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1、2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高二下学期期末考试数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|1x24,B=x|133xy0”成立的充分不必要条件是()A. 1x1yB. x2y2C. ln(x+1)ln(y+1)D. x2 y23.已知函数f(x)=lnx+x2x,则f(x)的零点所在的区间为()A. (12,1)B. (1,2)C. (2,e)D. (e,3)4.定义行列式abcd=adbc,若行列式2a2122a145a2a,则实数a的取值范围为()A. (1,32) B. (,1)(32,+)
2、C. (12,2) D. (,12)(2,+)5.已知a=log513,b=ln3,c=ba,则a,b,c的大小关系()A. bacB. bcaC. cabD. cba6.函数f(x)=ln( 9x2+13x)|3x2|的图象大致为()A. B. C. D. 7.若对任意的x1,x2(e,+),且x1x2,都有x1lnx2x2lnx1x2x10,y0,且x+3y=1,则下列结论正确的是()A. 1x+2y的最小值为7+2 6B. x2+y2的最小值为 1010C. sinx2+3y1D. lnxe3y1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知f(x)=a3x+1+b是定义在R
3、上的奇函数,且f(log35)=12,则f(1)= 13.已知数列an的首项为2,D是ABC边BC所在直线上一点,且2CA+5(an+3)AD(an+1+1)AB=0,则数列an的前n项和为。14.若关于x的不等式xe2x2axa(lnx+3)0在(0,+)上恒成立,则。四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数f(x)=log2(x+3)log2(x3)(1)判断函数f(x)的单调性并证明;(2)若关于x的方程f(x)=log2(x+m)在区间4,6上有解,求实数m的取值范围16.(本小题12分)在生活中,喷漆房和烤漆房是重要的
4、工业设备,它们在我们的生活中起着至关重要的作用。喷漆房的过滤系统主要作用是净化空气。能把喷漆过程中的有害物质过滤掉,过滤过程中有害物质含量y(单位:mg/L)与时间x(x0)(单位:)间的关系为y=y0ekx,其中y0,k为正常数,已知过滤2消除了20%的有害物质(1)过滤4后还剩百分之几的有害物质?(2)要使有害物质减少80%,大约需要过滤多少时间(精确到1)?参考数据:lg20.317.(本小题12分)已知数列an满足a1=3,an+1=7an+3(1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+1an71818.(本小题12分)已知函数f(x)=excosx
5、(1)求证:当x2,+)时,f(x)有两个零点;(2)若f(x)x2ax在0,+)上恒成立,求实数a的取值范围。19.(本小题12分)柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的,其形式为:(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,等号成立条件为a1b1=a2b2=anbn或ai,bi,i=1,2,3,n至少有一方全为0.柯西不等式用处很广,高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题。已知数列an满足a1=13,an+1=12an(nN).(1)证明:数列1an1为等差数列,并求数列an的通项公式;(2)证明:n2(a12a1+an+
6、a22a2+an1+an2an+a1)0x30,所以定义域为(3,+),所以f(x)=log2(x+3)log2(x3)=log2x+3x3,x(3,+),f(x)在定义域(3,+)上为减函数,证明如下:(法一)设任意x1,x2(3,+),且x1x13,所以由x2x10,x130,x2+30知6(x2x1)(x13)(x2+3)0,即(x1+3)(x23)(x13)(x2+3)1,所以log2(x1+3)(x23)(x13)(x2+3)0,因此f(x1)f(x2),所以函数f(x)在定义域上是减函数(法二)f(x)=1(x+3)ln21(x3)ln2=1ln2(1x+31x3)=1ln2(6x
7、29),因为x(3,+),所以f(x)0即m=x+3x3x在4,6上有解记g(x)=x+3x3x,因为g(x)=x+3x3x=6x3x+1,所以g(x)在4,6上为严格减函数,所以,g(x)max=g(4)=3,g(x)min=g(6)=3,故g(x)的值域为3,3,因此,实数m的取值范围为3,3,经检验满足题意,综上:实数m的取值范围为3,316.解:(1)由y=y0ekx可知,当x=0时,y=y0,当x=2时,y=(120%)y0,则有y0e2k=(120%)y0,解得k=12ln0.8,所以y=y0 e(12ln0.8)x=y00.8x2,故当t=4时,y=y00.82=064y0,即过
8、滤4后还剩64%的有害物质(2)要使有害物质减少80%,则有y=15y0,y00.8x2=15y0,因为y00,所以0.8x2=15,x2=log0.815=lg15lg45=lg5lg4lg5=lg213lg217,所以x14,故要使有害物质减少80%大约需要过滤14小时17.解:(1)由an+1=7an+3得an+1+12=7an+3+12=7an+72,所以an+1+12=7(an+12),因为a1+12=720,所以an+1+12an+12=7,所以an+12是等比数列,首项为a1+12=72,公比为7,所以an+12=727n1,解得an=7n12,nN;(2)由(1)知:an=7n
9、12,所以1an=27n1,因为当n1时,7n167n1,所以27n1137n1,1a1+1a2+1an13(1+17+172+17n1)=13117n117=718(117n)718,所以1a1+1a2+1an1,cosx1,所以excosx0,函数f(x)无零点;当x2,0时,f(x)=ex+sinx=(x),(x)=ex+cosx0,所以f(x)在2,0上单调递增,因为f(2)=e21=1e210,所以存在唯一x0(2,0),使得f(x0)=0,所以f(x)在(2,x0)上单调递减,在(x0,0)上单调递增,又因为f(0)=0,f(2)=e20,所以存在唯一x1(2,x0),使得f(x1
10、)=0所以由知,当x2,+)时,函数f(x)有两个零点为x1和0解:(2)若f(x)x2ax在0,+)上恒成立,即excosxx2ax恒成立,设g(x)=excosxx2+ax,x0,+),即g(x)0在0,+)恒成立,g(x)=ex+sinx2x+a=t(x),t(x)=ex+cosx2=m(x),而m(x)=exsinx0恒成立,所以t(x)在0,+)上单调递增,所以t(x)t(0)=0,所以g(x)在0,+)单调递增,当a1时,g(x)g(0)=1+a0,所以g(x)在0,+)上单调递增,所以g(x)g(0)=0在0,+)上恒成立,所以a1,当a1时,g(0)=1+a0,因为exex,s
11、inx1,所以g(1ae2)=e1ae2+sin1ae221ae2+ae1ae2121ae2+a=1a+a1=0,于是存在x2(0,+),使得g(x2)=0,所以g(x)在(0,x2)单调递减,又因为g(0)=0,所以在x(0,x2)时,g(x)0,不合题意综上,实数a的取值范围是1,+)19.解:(1)因为an+1=12an,所以1an+111an1=112an11an1=2anan11an1=1anan1=1,又因为a1=13,故1an1是以32为首项,1为公差的等差数列;所以1an1=32(n1)=2n+12,所以an=122n+1,nN;(2)欲证n2(a12a1+an+a22a2+an1+an2an+a1)ln