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1、学习必备欢迎下载第一章 三角形的证明测试卷(源于中考的试题)参考答案与试题解析一选择题(共9 小题)1 ( 2013?郴州) 如图, 在 Rt ACB 中,ACB=90 ,A=25 ,D 是 AB 上一点 将 RtABC 沿 CD 折叠,使 B 点落在 AC 边上的 B 处,则 ADB 等于()A25B30C35D40解答:解:在RtACB 中, ACB=90 , A=25 , B=90 25 =65 , CDB 由CDB 反折而成, CBD=B=65 , CBD 是AB D 的外角, ADB =CB D A=65 25 =40 故选 D2 ( 2012?潍坊)轮船从B 处以每小时50 海里的
2、速度沿南偏东30 方向匀速航行,在B 处观测灯塔A 位于南偏东 75 方向上, 轮船航行半小时到达C 处,在 C 处观测灯塔A 位于北偏东60 方向上, 则 C 处与灯塔 A的距离是()海里A25B25C50 D25 解答: 解:根据题意,1= 2=30 , ACD=60 , ACB=30 +60 =90 ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页学习必备欢迎下载 CBA=75 30 =45 , ABC 为等腰直角三角形,BC=50 0.5=25,AC=BC=25 (海里)故选 D3 ( 2011?贵阳)如图, ABC
3、中, C=90 ,AC=3, B=30 ,点 P 是 BC 边上的动点,则AP 长不可能是()A3.5 B4.2 C5.8 D7解答: 解:根据垂线段最短,可知AP 的长不可小于3; ABC 中, C=90 , AC=3 , B=30 ,AB=6 ,AP 的长不能大于6故选 D4 ( 2012?铜仁地区)如图,在ABC 中, ABC 和 ACB 的平分线交于点E,过点 E 作 MN BC 交 AB于 M,交 AC 于 N,若 BM+CN=9 ,则线段MN 的长为()A6B7C8D9考点 : 等腰三角形的判定与性质;平行线的性质分析: 由 ABC 、ACB 的平分线相交于点E,MBE= EBC,
4、 ECN=ECB,利用两直线平行,内错角相等,利用等量代换可MBE= MEB , NEC=ECN,然后即可求得结论解答: 解: ABC 、 ACB 的平分线相交于点E, MBE= EBC, ECN=ECB ,MN BC, EBC= MEB , NEC=ECB , MBE= MEB , NEC= ECN,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页学习必备欢迎下载BM=ME , EN=CN ,MN=ME+EN ,即 MN=BM+CN BM+CN=9 MN=9 ,故选 D5 ( 2011?恩施州)如图,AD 是ABC 的角平分线
5、, DFAB,垂足为F,DE=DG ,ADG 和AED 的面积分别为50 和 39,则 EDF 的面积为()A11 B5.5 C7D3.5 考点 : 角平分线的性质;全等三角形的判定与性质专题 : 计算题;压轴题分析: 作 DM=DE 交 AC 于 M,作 DN AC,利用角平分线的性质得到DN=DF ,将三角形EDF 的面积转化为三角形DNM 的面积来求解答: 解:作 DM=DE 交 AC 于 M,作 DNAC ,DE=DG ,DM=DE ,DM=DG ,AD 是ABC 的角平分线, DF AB,DF=DN ,在 RtDEF 和 RtDMN 中,RtDEFRtDMN (HL) , ADG 和
6、AED 的面积分别为50 和 39,SMDG=SADGSADM=5039=11,SDNM=SDEF=SMDG=5.5 故选 B点评: 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质,解题的关键是正确地作出辅助线,将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求6 ( 2012?广州)在Rt ABC 中, C=90 ,AC=9 ,BC=12,则点 C 到 AB 的距离是()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页学习必备欢迎下载ABCD解答: 解:根据题意画出相应的图形,如图所示:在 RtABC 中, AC=9, BC=
