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1、湖南省2023-2024高三上学期第二次联考数学试题湖南省2023-2024高三上学期第二次联考数学试题r-贮气-一-矗-贮3-贮-一-：注意事项：；答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号埴写在答题卡上。：2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂：黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时将答案写在答：；题卡上。写在木试卷无效。;3.考试结束后，将木试题卷和答题卡一并交回。-一一一擎一畸一 一嘈二_-_ _-_-.-._一一-重-.一-.村-=-“一一 -.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项
2、是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）I.已知织合A=I元lx231,B=l-2,-1,1.21，则B门（儿A)=B.I-11C.I-I,I ID.I-2.212.设z1=3-2i,z2=I+rni（其中1为虚数单位）若z1z2为纯虚数则实数m.=A.1-213_2 A 2 B.32_3 c 3_2 D 3已知sin（气，则cos(a扣_4 A l_4 B 邓一4c 尽D.士一一一4 3,r 4.已知忨1=2已为单位向狱，向i菇与向扭:e的夹角为，则向散（；在向员e上的投影向拭为4 A.fieB.-.fieC.ff.D.-Ji5.若函数f(,）的导函数为f(x)，且满足J(x)=
3、2f(l)lnx元，则f(e)=A.0B.-1C.-2+eD.-2I I 6.已知正实数a,b满足a+2b=4，则I 的最小值是a b+l A.I8.3328C.3+2互6 D.I+J3 3 7.已知a=log32,b=log53,c=log85，则下列结论正确的是、丿A.bcaB.bac C.acb D.abO)若在o，子上恰有两个不相等的实数a、b满足J(a)+J(b)=4，则实数o的取伯池闱是高三第二次联考数学共6页第2页】16.已知函数阳）严,g(x)=J(J(x)-a，若g(x)有2个不同的零点，则实数a的取In父，立0值范围是四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、
4、证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分10分）已知5，伲为平面向狱，且a=(l,2).(I)若启(2,I)，且丘加蒜垂直，求实数k的值；(2)若初几，且lbl=3万，求向五环的坐标18.（本题满分12分）在!:.ABC中，内角A,B,C的对边分别为(L.b,c，且满足asinC厄（acosC-b).(I)求A;(2)若内角A的角平分线交BC千D点，且AD月一，求!:.ABC的面积的最小值【高三第二次联考数学共6页第3页】19.（本小题满分12分）已知函数J伈）In（叶I).(I)求曲线y=f伈）在点(I.f(I)）处的切线方程；I(2)证明J()x2-从2 20.（本小题满分12分）已知函数
5、瓜）Asin（如中）AO.wO,lcp|：)的部分图象如右图所示(1)3RJ(x)的昭析式；T(2)先将f(,户)的图象向左平移个单位长度，再将所得图12 象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象当XE:时，求g(x)的值域y 4豆36工高三第二次联考数学共6页第4页21.（本题小满分12分）如右图，在平而直角坐标系中，角a和B的终边与单位圆分别交于P,Q两点y p(I)若酰而吕），求cos(a-:/3）的侦；互2(2)若a=：，而芍劝丁，求cos（牢了T)的伯工高三第二次联考数学共6页第5页22.（本小题满分l2分）已知函数J(x)=(x-a-1)e
