ba上连续,在),(ba内可导,则),(ba,使( )( )( )()f bf afba(五)不等式定理凹凸性不等式定理:若( )( )0,fx则( )( )( )()22f xfyxyf积分 不等式定理:若( )( )f xg x,则( )( )bbaaf x dxg x dx(ab) ,但反之不然积分 估值定理:若( )f x在 , a b(ab)上连续,则minmax( )()( )( )()bafx baf x dxfx ba积分绝对值 不等式定理:( )( )bb
5、aaf x dxf x dx(ab) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页学习必备欢迎下载二、典型例题题型一恒等式证明主要方法:求导法、换元法、反证法例 1、 求证: (1)()0( )()( )( ),fxa TTafxfx Tf x dxf x dx连续( 2)( )00( )()( )( )fxnTTfxfx Tf x dxnf x dx连续提示: (1)令0( )( )( ),a TTaF af x dxf x dxaR用求导法,这比用换元法方便(2)令00( )( )( )nTTG nf x dxnf x d
6、x,用求导法错误,因nZ,用换元法方便111(1)0000000( )( )()( )( )nnnx kTunTkTTTTkTkkkf x dxf x dxf kTu duf x dx nf x dx例 2、设)(xf在,ba上连续,且0)(xf,若0)(badxxf,则在,ba上,0)(xf证明:用反证法,假设0)(),(00xfbax,则),(),(00baxx)0(0)(xf,则baxxxxfdxxfdxxf),(,0)(2)()(0000积分中值定理. 这与0)(badxxf矛盾,故原式得证题型二方程根的存在性与中值问题主要方法:介值定理、微积分中值定理、反证法(1))(xf在,ba或
7、),(ba上连续, 则( )f x直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数,用中值定理解决例 1、设)(xf在,ba上连续,且0,qpbdca,求证:方程)()()()(dqfcpfxfqp在),(da内至少有一根提示:取)()()()()(dqfcpfxfqpxF在,dc上用零点Th例 2、 设)(xf在),(上连续,且0)(limxxfx, 求证:),(使0)(f证明:设xxfxF)()(,则)(xF在),(上连续,)(1 lim)(limxxfxxFxx,01x,使0)(1xF同理,由,)(limxfx02x,使0)(2xF故,)(xF在,21xx上满足零点定理,因而,原题得证例 3、)
8、(xf在,ba上连续,0,iitbax),2, 1(ni,且11niit,求证:,ba使niiixftf1)()( (此为1()nif x的加权平均值)提示:( )mf xM, 有niniiniiiiMMtxftmtm111)(事实上,对于定积分中值定理的证明同上,111( )bbbaaammdxf x dxMdxMbababa则( , )a b,使1( )( )baff x dxba (此为( )fx在,ba上的平均值)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页学习必备欢迎下载例 4、设ka是满足012) 1(1nkkkk
9、a的实数,求证:nkkxka10)12cos(在)2,0(内至少有一实根提示:令1( )cos(21)nkkFxakx,构造nkkkxkaxF112)12sin()(在2,0上用罗尔例 5、设)(xfy为1 ,0上的任一连续函数,且1010)()(dxxxfdxxf求证:0)1)(xxf在)1 , 0(内至少有一根提示:令( )( )(1)Fxf xx,构造1)1)()(xdtttfxF在 1 ,0上用罗尔定理例 6、设)(xfy为0, 1上的任一连续函数,记)(xf在0, 1上的平均值为A,求证:)0, 1(,使Afdttfe )()(1提示:令1( )( )( )xxFxef t dtf
10、xA,构造1( )( )xxF xef t dtAx,用罗尔定理(2))(xf在,ba或),(ba上可导, 则数,用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(xf例 1、设)(xf在1,22连续,在1(,2)2上可导,且)2()(2121fdxxf,试证:)2,0(,使( )0f提示:由积分中值定理知,1121(2)2( )( ),(,1)2ff x dxf,用罗尔定理例 2、设)(),(xgxf在,ba连续,在,ba上可导,且对于),(bax有0)(xg试证:),(ba,使)()()()()()(gbgaffgf提示:令( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )Fx