7、12,根据勾股定理得:AB=15,过 C 作 CDAB,交 AB 于点 D,又 SABC=AC ?BC=AB ?CD,CD=,则点 C 到 AB 的距离是故选 A 7(2007?芜湖)如图,在ABC 中 AD BC, CEAB , 垂足分别为D、 E, AD 、 CE 交于点 H, 已知 EH=EB=3 ,AE=4 ,则 CH 的长是()A1B2C3D4解答: 解:在 ABC 中, AD BC,CEAB, AEH= ADB=90 ; EAH+ AHE=90 , DHC+ BCH=90 , EHA= DHC(对顶角相等) , EAH= DCH(等量代换) ;在 BCE 和HAE 中, AEH C
8、EB(AAS ) ;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页学习必备欢迎下载AE=CE ;EH=EB=3 ,AE=4 ,CH=CE EH=AE EH=43=1故选 A8 ( 2011?泰安) 如图, 点 O 是矩形 ABCD 的中心, E 是 AB 上的点, 沿 CE 折叠后, 点 B 恰好与点O 重合,若 BC=3 ,则折痕 CE 的长为()ABCD6解答:解: CEO 是 CEB 翻折而成,BC=OC ,BE=OE , B=COE=90 ,EOAC ,O 是矩形 ABCD 的中心,OE 是 AC 的垂直平分线,AC=
9、2BC=2 3=6,AE=CE ,在 RtABC 中, AC2=AB2+BC2,即 62=AB2+32,解得 AB=3,在 RtAOE 中,设 OE=x ,则 AE=3x,AE2=AO2+OE2,即( 3x)2=32+x2,解得 x=,AE=EC=3=2故选 A9 ( 2012?深圳)如图,已知:MON=30 ,点 A1、A2、A3 在射线 ON 上,点 B1、B2、B3 在射线 OM上, A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4 均为等边三角形,若OA1=1,则 A6B6A7的边长为()A6B12 C32 D64 解答: 解: A1B1A2是等边三角形,A1B1=A2B1, 3=4=12=6
10、0 , 2=120 , MON=30 , 1=180 120 30 =30 ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页学习必备欢迎下载又 3=60 , 5=180 60 30 =90 , MON= 1=30 ,OA1=A1B1=1,A2B1=1, A2B2A3、A3B3A4是等边三角形, 11=10=60 ,13=60 , 4=12=60 ,A1B1A2B2A3B3,B1A2B2A3, 1=6=7=30 , 5= 8=90 ,A2B2=2B1A2, B3A3=2B2A3,A3B3=4B1A2=4,A4B4=8B1A2=8
11、,A5B5=16B1A2=16,以此类推: A6B6=32B1A2=32故选: C二填空题(共8 小题)10 (2011?怀化)如图,在ABC 中, AB=AC , BAC 的角平分线交BC 边于点 D, AB=5, BC=6,则AD=4考点 : 勾股定理;等腰三角形的性质分析:首先根据等腰三角形的性质:等腰三角形的三线合一,求出DB=DC=CB,AD BC,再利用勾股定理求出AD 的长解答: 解: AB=AC ,AD 是 BAC 的角平分线,DB=DC=CB=3,AD BC,在 RtABD 中,AD2+BD2=AB2,AD=4,故答案为: 4点评: 此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的
12、应用,做题的关键是根据等腰三角形的性质证出ADB 是直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页学习必备欢迎下载11 (2011?衡阳)如图所示,在ABC 中, B=90 ,AB=3 ,AC=5 ,将ABC 折叠,使点C 与点 A 重合,折痕为 DE,则 ABE 的周长为7考点 : 翻折变换(折叠问题) ;勾股定理专题 : 压轴题;探究型分析: 先根据勾股定理求出BC 的长,再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE ,进而求出 ABE 的周长解答: 解:在 ABC 中, B=90 ,AB=3 ,AC=5 ,BC=4,
13、 ADE 是CDE 翻折而成,AE=CE ,AE+BE=BC=4 , ABE 的周长 =AB+BC=3+4=7 故答案为: 7点评: 本题考查的是图形翻折变换的性质,即折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等12 (2010?滨州)如图,等边ABC 的边长为6, AD 是 BC 边上的中线,M 是 AD 上的动点, E 是 AC 边上一点,若AE=2 ,EM+CM 的最小值为考点 : 轴对称 -最短路线问题;勾股定理专题 : 压轴题;动点型分析: 要求 EM+CM 的最小值,需考虑通过作辅助线转化EM,CM 的值,从而找出其最小值求解解答:
14、解:连接 BE,与 AD 交于点 M则 BE 就是 EM+CM 的最小值取 CE 中点 F,连接 DF等边 ABC 的边长为6,AE=2 ,CE=AC AE=6 2=4,CF=EF=AE=2 ,又 AD 是 BC 边上的中线,DF 是BCE 的中位线,BE=2DF , BEDF,又 E 为 AF 的中点,M 为 AD 的中点,ME 是ADF 的中位线,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页学习必备欢迎下载DF=2ME ,BE=2DF=4ME ,BM=BE ME=4ME ME=3ME ,BE=BM 在直角 BDM 中,
15、BD=BC=3 ,DM=AD=,BM=,BE=EM+CM=BE EM+CM 的最小值为点评: 考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用13 (2013?泰安)如图,在RtABC 中, ACB=90 ,AB 的垂直平分线DE 交 AC 于 E,交 BC 的延长线于 F,若 F=30 ,DE=1 ,则 BE 的长是2考点 : 含 30 度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质专题 : 压轴题分析: 根据同角的余角相等、等腰ABE 的性质推知 DBE=30 ,则在直角 DBE 中由 “ 30 度角所对的直角边是斜边的一半” 即可求得线段BE 的长度解答: 解: ACB=90 ,FDAB
16、, ACB= FDB=90 , F=30 , A= F=30 (同角的余角相等) 又 AB 的垂直平分线DE 交 AC 于 E, EBA= A=30 ,直角 DBE 中, BE=2DE=2 故答案是: 2点评: 本题考查了线段垂直平分线的性质、含30 度角的直角三角形解题的难点是推知EBA=30 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页学习必备欢迎下载14 (2013?黔西南州) 如图,已知 ABC 是等边三角形, 点 B、C、D、E 在同一直线上, 且 CG=CD , DF=DE ,则 E=15度考点 : 等边三角形的
17、性质;三角形的外角性质;等腰三角形的性质专题 : 压轴题分析: 根据等边三角形三个角相等,可知ACB=60 ,根据等腰三角形底角相等即可得出E 的度数解答: 解: ABC 是等边三角形, ACB=60 , ACD=120 ,CG=CD , CDG=30 , FDE=150 ,DF=DE , E=15 故答案为: 15点评: 本题考查了等边三角形的性质,互补两角和为180 以及等腰三角形的性质,难度适中15 (2005?绵阳) 如图,在 ABC 中,BC=5cm ,BP、CP 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线, 且 PDAB ,PEAC,则 PDE 的周长是5cm考点 : 等腰三角形的判定
18、与性质;平行线的性质专题 : 压轴题分析: 分别利用角平分线的性质和平行线的判定,求得DBP 和ECP 为等腰三角形,由等腰三角形的性质得 BD=PD , CE=PE,那么 PDE 的周长就转化为BC 边的长,即为5cm解答: 解: BP、CP 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线, ABP= PBD , ACP=PCE,PDAB, PEAC , ABP= BPD , ACP=CPE, PBD= BPD , PCE=CPE,BD=PD ,CE=PE, PDE 的周长 =PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm答: PDE 的周长是5cm点评: 此题主要考查了平行线的判定,角平分线的性
19、质及等腰三角形的性质等知识点本题的关键是将PDE 的周长就转化为BC 边的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页学习必备欢迎下载17 (2005?十堰)如图中的螺旋由一系列直角三角形组成,则第n 个三角形的面积为考点 : 勾股定理专题 : 规律型分析: 根据勾股定理,逐一进行计算,从中寻求规律,进行解答解答: 解:根据勾股定理:第一个三角形中:OA12=1+1,S1=1 1 2;第二个三角形中:OA22=OA12+1=1+1+1 ,S2=OA1 1 2= 1 2;第三个三角形中:OA32=OA22+1=1+1+1+1
