《2022年关于等式与不等式的基本证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年关于等式与不等式的基本证明（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载关于等式与不等式的基本证明一、考试内容（一）介值 定理介值 定理： 若)(xf在,ba上连续， 且( )( )f af b，对于( ),( )f af b之间的任一个数C，),(ba，使( )fC （,a b）介值 定理推论 1（零点 定理）：若)(xf在,ba上连续，且( )( )0f a f b，则),(ba，使( )0f （,a b）介值 定理推论 2（零点 定理）：若)(xf在( , )a b内连续，且()()0f af b，则),(ba，使( )0f （,a b）介值 定理推论 3（零点 定理）：若)(xf在(,)内连续，且lim( ) lim( )0xxfxf x，
2、则),(ba，使( )0f （,a b）介值 定理推论 4：若)(xf在,ba上连续，min( )fxm，max( )fxM，且Mm，对于,m M之间的任一个数C，则),(ba，使( )fC （可能取到a或b）（二）代數基本定理： 任何一個非零的一元n 次实系数多項式，都至多有n 個实数零点（三）积分 中值定理定积分 中值定理：若)(xf在,ba上连续，则( , )a b，使( )( )()baf x dxfba定积分 中值定理推论1：设)(),(xgxf在,ba上连续，且( )g x在,ba上不变号，则( , )a b，使babadxxgfdxxgxf)()()()(对于定积分 中值定理及其
3、推论1，可能取到a或b（四）微分 中值定理罗尔 中值定理：若)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，且( )( )f af b，则),(ba，使( )0f罗尔 中值定理的推广形式1：若)(xf在,ba上连续， 在),(ba内可导， 且)(xf有2n个不同的零点，则( )fx在),(ba内至少存在1n个不同的零点罗尔 中值定理的推广形式2：若)(xf在),(ba内可导，且()()f aAf b，则),(ba，使( )0f罗尔 中值定理的推广形式3：若)(xf在 ,)a内连续，在( ,)a内可导，且lim( )( )xf xf a，则( ,)a，使( )0f罗尔 中值定理的推广形式4：若)(x
4、f在,ba上连续，在),(ba内可导，且( )0fx，则)(xf在),(ba内为单调函数拉格朗日 中值定理：若)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，则),(ba，使( )( )( )()f bf afba（五）不等式定理凹凸性不等式定理：若( )( )0,fx则( )( )( )()22f xfyxyf积分 不等式定理：若( )( )f xg x，则( )( )bbaaf x dxg x dx（ab） ，但反之不然积分 估值定理：若( )f x在 , a b（ab）上连续，则minmax( )()( )( )()bafx baf x dxfx ba积分绝对值 不等式定理：( )( )bb
5、aaf x dxf x dx（ab） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载二、典型例题题型一恒等式证明主要方法：求导法、换元法、反证法例 1、 求证： （1）()0( )()( )( ),fxa TTafxfx Tf x dxf x dx连续（ 2）( )00( )()( )( )fxnTTfxfx Tf x dxnf x dx连续提示： （1）令0( )( )( ),a TTaF af x dxf x dxaR用求导法，这比用换元法方便（2）令00( )( )( )nTTG nf x dxnf x d
6、x，用求导法错误，因nZ,用换元法方便111(1)0000000( )( )()( )( )nnnx kTunTkTTTTkTkkkf x dxf x dxf kTu duf x dx nf x dx例 2、设)(xf在,ba上连续，且0)(xf，若0)(badxxf，则在,ba上，0)(xf证明：用反证法，假设0)(),(00xfbax，则),(),(00baxx)0(0)(xf，则baxxxxfdxxfdxxf),(,0)(2)()(0000积分中值定理. 这与0)(badxxf矛盾，故原式得证题型二方程根的存在性与中值问题主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法（1）)(xf在,ba或
7、),(ba上连续， 则( )f x直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例 1、设)(xf在,ba上连续，且0,qpbdca，求证：方程)()()()(dqfcpfxfqp在),(da内至少有一根提示：取)()()()()(dqfcpfxfqpxF在,dc上用零点Th例 2、 设)(xf在),(上连续，且0)(limxxfx， 求证：),(使0)(f证明：设xxfxF)()(，则)(xF在),(上连续，)(1 lim)(limxxfxxFxx，01x，使0)(1xF同理，由,)(limxfx02x，使0)(2xF故，)(xF在,21xx上满足零点定理，因而，原题得证例 3、)
