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1、数学试题参考答案及评分标准 第 1 页 共 7 页 2024 年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D B C C B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
2、。12 5 13 8 143；3(,)3（注：第一空 2 分，第二空 3 分）四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）如图，三棱柱111ABCA B C中，侧面11BB C C 底面ABC，且ABAC，11A BAC（1）证明：1AA 平面ABC；（2）若12AABC，90BAC，求平面1A BC与平面11A BC夹角的余弦值证明：（1）取BC的中点M，连结MA、1MA因为ABAC，11A BAC，所以BCAM，1BCAM由于AM，1A M 平面1A MA，且1AMA MM，因此BC 平面1A MA2 分因为1A A平面1A MA，所
3、以BC 1A A又因为1/A A1B B，所以1B BBC，因为平面11BB C C 平面ABC，平面11BB C C平面ABCBC，且1B B 平面11BB C C，所以1B B 平面ABC因为1/A A1B B，所以1AA 平面ABC6 分解：（2）（法一）因为90BAC，且2BC，所以2ABAC题号 9 10 11 答案 AB ACD ABD ABC1A1B1CM PDF Shaper Professional数学试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 7 页 以AB，AC，1AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,2)A，(2,0,0)B，(0,
4、2,0)C，1(0,2,2)C 所以1(2,0,2)A B，1(0,2,2)AC，11(0,2,0)AC 8 分 设平面1A BC的法向量为111(,)x y zm，则 1100A BACmm，可得11112z020 xyz，令11z，则(2,2,1)m，设平面11A BC的法向量为222(,)xyzn，则 11100A BACnn，可得222200 xzy，令21z，则(2,0,1)n，12 分 设平面1A BC与平面11A BC夹角为，则|315cos|553m nm n，所以平面1A BC与平面11A BC夹角的余弦值为155 13分（法二）将直三棱柱111ABCA B C补成长方体11
5、11ABDCA B D C 连接1C D，过点C作1CPC D，垂足为P，再过P作1PQA B，垂足为Q，连接CQ.因为BD 平面11CDD C，且CP 平面11CDD C，所以BDCP 又因为1CPC D，由于BD，1C D 平面11A BDC，且1BDC DD，所以CP 平面11A BDC 由于1A B 平面11A BDC，所以1A BCP.因为CQ，PQ 平面CPQ，且CQPQQ，所以1A B 平面CPQ 因为CQ 平面CPQ，所以1CQA B 则CQP为平面1A BC与平面11A BC的夹角或补角，11 分 在1A BC中，由等面积法可得303CQ 因为112PQAC，所以15cos5
6、PQCQPCQ，因此平面1A BC与平面11A BC夹角的余弦值为155 13分 16（15 分）已知函数()(1)exf xax，()fx是()f x的导函数，且()()2exfxf x（1）若曲线()yf x在0 x 处的切线为ykxb，求k，b的值；（2）在（1）的条件下，证明：()f xkxb C1 A B B1 C A1 z x y M C1 A B B1 C A1 P Q D D1 数学试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 7 页 解：（1）因为()(1)exf xax，所以()(1)exfxaxa，2 分 则()()exfxf xa 因为()()2exfxf x，所以2a 4
7、分 则曲线()yf x在点0 x 处的切线斜率为(0)3f 又因为(0)1f，所以曲线()yf x在点0 x 处的切线方程为31yx，即得3k，1b 6 分（2）证：设函数()(21)e31xg xxx，xR，则()(23)e3xg xx 8 分 设()()g xh x，则()e(25)xh xx，10 分 所以，当52x 时，()0h x，()g x单调递增 又因为(0)0g，所以，0 x 时，()0g x，()g x单调递增；502x时，()0g x，()g x单调递减 又当52x时，()(23)e30 xg xx，综上()g x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，13 分 所以当
8、0 x 时，()g x取得最小值(0)0g，即(21)e310 xxx，所以，当xR时，()31f xx 15 分 17（15 分）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%（1）从混合放在一起的零件中随机抽取 3 个，用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零
9、件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率 设事件A“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B“该大型企业把零件交给甲工厂生产”已知0()1P B，证明：(|)(|)P A BP A B 解：（1）设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，事件M“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件N“混合放在一起零件来自乙工厂”，数学试题参考答案及评分标准 第 4 页 共 7 页 事件C“混合放在一起的某一零件是合格品”，则()mP Mmn，()nP Nmn，()(|)()(|)(94%98%97%)mnP CP C M P MP C