11、fx g xf x gxfx g bf a gx,构造函数( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )F xf x g xfx g bf a g x在,ba上用罗尔Th例 3、设)(xf在,ba上连续,在),(ba上可导求证:),(ba,使11( )( )( )( )nnnbanffAba f af b提示: (1)令1( )( )( )nnFxnxf xx fx,构造)()(xfxxFn在,ba上使用 Lagrange (2)令1( )( )( )nnFxnxf xx fxA,构造( )( )nF xx f xAx在,ba上使用罗尔例 4、设)(),(xgxf于10,连续,10,内可导,
12、对),(bax恒有)()()()(xgxfxgxf,求证:若)(),(xgxf在),(ba内有两个零点,则介于其之间,)(xg至少有一个零点提示:用反证法,假设0)()(21xfxf,且0)(xg,,21xxx构造)()()(xgxfxF,则0)(F,与条件矛盾例 5、设)(xf在ba,上一阶可导,( )0f a,( )0fa,证明: (1)存在),(ba,使0)(f; ( 2)存在),(ba,使( )( )ff提示: (1)由保序性,1,xa a,使得10fx,由零点定理知(1) (2)注意到( 1)及题设条件,知函数fx在,a b上存在两个零点,a,于是xF xefx在,a b上有两个零点
13、,由Rolle 定理,易证( 2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页学习必备欢迎下载题型三非积分不等式主要方法(1) 构造函数)(xf,确定其单调性,求出端点的函数值或极限值,作比较即可. (2) 利用函数的凹凸性. (3) 利用函数的极值和最值-构造函数,比较值为极值或最值. (4) 利用中值法证明不等式. 例 1、设)1 ,0(x,求证: (i) 22)1 (ln)1(xxx; (ii) 211)1ln(112ln1xx提示: (i)令( )ln(1)1xf xxx或22( )(1)ln (1)g xxxx(i
14、i) 令11( )ln(1)h xxx,则22( )( )0(1)ln (1)g xh xxxx,有(1)( )(0 )hh xh例 2、比较ee 与的大小提示:xe,比较xeex与的大小,取对数构造( )lnf xxex,易证ee例 3、 设)(),(xgxf二阶可导,当0x时,)()(xgxf, 且)0()0(gf,)0()0(gf,求证:)()(0xgxfx时,提示:令)()()(xgxfxF,需两次求导例 4、当0,0 yx时,求证:2ln)(lnlnyxyxyyxx提示:令)2(2)()(0)(,ln)(yxfyfxftftttf例 5、0,0,0 yx,求证:11)()(yxyx提
15、示:其等价于11ln1() )ln(1( ) )yyxx,令1( )ln(1)tf xat,0a若1a,原命题成立,现证明( )f t在0,1ta时单调递减22ln(1)ln(1)( )( )(1)(1)ttttttaaaag tfttata,( )ln lnln(1)tttg taaaa1a时,( )0g t,则( )(0)0g tg;01a时,( )0g t,则( )lim()0tg tg t例 6、设1, 10px,求证:1)1(211pppxx. 提示:令ppxxtf)1()(,求其在 1 ,0的最值例 7、设)(xf在( 1,1)内有0)(xf,且2sincos)(lim20xxxf
16、x,求证:( )1f x证明:易知, 1)0(f2200( )cossincos 1(0)limlim0sinxxf xxxfxxx令1)()(xfxF,求其最大值,因0)()(,0)0(, 0)0(xfxFFF,则易证例 8、若xy0及1p,求证:)()(11yxpxyxyxpypppp提示:令( )pf tt,在,yx上对)(tf应用拉氏定理例 9、 在,0a上,( )fxM, 且)(xf在),0(a内取最大值, 求证:Maaff)()0(证明:设,0),(max)(0acxfcfax则0)(cf在,0acc对)(xf分别应用拉氏定理,则易证精选学习资料 - - - - - - - - -