8、(xf在,ba上连续，0,iitbax),2, 1(ni，且11niit，求证：,ba使niiixftf1)()( （此为1()nif x的加权平均值）提示：( )mf xM， 有niniiniiiiMMtxftmtm111)(事实上，对于定积分中值定理的证明同上，111( )bbbaaammdxf x dxMdxMbababa则( , )a b，使1( )( )baff x dxba （此为( )fx在,ba上的平均值）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载例 4、设ka是满足012) 1(1nkkkk
9、a的实数，求证：nkkxka10)12cos(在)2,0(内至少有一实根提示：令1( )cos(21)nkkFxakx，构造nkkkxkaxF112)12sin()(在2,0上用罗尔例 5、设)(xfy为1 ,0上的任一连续函数，且1010)()(dxxxfdxxf求证：0)1)(xxf在)1 , 0(内至少有一根提示：令( )( )(1)Fxf xx，构造1)1)()(xdtttfxF在 1 ,0上用罗尔定理例 6、设)(xfy为0, 1上的任一连续函数，记)(xf在0, 1上的平均值为A，求证：)0, 1(，使Afdttfe )()(1提示：令1( )( )( )xxFxef t dtf
10、xA，构造1( )( )xxF xef t dtAx，用罗尔定理（2）)(xf在,ba或),(ba上可导， 则数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(xf例 1、设)(xf在1,22连续，在1(,2)2上可导，且)2()(2121fdxxf，试证：)2,0(，使( )0f提示：由积分中值定理知，1121(2)2( )( ),(,1)2ff x dxf，用罗尔定理例 2、设)(),(xgxf在,ba连续，在,ba上可导，且对于),(bax有0)(xg试证：),(ba，使)()()()()()(gbgaffgf提示：令( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )Fx
11、fx g xf x gxfx g bf a gx，构造函数( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )F xf x g xfx g bf a g x在,ba上用罗尔Th例 3、设)(xf在,ba上连续，在),(ba上可导求证：),(ba，使11( )( )( )( )nnnbanffAba f af b提示： （1）令1( )( )( )nnFxnxf xx fx，构造)()(xfxxFn在,ba上使用 Lagrange （2）令1( )( )( )nnFxnxf xx fxA，构造( )( )nF xx f xAx在,ba上使用罗尔例 4、设)(),(xgxf于10,连续，10,内可导，
12、对),(bax恒有)()()()(xgxfxgxf，求证：若)(),(xgxf在),(ba内有两个零点，则介于其之间，)(xg至少有一个零点提示：用反证法，假设0)()(21xfxf，且0)(xg，,21xxx构造)()()(xgxfxF，则0)(F，与条件矛盾例 5、设)(xf在ba,上一阶可导，( )0f a，( )0fa，证明： （1）存在),(ba，使0)(f； （ 2）存在),(ba，使( )( )ff提示： （1）由保序性，1,xa a，使得10fx，由零点定理知（1） （2）注意到（ 1）及题设条件，知函数fx在,a b上存在两个零点,a，于是xF xefx在,a b上有两个零点
13、，由Rolle 定理，易证（ 2） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载题型三非积分不等式主要方法(1) 构造函数)(xf，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可. (2) 利用函数的凹凸性. (3) 利用函数的极值和最值-构造函数，比较值为极值或最值. (4) 利用中值法证明不等式. 例 1、设)1 ,0(x，求证： (i) 22)1 (ln)1(xxx； (ii) 211)1ln(112ln1xx提示： (i)令( )ln(1)1xf xxx或22( )(1)ln (1)g xxxx(i
14、i) 令11( )ln(1)h xxx，则22( )( )0(1)ln (1)g xh xxxx，有(1)( )(0 )hh xh例 2、比较ee 与的大小提示：xe，比较xeex与的大小，取对数构造( )lnf xxex，易证ee例 3、 设)(),(xgxf二阶可导，当0x时，)()(xgxf， 且)0()0(gf，)0()0(gf，求证：)()(0xgxfx时，提示：令)()()(xgxfxF，需两次求导例 4、当0,0 yx时，求证：2ln)(lnlnyxyxyyxx提示：令)2(2)()(0)(,ln)(yxfyfxftftttf例 5、0,0,0 yx，求证：11)()(yxyx提
15、示：其等价于11ln1() )ln(1( ) )yyxx，令1( )ln(1)tf xat，0a若1a，原命题成立，现证明( )f t在0,1ta时单调递减22ln(1)ln(1)( )( )(1)(1)ttttttaaaag tfttata，( )ln lnln(1)tttg taaaa1a时，( )0g t，则( )(0)0g tg；01a时，( )0g t，则( )lim()0tg tg t例 6、设1, 10px，求证：1)1(211pppxx. 提示：令ppxxtf)1()(，求其在 1 ,0的最值例 7、设)(xf在( 1,1)内有0)(xf，且2sincos)(lim20xxxf
