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1、湖南省2023-2024高三上学期第二次联考数学试题湖南省2023-2024高三上学期第二次联考数学试题r-贮气-一-矗-贮3-贮-一-:注意事项:;答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号埴写在答题卡上。:2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂:黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时将答案写在答:;题卡上。写在木试卷无效。;3.考试结束后,将木试题卷和答题卡一并交回。-一一一擎一畸一 一嘈二_-_ _-_-.-._一一-重-.一-.村-=-“一一 -.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。每小题给出的四个选项中,只有一个选项
2、是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。)I.已知织合A=I元lx231,B=l-2,-1,1.21,则B门(儿A)=B.I-11C.I-I,I ID.I-2.212.设z1=3-2i,z2=I+rni(其中1为虚数单位)若z1z2为纯虚数则实数m.=A.1-213_2 A 2 B.32_3 c 3_2 D 3已知sin(气,则cos(a扣_4 A l_4 B 邓一4c 尽D.士一一一4 3,r 4.已知忨1=2已为单位向狱,向i菇与向扭:e的夹角为,则向散(;在向员e上的投影向拭为4 A.fieB.-.fieC.ff.D.-Ji5.若函数f(,)的导函数为f(x),且满足J(x)=
3、2f(l)lnx元,则f(e)=A.0B.-1C.-2+eD.-2I I 6.已知正实数a,b满足a+2b=4,则I 的最小值是a b+l A.I8.3328C.3+2互6 D.I+J3 3 7.已知a=log32,b=log53,c=log85,则下列结论正确的是、丿A.bcaB.bac C.acb D.abO)若在o,子上恰有两个不相等的实数a、b满足J(a)+J(b)=4,则实数o的取伯池闱是高三第二次联考数学共6页第2页】16.已知函数阳)严,g(x)=J(J(x)-a,若g(x)有2个不同的零点,则实数a的取In父,立0值范围是四、解答题(本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、
4、证明过程或演算步骤。)17.(本小题满分10分)已知5,伲为平面向狱,且a=(l,2).(I)若启(2,I),且丘加蒜垂直,求实数k的值;(2)若初几,且lbl=3万,求向五环的坐标18.(本题满分12分)在!:.ABC中,内角A,B,C的对边分别为(L.b,c,且满足asinC厄(acosC-b).(I)求A;(2)若内角A的角平分线交BC千D点,且AD月一,求!:.ABC的面积的最小值【高三第二次联考数学共6页第3页】19.(本小题满分12分)已知函数J伈)In(叶I).(I)求曲线y=f伈)在点(I.f(I))处的切线方程;I(2)证明J()x2-从2 20.(本小题满分12分)已知函数
5、瓜)Asin(如中)AO.wO,lcp|:)的部分图象如右图所示(1)3RJ(x)的昭析式;T(2)先将f(,户)的图象向左平移个单位长度,再将所得图12 象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数g(x)的图象当XE:时,求g(x)的值域y 4豆36工高三第二次联考数学共6页第4页21.(本题小满分12分)如右图,在平而直角坐标系中,角a和B的终边与单位圆分别交于P,Q两点y p(I)若酰而吕),求cos(a-:/3)的侦;互2(2)若a=:,而芍劝丁,求cos(牢了T)的伯工高三第二次联考数学共6页第5页22.(本小题满分l2分)已知函数J(x)=(x-a-1)e