17、 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页学习必备欢迎下载题型四积分不等式主要方法(1)应用定积分的不等式性质(如比较定理,估值定理及函数绝对值积分不等式(2)函数的单调性(构造辅助函数)积分中值定理(3)微分中值定理(被积函数具有可导条件)常伴于其中例 1、设0p,求证:11110pxdxpp.提示:1111ppxx,用积分不等式性质.例 2、求证:220sin0x dx.提示:222220000sinsinsinsinsin2sin()()xttttttx dxdtdtdtdtttttt.例 3、设)(xf在,ba上连续且严格单增,求证:babadxxxfdxxfba
18、)(2)()(.提示:令( )()( )2( ),xxaaF xaxf t dttf t dt则 , xa b时,( )0Fx.例 4、设( ),( )f xg x在 1 ,0上有连续的导数,且(0)0,f( )0,( )0fxgx求证:对0,1a,100( ) ( )( )( )( ) (1)afx g x dxf x g x dxf a g.提示:令100( )( ) ( )( )( )( ) (1)aF afx g x dxf x g x dxf a g( )( ) ( )( ) (1)0Fafa g afa g, 于是,( )F a在0,1a时单减, 则( )(1)0F aF例 5、设
19、,f g在 , a b上连续,且( )( ), , )xxaaf t dtg t dt xa b,babadttgdttf)()(,证明:babadxxxgdxxxf)()(. 提示:令( )( )( )F xf xg x,xadttFxG)()(,由题设( )0G x, , )xa b,( )( )0G aG b,)()(xFxG. 从而( )( )bbaaxF x dxxdG x( )( )( )bbbaaaxG xG x dxG x dx由于( )0G x, , xa b,故有0)(badxxG. 例 6、已知)(xf满足:对212121)()(,xxxfxfbaxx求证:2)(21)(
20、)()(abafabdxxfba.证明:左( )( )baf xf a dx2)(21)()()(abdxaxdxafxfbaba.例 7、 设 ( )fx在 1 ,0上连续,01(0)(1)0,max( )xffMfx, 求证:10( )4Mf x dx.证明:12121010)1 ()()0()()(dxfxfdxfxfdxxf12122101)1 ()()(dxxfxdxfMdxxxdxM41)1(121210.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页学习必备欢迎下载三、课后练习1(A) 、证明:当1x,总有arct
21、an(1) (1)arctan4xxx2(A) 、求证:11000ln()ln(1)( )ln( )xf xt dtftf tdtf t dt (换元与求导)3(A) 、设)(xf在,ba上连续,且( )( )f af b,求证:方程( )() 2)f xf xba在( , )a b内至少有一根(零点定理 ) 4(B) 、设)(),(xgxf在,ba上连续,且0)(xg,求证:),(ba,使babadxxgfdxxgxf)()()()(介值定理 ) 5(A) 、)(xf于,ba连续,),(ba可导,求证:),(ba,使( )( ) ()( )( )bf baf abaff (拉格朗日 中值定理
22、)6(B) 、设函数xf在),0上可导,00f,且2)(limxfx,证明(1)存在0a,使得; 1af(局部保号性与介值定理)(2)对( 1)中的a,存在),0(a,使得( )1fa (拉格朗日 中值定理)7 ( A) 、 设)(xf在ba,上连续,在),(ba上可微,且0)()(bfaf, 则存在一点ba,使0)()(2ff (令2( )( )xF xef x,罗尔 中值定理)8(A) 、设)(xf在2, 1上连续,在)2, 1(上可微,且(1)1 2f,2)2(f,则存在一点2, 1,使0)()(2ff (令2( )( )F xf xx,罗尔 中值定理)9(A) 、)(xf可导,则)(x
23、f的两零点间必有)()(/xfxf的零点 (令( )( )xF xef x) 10 (B) 、 设)(xf在0,)上可导,(0)2f,0( )arctan1f xx, 证( 0 ,),使1)()1 (/2f(令( )( )arctanF xf xx,推广的 罗尔 中值定理与夹逼定理) 11(A) 、)(xf在,ba上连续,在),(ba内可导,且( ) ()( )baf xba dxf b求证:在),(ba至少存在一点,使0)(f(积分中值定理与罗尔 中值定理 ) 12( A) 、)(xf在 1 ,0上可微,且1 20(1)2( )fxf x dx,试证:) 1 ,0(,使0)()(ff(令(