6、-I_忒a.i.:.2(1)当a=I时，求函数J(x)的单悯递增区间；I(2)若函数j伈）在(0,+oo)的五i小们为，求a的股大值2 高三第二次联考数学共6页，纶6页）高三第二次联考数学答案高三第二次联考数学答案l5:DABBC 68:CDA 912:ACD,ABC,BD,AD 1.D解析：A=lx|乃至x.:;fff,B=j-2,-1,1,2,:.心A=lxlx扣，Bn（心A)=l-2,2f.故选D.2.A解析：z1 z2=(3-2i)(1+mi)=3+3mi-2i+2m=3+2m+(3m-2)i,因为z1z为纯虚数，所以有l 2 故选A.3+2m=O 3,m=3m-2#0 23.B 解
7、析：由 sin（三），得 cos(a+：叶cos（三门一sin（三），故选B.4.B解析：由题意知1-;1=1，所以向鼠刓在向械；上 的投影向e 3IT-最为Ii-IIcos0=2cose=互；|e|4 故选B.2f(l)5.C解析：由J(x)=2/(1)lnx+x，得f(X)=+1,X 2f(1)令x=1，则 f(1)=+1，解得八1)=-1,1 所以f(x)=-2lnx+x,f(e)=-2+e.故选C.6.C解析：:a+2b=4,:.a+2b+2=6,1 1 故1 2 1 1 2 1=+(+)(a+2b+2)=a b+l a 2b+2 6 a 2b+2/.6(1+2+2+2b+2a)三(3
8、+2丘）32丘a 2b+2J 6.6，当且仅当2+2b 2a a 2b+2 时，等号成立故选C.2 2 7.D解析：因为log32=log森log芯log33了log55了3 log5迈5log5迈7=log53，所以ab,ln3+ln8 ln3 因为ln3ln8(T)2=(ln度）又(ln5)2，所以ln5 ln5 ln8所以log53log85，所以bc，所以ab0可得xl，令f(x)0可得lx1，所以 函数J(x)的单调递增区间为（00,-1)和(1,+oo)，函数f(x)的单调递减区间为(-1,1)，故B正确；对千C，由f(X)=3x2-3=0 得x土l，结合选项B可知，x一是函数f(
9、x)的极大值点，此时函数f(x)的极大值为八I)=-1+3=2，故C正确；对千D，由B可知，函数f(x)在（00-1)和(1,+oo）上单调递增，函数f(x)在（1,1)上单调递减，所以f(x)无最大值，无最小值，如图，故D错误故选ABC.11.BD解析：:=.:.sinC-3 cosBsi 1-./3 cosB cosC:.sinC五cosBsinC灯ff sinB sinC sinBcosC,:.sinC及（sinBcosC+cosBsinC)/3sin(B+C)乃sin(lTA)/3sinA,巾正弦定理得：c厄 a，即c2=3a2,s=J心（c2+a22-b2)23矿（3a2+2矿4）2
10、=：心高三第二次联考数学2l l=产矿8 a2-4=产(a2-4)2+l2，当a2=4时，S2 2 1 有 最大值八歹灯2 故选BD.12.AD 解析：对千A，由J(x)+g(x)=2，令x=O可得J(O)+g(O)=2，又g(x)为奇函数，故g(O)=O,f(O)=2，故A 正确；对千B，由J(x)+g(x)=2及J(x)+g(x-2)=2可得g(x)=g(x-2),又g(x)为奇函数，则g(x)=-g(-x)=g(x-2)，令x=l则g(1)=-g(-1)=g(-1)，故g(1)=g(-1)=0.故B错误；对千C，由J(x)+g(x)=2及g(1)=0可得J(l)=2，当n=1时，lJCi
11、)=o不成立，故C错误；i=I 对千D，巾A、B可得g(O)=g(l)=0 且g(x)周期为2,故g(i)=O,(iEN*)，故I.g(i)=o，故D 正确,=I 故选AD.13.-4 解析：因为=Cl,2),+,;=c-1,1)，则b=(-2,-1)因此.,;=-2-2=-4.2a 14.5 解析:.f(x)=x-(a+2)，由题意可得f(x)=O 在X(4,6)内有解，且 在此解左右f(x)异号2a 即x-(a+2)=0，也即(x-2)(x-a)=0 在 XE(4,6)X 有解，又4x6，可得x=aE(4,6)，故a=5.lT 15.5,9)解析：因为O=e:Sx=e:S，所以0:e:S(