16、x，求证：( )1f x证明：易知, 1)0(f2200( )cossincos 1(0)limlim0sinxxf xxxfxxx令1)()(xfxF，求其最大值，因0)()(,0)0(, 0)0(xfxFFF，则易证例 8、若xy0及1p，求证：)()(11yxpxyxyxpypppp提示：令( )pf tt，在,yx上对)(tf应用拉氏定理例 9、 在,0a上，( )fxM， 且)(xf在),0(a内取最大值， 求证：Maaff)()0(证明：设,0),(max)(0acxfcfax则0)(cf在,0acc对)(xf分别应用拉氏定理，则易证精选学习资料 - - - - - - - - -
17、 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载题型四积分不等式主要方法（1）应用定积分的不等式性质(如比较定理，估值定理及函数绝对值积分不等式（2）函数的单调性（构造辅助函数）积分中值定理（3）微分中值定理（被积函数具有可导条件）常伴于其中例 1、设0p，求证：11110pxdxpp.提示：1111ppxx，用积分不等式性质.例 2、求证：220sin0x dx.提示：222220000sinsinsinsinsin2sin()()xttttttx dxdtdtdtdtttttt.例 3、设)(xf在,ba上连续且严格单增，求证：babadxxxfdxxfba
18、)(2)()(.提示：令( )()( )2( ),xxaaF xaxf t dttf t dt则 , xa b时，( )0Fx.例 4、设( ),( )f xg x在 1 ,0上有连续的导数，且(0)0,f( )0,( )0fxgx求证：对0,1a，100( ) ( )( )( )( ) (1)afx g x dxf x g x dxf a g.提示：令100( )( ) ( )( )( )( ) (1)aF afx g x dxf x g x dxf a g( )( ) ( )( ) (1)0Fafa g afa g， 于是，( )F a在0,1a时单减， 则( )(1)0F aF例 5、设
19、,f g在 , a b上连续，且( )( ), , )xxaaf t dtg t dt xa b，babadttgdttf)()(，证明：babadxxxgdxxxf)()(. 提示：令( )( )( )F xf xg x，xadttFxG)()(，由题设( )0G x， , )xa b，( )( )0G aG b，)()(xFxG. 从而( )( )bbaaxF x dxxdG x( )( )( )bbbaaaxG xG x dxG x dx由于( )0G x， , xa b，故有0)(badxxG. 例 6、已知)(xf满足：对212121)()(,xxxfxfbaxx求证：2)(21)(
20、)()(abafabdxxfba.证明：左( )( )baf xf a dx2)(21)()()(abdxaxdxafxfbaba.例 7、 设 ( )fx在 1 ,0上连续，01(0)(1)0,max( )xffMfx， 求证：10( )4Mf x dx.证明：12121010)1 ()()0()()(dxfxfdxfxfdxxf12122101)1 ()()(dxxfxdxfMdxxxdxM41)1(121210.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载三、课后练习1（A） 、证明：当1x，总有arct
21、an(1) (1)arctan4xxx2（A） 、求证：11000ln()ln(1)( )ln( )xf xt dtftf tdtf t dt （换元与求导）3（A） 、设)(xf在,ba上连续，且( )( )f af b，求证：方程( )() 2)f xf xba在( , )a b内至少有一根(零点定理 ) 4（B） 、设)(),(xgxf在,ba上连续，且0)(xg，求证：),(ba，使babadxxgfdxxgxf)()()()(介值定理 ) 5（A） 、)(xf于,ba连续，),(ba可导，求证：),(ba，使( )( ) ()( )( )bf baf abaff （拉格朗日 中值定理
22、）6（B） 、设函数xf在),0上可导，00f，且2)(limxfx，证明（1）存在0a，使得; 1af（局部保号性与介值定理）（2）对（ 1）中的a，存在),0(a，使得( )1fa （拉格朗日 中值定理）7 （ A） 、 设)(xf在ba,上连续，在),(ba上可微，且0)()(bfaf， 则存在一点ba,使0)()(2ff （令2( )( )xF xef x，罗尔 中值定理）8（A） 、设)(xf在2, 1上连续，在)2, 1(上可微，且(1)1 2f，2)2(f，则存在一点2, 1,使0)()(2ff （令2( )( )F xf xx，罗尔 中值定理）9（A） 、)(xf可导，则)(x
