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1、试卷第 1页，共 5页海淀区海淀区 20232024 学年第二学期期末练习学年第二学期期末练习高三数学高三数学2024.05本试卷共本试卷共 6 页，页，150 分分.考试时长考试时长 120 分钟分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共第一部分（选择题共 40 分）分）一一 选择题共选择题共 10 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 40 分分.在每小题列出的四个选项中在每小题列出的四个选项中，选出选出符合题目要求的一项符合题目要求的一项.1
2、已知集合1,0,1,2,3ABx ax.若AB，则a的最大值为（）A2B0C1D-22在52()xx的展开式中，x的系数为（）A40B10C40D103函数 3,0,1,03xxxfxx是（）A偶函数，且没有极值点B偶函数，且有一个极值点C奇函数，且没有极值点D奇函数，且有一个极值点4已知抛物线24xy的焦点为F，点A在抛物线上，6AF，则线段AF的中点的纵坐标为（）A52B72C3D45在ABC中，34,5,cos4ABACC，则BC的长为（）A6 或32B6C33 2D36设,R,0a bab，且ab，则（）AbaabB2baabCsin ababD32ab试卷第 2页，共 5页7在ABC
3、中，,2 22CCACB，点P满足1CPCACB ，且4CP AB ，则（）A14B14C34D348设 na是公比为1q q 的无穷等比数列，nS为其前n项和，10a.则“0q”是“nS存在最小值”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9设函数 fx的定义域为D，对于函数 fx图象上一点00,xy，若集合 00,kk xxyf xxD R 只有 1 个元素，则称函数 fx具有性质0 xP.下列函数中具有性质1P的是（）A 1f xxB lgf xxC 3f xxD sin2f xx 10设数列 na的各项均为非零的整数，其前n项和为nS.若*,ji i
4、 jN为正偶数，均有2jiaa，且20S，则10S的最小值为（）A0B22C26D31第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110 分）分）二二 填空题共填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.11若2(i)2iRxx，则x.12已知双曲线22:14xCy，则C的离心率为；以C的一个焦点为圆心，且与双曲线C的渐近线相切的圆的方程为.（写出一个即可）13已知函数 2cossinf xxax.（i）若0a，则函数 fx的最小正周期为.（ii）若函数 fx在区间0,上的最小值为2，则实数a.14二维码是一种利用黑白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由
5、试卷第 3页，共 5页2*nnN个黑白方块构成的n n二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成162个不重复的二维码，为确保一个n n二维码在 1 分钟内被破译的概率不高于1512，则n的最小值为.15如图，在正方体1111ABCDABC D中，P为棱AB上的动点，DQ 平面1,D PC Q为垂足.给出下列四个结论：1DQCQ；线段DQ的长随线段AP的长增大而增大；存在点P，使得AQBQ；存在点P，使得PQ/平面1D DA.其中所有正确结论的序号是.三三 解答题共解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明
6、，演算步骤或证明过程.16已知函数2()2cos3sin(0)2xf xx，从条件条件条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x存在且唯一确定.(1)求的值；(2)若不等式()2f x 在区间0,m内有解，求m的取值范围.条件：(2)3f；条件：()yf x的图象可由2cos2yx的图象平移得到；条件：()f x在区间(,)3 6内无极值点，且()2()263ff.注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17在三棱锥PABC中，2,ABPBM为AP的中点.(1)如图 1，若N为棱PC上一点，且MNAP，求证：平面BMN 平面PAC
7、；试卷第 4页，共 5页(2)如图 2，若O为CA延长线上一点，且PO平面,22ABC ACPA，直线PB与平面ABC所成角为6，求直线CM与平面PBC所成角的正弦值.18图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了 200 张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：识别结果真实性别男女无法识别男902010女106010假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.(1)从这 200 张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；(2)在新一轮测
8、试中，小组同学对 3 张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或 3 张照片全部测试完毕，则停止测试.设X表示测试的次数，估计X的分布列和数学期望EX；(3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为 50%，判定为女性的概率为50%).现从若干张不同的人脸照片（其中男性女性照片的数量之比为1:1）中随机抽取一张，分别用方案一方案二方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为123,p pp.试比较试卷