6、-I_忒a.i.:.2(1)当a=I时,求函数J(x)的单悯递增区间;I(2)若函数j伈)在(0,+oo)的五i小们为,求a的股大值2 高三第二次联考数学共6页,纶6页)高三第二次联考数学答案高三第二次联考数学答案l5:DABBC 68:CDA 912:ACD,ABC,BD,AD 1.D解析:A=lx|乃至x.:;fff,B=j-2,-1,1,2,:.心A=lxlx扣,Bn(心A)=l-2,2f.故选D.2.A解析:z1 z2=(3-2i)(1+mi)=3+3mi-2i+2m=3+2m+(3m-2)i,因为z1z为纯虚数,所以有l 2 故选A.3+2m=O 3,m=3m-2#0 23.B 解
7、析:由 sin(三),得 cos(a+:叶cos(三门一sin(三),故选B.4.B解析:由题意知1-;1=1,所以向鼠刓在向械;上 的投影向e 3IT-最为Ii-IIcos0=2cose=互;|e|4 故选B.2f(l)5.C解析:由J(x)=2/(1)lnx+x,得f(X)=+1,X 2f(1)令x=1,则 f(1)=+1,解得八1)=-1,1 所以f(x)=-2lnx+x,f(e)=-2+e.故选C.6.C解析::a+2b=4,:.a+2b+2=6,1 1 故1 2 1 1 2 1=+(+)(a+2b+2)=a b+l a 2b+2 6 a 2b+2/.6(1+2+2+2b+2a)三(3
8、+2丘)32丘a 2b+2J 6.6,当且仅当2+2b 2a a 2b+2 时,等号成立故选C.2 2 7.D解析:因为log32=log森log芯log33了log55了3 log5迈5log5迈7=log53,所以ab,ln3+ln8 ln3 因为ln3ln8(T)2=(ln度)又(ln5)2,所以ln5 ln5 ln8所以log53log85,所以bc,所以ab0可得xl,令f(x)0可得lx1,所以 函数J(x)的单调递增区间为(00,-1)和(1,+oo),函数f(x)的单调递减区间为(-1,1),故B正确;对千C,由f(X)=3x2-3=0 得x土l,结合选项B可知,x一是函数f(
9、x)的极大值点,此时函数f(x)的极大值为八I)=-1+3=2,故C正确;对千D,由B可知,函数f(x)在(00-1)和(1,+oo)上单调递增,函数f(x)在(1,1)上单调递减,所以f(x)无最大值,无最小值,如图,故D错误故选ABC.11.BD解析::=.:.sinC-3 cosBsi 1-./3 cosB cosC:.sinC五cosBsinC灯ff sinB sinC sinBcosC,:.sinC及(sinBcosC+cosBsinC)/3sin(B+C)乃sin(lTA)/3sinA,巾正弦定理得:c厄 a,即c2=3a2,s=J心(c2+a22-b2)23矿(3a2+2矿4)2
10、=:心高三第二次联考数学2l l=产矿8 a2-4=产(a2-4)2+l2,当a2=4时,S2 2 1 有 最大值八歹灯2 故选BD.12.AD 解析:对千A,由J(x)+g(x)=2,令x=O可得J(O)+g(O)=2,又g(x)为奇函数,故g(O)=O,f(O)=2,故A 正确;对千B,由J(x)+g(x)=2及J(x)+g(x-2)=2可得g(x)=g(x-2),又g(x)为奇函数,则g(x)=-g(-x)=g(x-2),令x=l则g(1)=-g(-1)=g(-1),故g(1)=g(-1)=0.故B错误;对千C,由J(x)+g(x)=2及g(1)=0可得J(l)=2,当n=1时,lJCi
11、)=o不成立,故C错误;i=I 对千D,巾A、B可得g(O)=g(l)=0 且g(x)周期为2,故g(i)=O,(iEN*),故I.g(i)=o,故D 正确,=I 故选AD.13.-4 解析:因为=Cl,2),+,;=c-1,1),则b=(-2,-1)因此.,;=-2-2=-4.2a 14.5 解析:.f(x)=x-(a+2),由题意可得f(x)=O 在X(4,6)内有解,且 在此解左右f(x)异号2a 即x-(a+2)=0,也即(x-2)(x-a)=0 在 XE(4,6)X 有解,又4x6,可得x=aE(4,6),故a=5.lT 15.5,9)解析:因为O=e:Sx=e:S,所以0:e:S(