24、)( )F xxfx,积分中值定理与罗尔 定理 ) 13( A) 、设)(xf在1 , 0上可微,110(1)( )kxfkxef x dx,)1(k,证明0,1,使得( )1 1( )ff(令1( )( )xF xxef x,积分中值定理与罗尔 定理 )14 (B) 、 设( )f x在0,3上连续, 在(0,3)内二阶可导, 且202 ( 0 )( )( 2 ) + ( 3 )ff xd x ff,()证明:存在(0,2),使( )(0)ff;(积分中值定理)()证明:存在(0,3),使( )0f(介值定理与罗尔 中值定理)15( B) 、设)(xf在),(ba上具有二阶导数,且0)()(
25、,0)()(bfafbfaf证明:( , )a b,使0)(f (局部保号性与罗尔 中值定理)16( B) 、设)(xf于 1 , 0连续,)1 ,0(可导,且(0)(1)0ff,(1 2)1f,求证: (i)(1 2,1),使)(f; (零点定理)(ii )对任意实数,),0(,使1)()(ff(令( ) ( )xF xef xx) 17( B)设奇函数)(xf在1 , 1上具有二阶导数,且1)1 (f,证明:(1)存在)1 ,0(,使得1 f; ((0)0f,拉格朗日 中值定理)(2)存在) 1 , 1(,使得1)()(ff(令( ) ( )1xF xe fx,罗尔 中值定理 )精选学习资
26、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页学习必备欢迎下载18 (A) 、当0x时,求证:(1) (1)ln(1)xexx.( 令( )1(1)ln(1)xF xexx) 19( A) 、当0x时,求证:arctan12xx.( 考虑=0x处的右极限 )20( A) 、当0x时,证明:1 112(1)xxxe.( 先取对数 )21( B) 、设ba0,求证:222 () ()lnln1a baabbaab. (令=1x b a)22( A) 、当0x时,试证:22) 1(ln)1(xxx. (分1, 1pq,且111pq求证:对0x,
27、有1pxpqx. (最值)24( A) 、求证:1212nnn), 1(为 自 然 数nn. (先转化为函数最值)25( B) 、证明:2ln(1) (1)cos12, 11.xxxxxx(最值)26( A) 、1, 1 na,求证:21 (1)11 (1)21(1) lnnnnnnaaaan a. (拉格朗日 )27( A) 、证明 :当0, sin2cossin2cosabbbbbaaaa时.28( A) 、设)(xf处处可导,则(D) (拉格朗日 中值定理)A)(lim,)(limxfxfxx则B)(lim,)(limxfxfxx则C)(lim,)(limxfxfxx则D)(lim,)(
28、limxfxfxx则29( A) 、设在 1 ,0上,0)(xf则)0()1(),1(),0(ffff或) 1()0(ff的大小顺序是)0()0() 1()1(ffff. (拉格朗日 中值定理)30 (A) 、 设)(),(xgxf正值可导,0)()()()(xgxfxgxf, 则当bxa时,有 (A)A)()()()(xgbfbgxfB)()()()(xgafagxfC)()()()(bgbfxgxfD)()()()(agafxgxf提示:令( )( )( )F xf xg x,单调性 .31( B) 、设0lim( )1xf xx,且0)(xf,求证:xxf)(. (最值)32( A) 、
29、求证:1440ln(12)111xdx.(42411xx) 33(A) 、)(xf在 1 , 0上连续递减,证:当10时,100)()(dxxfdxxf.( 换元 ) . 34( B) 、设40tannnIxdx,2n,求证:1 2(1)1 2(1)nnIn.提示:222+1 (1)2nnnnIIInI.35 (B) 、证:220sincosd01xxxx.(用4划分0,2,对4,2 用=2xt)36( A) 、设)(xf可导, 且(0)0,0( )1ffx, 证:112300( )( )f x dxfx dx . 提示: 令xxdttfdttfxF0320)()()(.37 (B) 、 设)
30、(xf在 1 ,0上可积,且当01xy时,( )( )arctanarctanf xf yxy,又(0)ln 2 2f,求证:10( )4f x dx.(1100( )( )(0)(0)f x dxfxfdxf) 38( B) 、设( )fx在0, 2 上连续为正,证:20( )sin2(2)(0)f xnxdxffn.提示:2200( )sin(2 )(0)( )cosf xnxdxffnfxnx n dx.39( B) 、设)(xf在,0a上连续,且0)0(f,求证:200( )max( )2axaf x dxafx. 提示:积分不等式性质与拉格朗日中值定理 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页