20、 ,S3=OA2 1 2= 1 2;第 n 个三角形中:Sn= 1 2=点评: 本题主要考查了勾股定理的应用,要注意图中三角形的面积的变化规律三解答题(共5 小题)18 (2013?温州)如图,在 ABC 中, C=90 ,AD 平分 CAB ,交 CB 于点 D,过点 D 作 DEAB 于点E(1)求证: ACD AED ;(2)若 B=30 , CD=1,求 BD 的长考点 : 全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;含30 度角的直角三角形分析: (1)根据角平分线性质求出CD=DE ,根据 HL 定理求出另三角形全等即可;(2)求出 DEB=90 ,DE=1 ,根据含30 度角的直角三
21、角形性质求出即可解答: (1)证明: AD 平分 CAB ,DEAB , C=90 ,CD=ED , DEA= C=90 ,在 RtACD 和 RtAED 中RtACD RtAED (HL) ;(2)解: DC=DE=1 , DEAB , DEB=90 , B=30 ,BD=2DE=2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页学习必备欢迎下载点评: 本题考查了全等三角形的判定,角平分线性质,含30 度角的直角三角形性质的应用,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等19 (2013?沈阳)如图, ABC 中, AB=BC
22、 ,BEAC 于点 E,AD BC 于点 D, BAD=45 ,AD 与 BE交于点 F,连接 CF(1)求证: BF=2AE ;(2)若 CD=,求 AD 的长考点 : 全等三角形的判定与性质;勾股定理专题 : 证明题;压轴题分析: (1)先判定出 ABD 是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD ,再根据同角的余角相等求出CAD= CBE,然后利用 “ 角边角 ” 证明 ADC 和BDF 全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=AC ,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF ,从而得证;(2)根据全等三角形对应边相等可得DF=CD ,然后利用勾股定理列式求出CF,再
23、根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF ,然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解解答: (1)证明: AD BC , BAD=45 , ABD 是等腰直角三角形,AD=BD ,BEAC, AD BC, CAD+ ACD=90 ,CBE+ ACD=90 , CAD= CBE,在ADC 和BDF 中, ADC BDF(ASA ) ,BF=AC ,AB=BC ,BEAC,AC=2AE ,BF=2AE ;(2)解: ADC BDF,DF=CD=,在 RtCDF 中, CF=2,BEAC, AE=EC ,AF=CF=2 ,AD=AF+DF=2+点评: 本题考查了全等三角形的判定与
24、性质,等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页学习必备欢迎下载勾股定理的应用,以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质,熟记各性质并准确识图是解题的关键22 (2013?铜仁地区)如图,ABC 和ADE 都是等腰三角形,且BAC=90 , DAE=90 ,B,C,D 在同一条直线上求证:BD=CE 考点 : 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形专题 : 证明题分析: 求出 AD=AE ,AB=AC , DAB= EAC,根据 SAS 证出 ADB AEC 即可解答: 证明: ABC 和ADE 都是等腰直角三角形AD=AE ,AB=AC ,又 EAC=90 +CAD , DAB=90 +CAD , DAB= EAC,在 ADB 和AEC 中 ADB AEC( SAS) ,BD=CE 点评: 本题考查了等腰直角三角形性质,全等三角形的性质和判定的应用,关键是推出ADB AEC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页