23、f的两零点间必有)()(/xfxf的零点 (令( )( )xF xef x) 10 （B） 、 设)(xf在0,)上可导，(0)2f，0( )arctan1f xx， 证( 0 ,)，使1)()1 (/2f(令( )( )arctanF xf xx，推广的 罗尔 中值定理与夹逼定理) 11（A） 、)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，且( ) ()( )baf xba dxf b求证：在),(ba至少存在一点，使0)(f(积分中值定理与罗尔 中值定理 ) 12（ A） 、)(xf在 1 ,0上可微，且1 20(1)2( )fxf x dx，试证：) 1 ,0(，使0)()(ff(令(
24、)( )F xxfx，积分中值定理与罗尔 定理 ) 13（ A） 、设)(xf在1 , 0上可微，110(1)( )kxfkxef x dx，)1(k，证明0,1，使得( )1 1( )ff(令1( )( )xF xxef x，积分中值定理与罗尔 定理 )14 （B） 、 设( )f x在0,3上连续， 在(0,3)内二阶可导， 且202 ( 0 )( )( 2 ) + ( 3 )ff xd x ff，（）证明：存在(0,2)，使( )(0)ff；（积分中值定理）（）证明：存在(0,3)，使( )0f（介值定理与罗尔 中值定理）15（ B） 、设)(xf在),(ba上具有二阶导数，且0)()(
25、,0)()(bfafbfaf证明：( , )a b，使0)(f （局部保号性与罗尔 中值定理）16（ B） 、设)(xf于 1 , 0连续，)1 ,0(可导，且(0)(1)0ff，(1 2)1f，求证： （i）(1 2,1)，使)(f； （零点定理）（ii ）对任意实数，),0(，使1)()(ff(令( ) ( )xF xef xx) 17（ B）设奇函数)(xf在1 , 1上具有二阶导数，且1)1 (f，证明：（1）存在)1 ,0(，使得1 f； （(0)0f，拉格朗日 中值定理）（2）存在) 1 , 1(，使得1)()(ff(令( ) ( )1xF xe fx,罗尔 中值定理 )精选学习资
26、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载18 （A） 、当0x时，求证：(1) (1)ln(1)xexx.( 令( )1(1)ln(1)xF xexx) 19（ A） 、当0x时，求证：arctan12xx.( 考虑=0x处的右极限 )20（ A） 、当0x时，证明：1 112(1)xxxe.( 先取对数 )21（ B） 、设ba0，求证：222 () ()lnln1a baabbaab. （令=1x b a）22（ A） 、当0x时，试证：22) 1(ln)1(xxx. （分1, 1pq，且111pq求证：对0x，
27、有1pxpqx. （最值）24（ A） 、求证：1212nnn), 1(为 自 然 数nn. （先转化为函数最值）25（ B） 、证明：2ln(1) (1)cos12, 11.xxxxxx（最值）26（ A） 、1, 1 na，求证：21 (1)11 (1)21(1) lnnnnnnaaaan a. （拉格朗日 ）27（ A） 、证明 :当0, sin2cossin2cosabbbbbaaaa时.28（ A） 、设)(xf处处可导，则（D） （拉格朗日 中值定理）A)(lim,)(limxfxfxx则B)(lim,)(limxfxfxx则C)(lim,)(limxfxfxx则D)(lim,)(
28、limxfxfxx则29（ A） 、设在 1 ,0上，0)(xf则)0()1(),1(),0(ffff或) 1()0(ff的大小顺序是)0()0() 1()1(ffff. （拉格朗日 中值定理）30 （A） 、 设)(),(xgxf正值可导，0)()()()(xgxfxgxf， 则当bxa时，有 （A）A)()()()(xgbfbgxfB)()()()(xgafagxfC)()()()(bgbfxgxfD)()()()(agafxgxf提示：令( )( )( )F xf xg x，单调性 .31（ B） 、设0lim( )1xf xx，且0)(xf，求证：xxf)(. （最值）32（ A） 、
29、求证：1440ln(12)111xdx.(42411xx) 33（A） 、)(xf在 1 , 0上连续递减，证：当10时，100)()(dxxfdxxf.( 换元 ) . 34（ B） 、设40tannnIxdx，2n，求证：1 2(1)1 2(1)nnIn.提示：222+1 (1)2nnnnIIInI.35 （B） 、证：220sincosd01xxxx.（用4划分0,2，对4,2 用=2xt）36（ A） 、设)(xf可导, 且(0)0,0( )1ffx, 证:112300( )( )f x dxfx dx . 提示： 令xxdttfdttfxF0320)()()(.37 （B） 、 设)
30、(xf在 1 ,0上可积，且当01xy时，( )( )arctanarctanf xf yxy，又(0)ln 2 2f，求证：10( )4f x dx.(1100( )( )(0)(0)f x dxfxfdxf) 38（ B） 、设( )fx在0, 2 上连续为正，证：20( )sin2(2)(0)f xnxdxffn.提示：2200( )sin(2 )(0)( )cosf xnxdxffnfxnx n dx.39（ B） 、设)(xf在,0a上连续，且0)0(f，求证：200( )max( )2axaf x dxafx. 提示：积分不等式性质与拉格朗日中值定理 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
