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1、(六)函数、导数与不等式专练1设函数f(x)2ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)如果对所有的x1,都有f(x)ax,求a的取值范围2已知函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线与x轴平行(1)求实数a的值及f(x)的极值;(2)若对任意x1,x2e2,),有,求实数k的取值范围3设函数f(x)ln x,mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数4已知函数f(x)(2a)(x1)2ln x,g(x)(aR,e为自然对数的底数)(1)当a1时,求f(x)的单调区间;(2)若对任意给定的x0(0,e,在(0,e上总存在两
2、个不同的xi(i1,2),使得f(xi)g(x0)成立,求a的取值范围答 案1解:(1)f(x)的定义域为(0,),f(x),所以当0x时,f(x)时,f(x)0,故函数f(x)在上单调递减,在上单调递增(2)当x1时,f(x)axa,令h(x)(x1),则h(x),令m(x)xxln x1(x1),则m(x)ln x,当x1时,m(x)0,所以m(x)在1,)上为减函数,所以m(x)m(1)0,因此h(x)0,于是h(x)在1,)上为减函数,所以当x1时,h(x)有最大值h(1)1,故a1,即a的取值范围是1,)2解:(1)由题意得f(x),f(1)0,解得a1.令f(x)0,解得x1,即f
3、(x)有极大值为f(1)1.(2)由,可得k,令gf(x),则g(x)xxln x,其中x(0,e2,g(x)ln x,又x(0,e2,则g(x)ln x2,即2,因此实数k的取值范围是(,23解:(1)由题设,当me时,f(x)ln x,则f(x),当x(0,e)时,f(x)0,f(x)在(e,)上单调递增,当xe时,f(x)取得极小值f(e)ln e2,f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0),令g(x)0,得mx3x(x0)设(x)x3x(x0),则(x)x21(x1)(x1),当x(0,1)时,(x)0,(x)在(0,1)上单调递增;当x(1,)时,(x)时,函数g(
4、x)无零点;当m时,函数g(x)有且只有一个零点;当0m时,函数g(x)无零点;当m或m0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0m时,函数g(x)有两个零点4解:(1)当a1时,f(x)x12ln x,f(x)1,定义域为(0,)由f(x)0,解得0x0,解得x2.故f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,)(2)g(x)(1x)e1x,当x(0,1)时,g(x)0,函数g(x)单调递增;当x(1,e时,g(x)0,所以函数g(x)在(0,e上的值域为(0,1当a2时,不合题意;当a2时,f(x)2a,x(0,e,故0e,a0,函数h(a)单调递增;当a(0,2)时,h(a)0,函数h(a)单调递减所以,对任意a,有h(a)h(0)0,即对任意a恒成立由式解得a2.综合可知,当a时,对任意给定的x0(0,e,在(0,e上总存在两个不同的xi(i1,2),使得f(xi)g(x0)成立