12、JJx=e:S-lT(JJ 2 2lT 因为在o,上恰有两个不相等的实数 a、b满足f(a)2+f(b)=4，且f(x)=2sin(JJx(JJ0)，所以函数 f(x)在气上恰有两个最大值点，51T1T(JJ 91T 所以-O,f(j(x)=lnex=x;当Ol时，lnxO,f(j(x)=ln(lnx).综上可得，h(x)=x,x=e:Slln(lnx),x I 函数y=ln(lnx)的定义域为(l,+oo),由复合函数单调性可知函数y=ln(lnx)单调递增又h(e)=ln(lne)=0，作出h(x)的图象如图所示，y 由图象可知，当a:e;I时，曲线 h(x)与y=a恒有两个交点，即g(x
13、)有两个零点，所以a 的取值范围是（oo,l.17.(10分）解：（1)因为iI=(l,2)-,;=（2,1),所以k iI-,;=（k-2,2k-1)，2分又因为k iI和莉垂直，所以(k iI-,;)iI=O,4分即k-2+(2k-l)x2=0，得5k-4=0,4 所以k=6分5(2)因为iIllb得-,;入；（入，2入），又因为1-,;I=3/5，所以乙F五了=3/5,8分即矿4矿45，所以入士3,故-,;=（3,6)或-,;=（3,-6).10分18.(12分）解：（l）因为asinCJ3(acosC-b),由正弦定理可得sinAsinC打一(sinAcosC-sinB)，2分则sin
14、AsinCJ3(sinAcosC-sinB)/3 sinAcosC-sin(A+C)灯cosAsinC,4分因为A,CE(0,11)，则sinC引O，则sinA=灯cosA,5分211 可得tanA=打，所以A=-6分3 IIIl,”lllll 彴X 高三第二次联考数学3lT(2)由题意可得：LBAD=LCAD=，且SLABC=S LEAD+3 SL CAD 7分ll l 则bcsinLBAC=xcxADxsinLBAD+xbxADxsin2 2 2 LCAD,l J l l J 即bcx=xcxJ3x+xbxJ3x，且b,cO,2 2 2 2 2 2 9分则be灯（b+c);:;,/3x2几
15、；，当且仅当b=c=2/3时，等号成立，可得be;,12,10分1 1 所以SLABC=bcsinLBAC;,x12x=3/3,2 2 2 故LABC 的面积的最小值为3/3.12分19.(12分）（l）解：:J(x)=xln(x+l),X 则f(x)=ln(x+1)+1分x+l 1:.J(l)=ln2,/(1)=ln2+2分2 曲线y=J(x)在点(1,J(1)）处的切线方程为：y-ln2=（+ln2)(x-1),即 y=（+ln2)x-+.4分l l(2)证明：令g(x)=J(x)x3-x2=x3-x2+xln(x+l),2 2 其中x-1,3 g(x)=x2-2x+In(x+1)+6分2
16、 x+l 3 x 令h(x)=x2-2x+ln(x+l)+，其中x-1,2 x+1 高三第二次联考数学4则h(x)=3x-2+1.1x2(3x+4)2,8分x+I(x+I尸(x+1)当x-1时，h(x)o且h(x)不恒为零，函数g(x)在(-1,+oo）上单调递增，9分当IxO时，g(x)O时，g(x)g(O)=0，此时函数g(x)单调递增，11分1:.g(x)g(O)=O,即f(x)乏x2-x3.12分2 20.(12分）解：（l）根据图像可得A=4,T 7IT ITIT 1 2ITIT了飞飞飞，则了飞I飞因为wO，所以(I)=6.2分将侵，0)代入f(x)的 解析式，得 4sin(6xfr;叶0,TT Tr 则6x叩kTT，kEZ，得中kTT,kEZ.4分36 6 TT 因为1引，所以中TT 2 6 所以f(x)=4sin(6三）6分TT(2)由(1)知f(x)=4s in(6x飞），TT 将j(X)的图像向左平移个单位长度得y=4sin12(6x千f)=4sin(6x+f)的图象，再将所得 图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，TT 得 g(x)=8sin