9、第 5页，共 5页123,p pp的大小.（结论不要求证明）19已知椭圆E的焦点在x轴上，中心在坐标原点.以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为6 2.(1)求栯圆E的方程；(2)设过点2,0M的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆E交于不同的两点,A C，与直线16x 交于点P.点B在y轴上，D为坐标平面内的一点，四边形ABCD是菱形.求证：直线PD过定点.20已知函数 ln2 3(0)f xxaax a.(1)若1a，求曲线 yf x在点 22f,处的切线方程；求证：函数 fx恰有一个零点；(2)若 ln2f xaa对,3xaa恒成立，求a的取值范围.21设正整数2n，*
10、,iia d N，1,1,2,iiiAx xakd k，这里1,2,in.若*12nAAA N，且1ijAAijn，则称12,nA AA具有性质P.(1)当3n 时，若123,A A A具有性质P，且11a，22a，33a，令123md d d，写出m的所有可能值；(2)若12,nA AA具有性质P：求证：1,2,iiad in；求1niiiad的值.答案第 1页，共 17页1C【分析】根据集合的包含关系可得1a 求解.【详解】由于AB，所以1a ，故a的最大值为1，故选：C2A【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设52()xx的通项1kT，则5115C2kkkkTxx，化简得5 215C2
11、kkkkTx，令2k，则x的系数为225C240，即 A 正确.故选：A3B【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.【详解】当0 x 时，0 x，则1()()3()3xxfxf x，当0 x 时，0 x，则1()3()()3xxfxf x，所以函数()f x是偶函数，由图可知函数()f x有一个极大值点.故选：B.4C【分析】根据抛物线定义求得点A的纵坐标，再求AF中点纵坐标即可.【详解】抛物线24xy的焦点0,1F，又16AAFy，解得5Ay，故线段AF的中点的纵坐标为1 532.故选：C.5A【分析】根据余弦定理即可求解.答案第 2页，共 17页【详解】由余弦定理可得2222
12、22543cos2104ACCBABCBCACBCBC,故22151806CBBCBC或32，故选：A6C【分析】举反例即可求解 ABD,根据导数求证sin,0,xx x即可判断 C.【详解】对于 A，取2,1ab，则122baab ，故 A 错误，对于 B，1,1ab，则2baab，故 B 错误，对于 C，由于sin0,cos10yxx xyx=，故sinyxx在0,单调递减，故sin0 xx，因此sin,0,xx x，由于ab，所以0ab，故sin abab，C 正确，对于 D,3,4ab ,则11322716ab=，故 D 错误，故选：C7B【分析】用CB，CA 表示AB，根据0CA C
13、B ，结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可.【详解】由题可知，0CA CB ，故CP AB 221188 1168CACBCBCACACB ，故1684，解得14.故选：B.8A【分析】根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前n项和公式判断即可【详解】若10a 且公比0q，则110nnaa q，所以nS单调递增，nS存在最小值1S，故充分条件成立.答案第 3页，共 17页若10a 且12q 时，11112211013212nnnaSa ，当n为奇数时，121132nnSa，nS单调递减，故最大值为1n 时，11Sa，而123nSa,当n为偶数时，121132nnSa，nS单调递增，故最
14、小值为2n，122aS，所以nS的最小值为112a，即由10a，nS存在最小值得不到公比0q,故必要性不成立.故10a 公比“0q”是“nS存在最小值”的充分不必要条件.故选：A9D【分析】根据性质1P的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.【详解】根据题意，要满足性质1P，则 f x的图象不能在过点 1,1f的直线的上方，且这样的直线只有一条；对 A：1f xx的图象，以及过点1,0的直线，如下所示：数形结合可知，过点1,0的直线有无数条都满足题意，故 A 错误；对 B：lgf xx的图象，以及过点1,0的直线，如下所示：答案第 4页，共 17页数形结合可知，不存在过点1,
15、0的直线，使得 f x的图象都在该直线的上方，故 B 错误；对 C：3f xx的图象，以及过点1,1的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点1,1的直线，使得 f x的图象都在该直线的上方，故 C 错误；对 D：sin2fxx 的图象，以及过点1,1的直线，如下所示：数形结合可知，存在唯一的一条过点1,1的直线1y ，即0k，满足题意，故 D 正确.故选：D.10B【分析】因为2120Saa，不妨设120,0aa，由题意求出3579,a a a a的最小值，46810,a a a a的最小值，10122Sa，令11a 时，10S有最小值.【详解】因为2120Saa，所以12,a a互为相反数
16、，不妨设120,0aa，为了10S取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，.由题意知：3a满足312aa，取3a的最小值12a；5a满足51531224aaaaa，因为1110,42aaa，故取5a的最小值14a；7a满足717317531224248aaaaaaaaa，取7a的最小值18a；答案第 5页，共 17页同理，取9a的最小值116a；所以135791111112481631aaaaaaaaaaa，4a满足422aa，取4a的最小值22a；6a满足62642224aaaaa，因为20a，所以2224aa，取6a的最小值12a；8a满足828418641224248aaaaaaaaa，因为20a，所以222482aaa，取8a的最小值12a；同理，取10a的最小值12a；所以24681022222222229aaaaaaaaaaa，所以101211131931922Saaaaa，因为数列 na的各项均为非零的整数，所以当11a 时，10S有最小值 22.故选：B【点睛】关键点点睛：10S有最小值的条件是确保各项最小，根据递推关系2jiaa分析可得奇数项的最小值