10、 N P Nmnmn，2 分 计算得3mn 所以1()4mP Mmn 3 分 X的可能取值为 0，1，2，3，1(3,)4XB，5 分 13()344E X ，6 分 00331327(0)()()4464P XC，11231327(1)()()4464P XC，2213139(2)()()4464P XC，3303131(3)()()4464P XC 所以，X的分布列为：X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 8 分 证明：（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率
11、，所以(|)(|)P B AP B A10 分 即()()()()P ABP ABP AP A 因为()0P A，()0P A，所以()()()()P AB P AP AB P A 因为()1()P AP A，()()()P ABP BP AB，所以()1()()()()P ABP AP BP AB P A(即得()()()P ABP A P B，12 分 所以()()()()()()()P ABP AB P BP A P BP AB P B 即()(1()()()()P ABP BP B P AP AB 又因为1()()P BP B，()()()P AP ABP AB，所以()()()()P
12、 AB P BP B P AB 因为0()1P B，0()1P B，所以()()()()P ABP ABP BP B 即得证(|)(|)P A BP A B 15 分 数学试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 7 页 18（17 分）设抛物线2:2C xpy（0p），直线:2l ykx交C于A，B两点过原点O作l的垂线，交直线2y 于点M对任意k R，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列（1）求C的方程；（2）若直线/ll，且l与C相切于点N，证明：AMN的面积不小于2 2 解：（1）设点11(,)A x y，22(,)B xy，由题可知，当0k 时，显然有0AMBMkk；当0k 时，直线O
13、M的方程为1yxk，点(2,2)Mk 联立直线AB与C的方程得2240 xpkxp，224160p kp，所以122xxpk，1 24x xp，3分 因为直线AM，AB，BM的斜率成等差数列，所以121222222yykxkxk 即121244222kxkxkxkxk，122112(4)(2)(4)(2)2(2)(2)kxxkkxxkkxk xk，化简得2122(2)(4)0kxxk 5分 将122xxpk代入上式得22(2)(24)0kpkk，则2p，所以曲线C的方程为24xy 8分（2）（法一）设直线:lykxn，联立C的方程，得2440 xkxn 由0，得2nk，点2(2,)Nk k，1
14、0 分 设AB的中点为E，因为1222xxk，21212()42222yyk xxk，则点2(2,22)Ekk 12 分 因为222222kk，所以点M，N，E三点共线，且点N为ME的中点，所以AMN面积为ABM面积的14 14 分 记AMN的面积为S，点(2,2)Mk 到直线AB：20kxy的距离22241kdk，所以322222121 2211(24)|1()4(2)2 2881kSABdkxxx xkk，当0k 时，等号成立 所以命题得证 17 分 数学试题参考答案及评分标准 第 6 页 共 7 页（法二）设直线:lykxn，联立C的方程，得2440 xkxn 由0，得2nk，则点2(2
15、,)Nk k 所以直线MN与x轴垂直 12 分 记AMN的面积为S，所以121|22xxSMN2121 21|()44MNxxx x 14 分 221|2|(4)4(8)2kk 322(2)2 2k 当0k 时，等号成立 所以命题得证 17 分 19（17 分）无穷数列1a，2a，na，的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以 2，直到得出一个奇数，这个奇数就是na；如果n是奇数，就对31n 尽可能多次地除以 2，直到得出一个奇数，这个奇数就是na（1）写出这个数列的前 7 项；（2）如果nam且man，求m，n的值；（3）记()naf n，*nN，求一个正整数n，满足()()nf n
16、f f n2024()ff ff n个 解：（1）11a，21a，35a，41a，51a，63a，711a 3 分（2）由已知，m，n均为奇数，不妨设nm 当1n 时，因为11a，所以1m，故1mn；5 分 当1n 时，因为314nnm，而n为奇数，nam，所以312nm 6 分 又m为奇数，man，所以存在*k N，使得312kmn为奇数 所以3(31)95231122knnnm 而95462nnn，所以426knnn，即426k，*k N，无解 7 分 所以1mn 8 分（3）显然，n不能为偶数，否则()2nf nn，不满足()nf n 所以，n为正奇数 又1(1)1fa，所以3n 10 分 设41nk或41nk，*k N 数学试题参考答案及评分标准 第 7 页 共 7 页 当41nk时，3(41)1()31414kf nkkn ，不满足()nf n；12 分 当41nk时，3(41)1()61412kf nkkn ，即()nf n 14 分 所以，取202521nk，*k N时，202520242024220233(21)13(3 21)1()3 21()32122kknf nk
