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1、霍尔果斯市苏港中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷学校:_姓名:_班级:_考号:_一、选择题1已知,则的值为( )A.1B.2C.eD.2函数在区间内的单调性是( )A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增3函数在处的切线的斜率为( )A.2B.-2C.0D.14从1,2,3,8,9这9个数字中任取3个数组成一个没有重复数字的三位数,若这些三位数能够被5整除,则这样的三位数的个数为( )A.504B.336C.72D.565的展开式中第3项的系数与二项式系数分别为( )A.84,21B.21,84C.35,280D.280,356将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同
2、的盒子中,要求每个盒子中至少放2个小球,则不同放法的种数为( )A.3B.6C.10D.157已知函数在上有最小值,则a的取值范围是( )A.B.C.D.8现将西游记、红楼梦、水浒传、三国演义、史记、资治通鉴6本不同的书籍分发给甲乙丙3人,每人至少分得1本,已知西游记分发给了甲,则不同的分发方式种数是( )A.180B.150C.120D.210二、多项选择题9若,则x的值为( )A.4B.5C.6D.710给出定义:若函数在D上可导,即存在,且导函数在D上也可导,则称在D上存在二阶导函数,记,若在D上恒成立,则称在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是( )A.B.C.D.11下列求导运
3、算正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则12已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示,下列说法正确的是( )A.B.函数在上单调递减C.函数在处取得极大值D.函数有最大值三、填空题13用0,1,2,3,4组成没有重复数字的四位数,其中奇数有_个.14如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的涂色方法共有_种(用数字作答).15的展开式中常数项为_.16已知曲线,则曲线过点的切线方程为_.四、解答题17(1)若,求n的值;(2)求的值(用数字作答).18有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求
4、不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排;(2)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;(3)全体排成一排,女生必须站在一起;(4)全体排成一排,男生互不相邻.19已知()在处取得极值.(1)求实数a的值;(2)求的单调区间;(3)求在区间上的最大值和最小值.20某校高二年级某小组开展研究性学习,主要任务是对某产品进行市场销售调研,通过一段时间的调查,发现该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)近似满足关系式,其中,a,b为常数,已知销售价格为元千克时,每日可售出千克,销售价格为5元/千克时,每日可售出11千克.(1)求的解析式;(2)若该商品的成本为3元/千克,请你确定销售
5、价格x的值,使得商家每日获利最大.21已知函数,曲线在点处的切线l的斜率为1,其中.(1)求a的值和l的方程;(2)证明:当时,.22已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数在上有且仅有2个零点,求a的取值范围.参考答案1答案:B解析:由,则,所以,故选:B.2答案:A解析:,当时,所以在上单调递增.故选:A.3答案:A解析:,故,故曲线在处的切线的斜率为2,故选:A.4答案:D解析:依题意可知,这些三位数的个位为5,所以这样的三位数有个.故选:D.5答案:A解析:因为的展开式中第3项为,所以的展开式中第3项的系数为,的展开式中第3项的二项式系数为.故选:A.6答案:B解析:依题意,每个
6、盒子放入2个球,余下2个球可以放入一个盒子有种方法,放入两个盒子有种方法,所以不同放法的种数为.故选:B.7答案:A解析:因为,所以,令,对称轴为,当时恒成立,此时在上单调递增,不存在最小值,故舍去;所以,依题意使得,且当时,当时,使得在上单调递减,在上单调递增,在处取得极小值即最小值,所以,所以,解得,即;故选:A.8答案:A解析:根据题意,分2步进行分析:将6本不同的书籍分为3组,每组至少1本,若分为4、1、1的三组,有种分组方法,若分为3,2,1的三组,有种分组方法,若分为2,2,2的三组,有种分组方法,共有种分组方法,将西游记所在的组分发给了甲,剩下2组任意分配,有2种情况,则有种分发
7、方式.故选:A.9答案:AC解析:因为,所以或,解得或,故选:AC.10答案:BC解析:对于A,当时,故在上不是凸函数;对于B,对任意的,故在上是凸函数;对于C,对任意的,故在上是凸函数;对于D,对任意的,故在上不是凸函数.故选:BC.11答案:CD解析:若,则,故A错误;若,则,故B错误;若,则,故C正确;若,则,故D正确,故选:CD.12答案:ABC解析:对A:由图可知,故A正确;对B:由图可知,当时,恒成立,故函数在上单调递减,故B正确;对C:由图可知,当时,当,故函数在处取得极大值,故C正确;对D:由图可知,当时,恒成立,故在上单调递增,无最大值,故D错误.故选:ABC.13答案:36
8、解析:特殊位置优先考虑,先考虑末尾,有种,在考虑首位非零有种,剩下的两个位置有种,则由分布乘法计数原理,得到共有奇数种,故答案为:36.14答案:630解析:用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,若第三个格子与第一个格子同色,则有种涂色方法;若第三个格子与第一个格子不同色,则有种涂色方法;综上,共有种涂色方法.故答案为630.15答案:60解析:展开式第项,1,2,3,4,5,6,当时,故展开式中常数项为.故答案为:60.16答案:或解析:点不在曲线上.设所求切线的切点为,则切线的斜率,故所求的切线方程为,将及代入上式,得,解得或,所以切点为或.从而所求切线方程为或.故答案为:或.17答案:(
9、1)7(2)164解析:(1)即:解得:或(,舍去),.(2).故答案为164.18答案:(1)种(2)种(3)种(4)种解析:(1)从7人中选5人排列,有(种);(2)先排甲,有5种方法,其余6人有种排列方法,共有(种);(3)将女生看作一个整体与名男生一起全排列,有种方法,再将女生全排列,有种方法,共有(种);(4)先排女生,有种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有种方法,共有(种).19答案:(1)1(2)增区间为,减区间为(3)最大值为9,最小值为解析:(1),由于在处取得极值,故,解得,经检验,当时,在处取得极值,故.(2)由(1)得,由得或;由得.故的单调增区
10、间为,单减区间为.(3)由(2)得函数的极大值为,得函数的极小值为,又,所以函数在区间上的最大值为9,最小值为.20答案:(1),(2)4元/千克解析:(1)由题意可知,当时,当时,即,解得,所以,(2)设每日销售该商品获利元,则,则,令,得或舍去,所以时,为增函数,时,为减函数,所以时,取得最大值,所以销售价格定为4元/千克,商家每日获利最大.21答案:(1);(2)证明见解析解析:(1)由已知因为曲线在点处的切线l的斜率为1,所以,解得,又,所以切线方程为,即;(2)令,则,令,得,令,得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,即,整理得,所以,即.22答案:(1)见解析(2)解析:(1)因为函数,则,当时,函数在上单调递增;当时,由可得,若,则;若,则.当时,函数的单调增区间为,单调减区间为,综上所述,当时,函数的单调增区间为;当时,函数的单调增区间为,单调减区间为.(2)当时,由,可得,则直线与函数的图象有两个交点,函数的定义域为,由,可得,当时,此时函数单调递增,当时,此时函数单调递减,所以,函数的极大值为,且,如下图所示:由图可知,当时,直线与函数在上的图象有两个交点,因此,实数a的取值范围是.