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1、 信息论与编码-曹雪虹-课后习题答案 第二章 2.1 一个马尔可夫信源有 3 个符号1,23,u u u，转移概率为：11|1/2p u u，21|1/2p uu，31|0p uu，12|1/3p u u，22|0p uu，32|2/3p uu，13|1/3p u u，23|2/3p uu，33|0p uu，画出状态图并求出各符号稳态概率。解：状态图如下 状态转移矩阵为：1/21/201/302/31/32/30p 设状态 u1，u2，u3稳定后的概率分别为 W1，W2、W3 由1231WPWWWW得1231132231231112331223231WWWWWWWWWWWW计算可得123102
2、5925625WWW u1u2u31/21/21/32/32/31/3 2.2 由符号集0，1组成的二阶马尔可夫链，其转移概 率 为：(0|00)p=0.8，(0|11)p=0.2，(1|00)p=0.2，(1|11)p=0.8，(0|01)p=0.5，(0|10)p=0.5，(1|01)p=0.5，(1|10)p=0.5。画出状态图，并计算各状态的稳态概率。解：(0|00)(00|00)0.8pp (0|01)(10|01)0.5pp(0|11)(10|11)0.2pp (0|10)(00|10)0.5pp(1|00)(01|00)0.2pp (1|01)(11|01)0.5pp(1|11)
3、(11|11)0.8pp (1|10)(01|10)0.5pp 于是可以列出转移概率矩阵：0.80.200000.50.50.50.500000.20.8p 状态图为：000110110.80.20.50.50.50.50.20.8 设各状态 00，01，10，11 的稳态分布概率为W1,W2,W3,W4 有 411iiWPWW 得 13113224324412340.80.50.20.50.50.20.50.81WWWWWWWWWWWWWWWW 计算得到12345141717514WWWW 2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为 1/6，求：(1)“3 和 5 同时出现”这
4、事件的自信息；(2)“两个 1 同时出现”这事件的自信息；(3)两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；(4)两个点数之和（即2,3,12 构成的子集）的熵；(5)两个点数中至少有一个是1 的自信息量。解：(1)bitxpxIxpiii 170.4181log)(log)(18161616161)(2)bitxpxIxpiii 170.5361log)(log)(3616161)(3)两个点数的排列如下：11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61
5、62 63 64 65 66 共有 21 种组合：其中 11，22，33，44，55，66 的概率是3616161 其他 15 个组合的概率是18161612 symbolbitxpxpXHiii/337.4181log18115361log3616)(log)()(4)参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：symbolbitxpxpXHXPXiii/274.3 61log61365log365291log912121log1212181log1812361log3612 )(log)()(3611218111121109193658617365691512141813
6、3612)(5)bitxpxIxpiii 710.13611log)(log)(3611116161)(2-4 2.5 居住某地区的女孩子有 25%是大学生，在女大学生中有 75%是身高 160 厘米以上的，而女孩子中身高160 厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160 厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设随机变量 X 代表女孩子学历 X x1（是大学生）x2（不是大学生）P(X)0.25 0.75 设随机变量 Y 代表女孩子身高 Y y1（身高160cm）y2（身高160cm）P(Y)0.5 0.5 已知：在女大学生中有 75%是身高 160 厘米以上的 即：b
7、itxyp 75.0)/(11 求：身高 160 厘米以上的某女孩是大学生的信息量 即：bitypxypxpyxpyxI 415.15.075.025.0log)()/()(log)/(log)/(11111111 2.6 掷两颗骰子，当其向上的面的小圆点之和是 3 时，该消息包含的信息量是多少？当小圆点之和是 7 时，该消息所包含的信息量又是多少？解：1）因圆点之和为 3 的概率1()(1,2)(2,1)18p xpp 该消息自信息量()log()log184.170I xp xbit 2）因圆点之和为 7 的概率 1()(1,6)(6,1)(2,5)(5,2)(3,4)(4,3)6p xp
8、ppppp 该消息自信息量()log()log62.585I xp xbit 2.7 设 有 一 离 散 无 记 忆 信 源，其 概 率 空 间 为 123401233/81/41/41/8XxxxxP （1）求每个符号的自信息量 （2）信源发出一消息符号序列为202 120 130 213 001 203 210 110 321 010 021 032 011 223 210，求该序列的自信息量和平均每个符号携带的信息量 解：122118()loglog1.415()3I xbitp x 同理可以求得233()2,()2,()3I xbit I xbit I xbit 因为信源无记忆，所以此