12、JJx=e:S-lT(JJ 2 2lT 因为在o,上恰有两个不相等的实数 a、b满足f(a)2+f(b)=4,且f(x)=2sin(JJx(JJ0),所以函数 f(x)在气上恰有两个最大值点,51T1T(JJ 91T 所以-O,f(j(x)=lnex=x;当Ol时,lnxO,f(j(x)=ln(lnx).综上可得,h(x)=x,x=e:Slln(lnx),x I 函数y=ln(lnx)的定义域为(l,+oo),由复合函数单调性可知函数y=ln(lnx)单调递增又h(e)=ln(lne)=0,作出h(x)的图象如图所示,y 由图象可知,当a:e;I时,曲线 h(x)与y=a恒有两个交点,即g(x
13、)有两个零点,所以a 的取值范围是(oo,l.17.(10分)解:(1)因为iI=(l,2)-,;=(2,1),所以k iI-,;=(k-2,2k-1),2分又因为k iI和莉垂直,所以(k iI-,;)iI=O,4分即k-2+(2k-l)x2=0,得5k-4=0,4 所以k=6分5(2)因为iIllb得-,;入;(入,2入),又因为1-,;I=3/5,所以乙F五了=3/5,8分即矿4矿45,所以入士3,故-,;=(3,6)或-,;=(3,-6).10分18.(12分)解:(l)因为asinCJ3(acosC-b),由正弦定理可得sinAsinC打一(sinAcosC-sinB),2分则sin
14、AsinCJ3(sinAcosC-sinB)/3 sinAcosC-sin(A+C)灯cosAsinC,4分因为A,CE(0,11),则sinC引O,则sinA=灯cosA,5分211 可得tanA=打,所以A=-6分3 IIIl,”lllll 彴X 高三第二次联考数学3lT(2)由题意可得:LBAD=LCAD=,且SLABC=S LEAD+3 SL CAD 7分ll l 则bcsinLBAC=xcxADxsinLBAD+xbxADxsin2 2 2 LCAD,l J l l J 即bcx=xcxJ3x+xbxJ3x,且b,cO,2 2 2 2 2 2 9分则be灯(b+c);:;,/3x2几
15、;,当且仅当b=c=2/3时,等号成立,可得be;,12,10分1 1 所以SLABC=bcsinLBAC;,x12x=3/3,2 2 2 故LABC 的面积的最小值为3/3.12分19.(12分)(l)解::J(x)=xln(x+l),X 则f(x)=ln(x+1)+1分x+l 1:.J(l)=ln2,/(1)=ln2+2分2 曲线y=J(x)在点(1,J(1))处的切线方程为:y-ln2=(+ln2)(x-1),即 y=(+ln2)x-+.4分l l(2)证明:令g(x)=J(x)x3-x2=x3-x2+xln(x+l),2 2 其中x-1,3 g(x)=x2-2x+In(x+1)+6分2
16、 x+l 3 x 令h(x)=x2-2x+ln(x+l)+,其中x-1,2 x+1 高三第二次联考数学4则h(x)=3x-2+1.1x2(3x+4)2,8分x+I(x+I尸(x+1)当x-1时,h(x)o且h(x)不恒为零,函数g(x)在(-1,+oo)上单调递增,9分当IxO时,g(x)O时,g(x)g(O)=0,此时函数g(x)单调递增,11分1:.g(x)g(O)=O,即f(x)乏x2-x3.12分2 20.(12分)解:(l)根据图像可得A=4,T 7IT ITIT 1 2ITIT了飞飞飞,则了飞I飞因为wO,所以(I)=6.2分将侵,0)代入f(x)的 解析式,得 4sin(6xfr;叶0,TT Tr 则6x叩kTT,kEZ,得中kTT,kEZ.4分36 6 TT 因为1引,所以中TT 2 6 所以f(x)=4sin(6三)6分TT(2)由(1)知f(x)=4s in(6x飞),TT 将j(X)的图像向左平移个单位长度得y=4sin12(6x千f)=4sin(6x+f)的图象,再将所得 图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标伸长到原来的2倍,TT 得 g(x)=8sin