9、消息序列的信息量就等于该序列中各个符号的信息量之和 就有：123414()13()12()6()87.81II xI xI xI xbit 平均每个符号携带的信息量为87.811.9545bit/符号 2.8 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？解：四进制脉冲可以表示4 个不同的消息，例如：0,1,2,3 八进制脉冲可以表示 8 个不同的消息，例如：0,1,2,3,4,5,6,7 二进制脉冲可以表示 2 个不同的消息，例如：0,1 假设每个消息的发出都是等概率的，则：四进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH/24loglog)(1 八进制脉冲的平均信息量symbolbi
10、tnXH/38loglog)(2 二进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH/12loglog)(0 所以：四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的 2 倍和 3 倍。2-9 “”用三个脉冲 “”用一个脉冲(1)I()=Log 4()2 I()Log430.415(2)H=14Log 4()34Log430.811 2-10 (2)P(黑/黑)=P(白/黑)=H(Y/黑)=(3)P(黑/白)=P(白/白)=H(Y/白)=(4)P(黑)=P(白)=H(Y)=2.11 有一个可以旋转的圆盘，盘面上被均匀的分成38 份，用 1，38 的数字标示，其中有两份涂绿色，18 份涂红色，18
11、 份涂黑色，圆盘停转后，盘面上的 指针指向某一数字和颜色。（1）如果仅对颜色感兴趣，则计算平均不确定度（2）如果仅对颜色和数字感兴趣，则计算平均不确定度（3）如果颜色已知时，则计算条件熵 解：令 X 表示指针指向某一数字，则 X=1,2,.,38 Y 表示指针指向某一种颜色，则 Y=l 绿色，红色，黑色 Y 是 X 的函数，由题意可知()()i jip xyp x（1）3112381838()()loglog2log1.24()3823818jjjH Yp yp y bit/符号（2）2(,)()log 385.25H X YH Xbit/符号（3）(|)(,)()()()5.251.244.
12、01H X YH X YH YH XH Ybit/符号 2.12 两个实验 X 和 Y，X=x1 x2 x3,Y=y1 y2 y3,l 联合概率,ijijr x yr为 1112132122233132337/241/2401/241/41/2401/247/24rrrrrrrrr（1）如果有人告诉你X 和 Y 的实验结果，你得到的平均信息量是多少？（2）如果有人告诉你 Y 的实验结果，你得到的平均信息量是多少？（3）在已知 Y 实验结果的情况下，告诉你 X 的实 验结果，你得到的平均信息量是多少？解：联合概率(,)ijp x y为 22221(,)(,)log(,)724112log4log
13、 24log 4247244ijijijH X Yp x yp x y =2.3bit/符号 X 概率分布 21()3log 31.583H Y bit/符号(|)(,)()2.3 1.58H X YH X YH Y Y概 率 分 布 是 =0.72bit/符号 Y y1 y2 y3 P 8/24 8/24 8/24 2.13 有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为 Y X y1 y2 y3 x1 7/24 1/24 0 x2 1/24 1/4 1/24 x3 0 1/24 7/24 X x1 x2 x3 P 8/24 8/24 8/24 Y X x1=0 x2=1 y1=0 1/8 3/
14、8 y2=1 3/8 1/8 并定义另一随机变量Z=XY（一般乘积），试计算：(1)H(X),H(Y),H(Z),H(XZ),H(YZ)和H(XYZ)；(2)H(X/Y),H(Y/X),H(X/Z),H(Z/X),H(Y/Z),H(Z/Y),H(X/YZ),H(Y/XZ)和H(Z/XY)；(3)I(X;Y),I(X;Z),I(Y;Z),I(X;Y/Z),I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。解：(1)symbolbitypypYHyxpyxpypyxpyxpypsymbolbitxpxpXHyxpyxpxpyxpyxpxpjjjiii/1)(log)()(218183)()()(218381)(
15、)()(/1)(log)()(218183)()()(218381)()()(22212121112212221111 Z=XY的概率分布如下：symbolbitzpZHzzZPZkk/544.081log8187log87)()(818710)(221 symbolbitzxpzxpXZHzpzxpzxpzxpzpzxpzpzxpzxpzxpzpxpzxpzxpzxpzxpxpikkiki/406.181log8183log8321log21)(log)()(81)()()()()(835.087)()()()()()(5.0)()(0)()()()(22222212111121211111
16、12121111 symbolbitzypzypYZHzpzypzypzypzpzypzpzypzypzypzpypzypzypzypzypypjkkjkj/406.181log8183log8321log21)(log)()(81)()()()()(835.087)()()()()()(5.0)()(0)()()()(2222221211112121111112121111 symbolbitzyxpzyxpXYZHyxpzyxpyxpzyxpzyxpzyxpyxpzyxpyxpzyxpzyxpzyxpzxpzyxpzxpzyxpzyxpyxpzyxpyxpzyxpzyxpzyxpzyxpzyxpijkkjikji/811.181log8183log8383log8381log81 )(log)()(81)()()()()(0)(83)()()()()(838121)()()()()()(8/1)()()()()(0)(0)(0)(22222222222122122121121221211211111121111111211111111211111212221211(2)symbol
