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1、(五)直线与圆锥曲线专练1过点Q(2,)作圆O:x2y2r2(r0)的切线,切点为D,且|QD|4.(1)求r的值;(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆O的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,设,求|的最小值(O为坐标原点)2如图,F是椭圆1(ab0)的右焦点,O是坐标原点,|OF|,过F作OF的垂线交椭圆于P0,Q0两点,OP0Q0的面积为.(1)求该椭圆的标准方程;(2)若过点M(,0)的直线l与上、下半椭圆分别交于点P,Q,且|PM|2|MQ|,求直线l的方程3已知点A(4,0),直线l:x1与x轴交于点B,动点M到A,B两点的距离之比为2.(1)求点M的轨迹C的方
2、程;(2)设C与x轴交于E,F两点,P是直线l上一点,且点P不在C上,直线PE,PF分别与C交于另一点S,T,证明:A,S,T三点共线4(2016四川高考)已知椭圆E:1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得|PT|2|PA|PB|,并求的值答 案1解:(1)由题可知,圆O的圆心为(0,0),半径为r.过点Q(2,)作圆O:x2y2r2(r0)的切线,切点为D,且|QD|4,r|OD|3
3、.(2)设直线l的方程为1(a0,b0),即bxayab0,则A(a,0),B(0,b),(a,b),|.直线l与圆O相切,3,3ab,6,|6,当且仅当ab3时,等号成立|的最小值为6.2解:(1)由题设条件,|P0F|.易知|P0F|, 从而.又c|OF|,即a2b25,因此a2a50,解得a3或a,又a0,故a3,从而b2.故所求椭圆的标准方程为1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意y10,y20,并可设直线l:xty,代入椭圆方程得1,即(4t29)y28ty160.从而y1y2,y1y2.又由|PM|2|MQ|,得2,即y12y2.因此y1y2y2,y1y22y,故2
4、,可解得t2.注意到y2且y20,因此t.故满足题意的直线l的方程为xy,即为2xy20.3解:(1)设点M(x,y),依题意,2,化简得x2y24,即轨迹C的方程为x2y24.(2)证明:由(1)知曲线C的方程为x2y24,令y0得x2,不妨设E(2,0),F(2,0),如图设P(1,y0),S(x1,y1),T(x2,y2),则直线PE的方程为yy0(x2),由得(y1)x24yx4y40,所以2x1,即x1,y1.直线PF的方程为y(x2),由得(y9)x24yx4y360,所以2x2,即x2,y2.所以kAS,kAT,所以kASkAT,所以A,S,T三点共线4解:(1)由已知,ab,则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x182b20.由题意24(b23)0,得b23,则直线l与椭圆E的交点坐标为(2,1)所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2,1)(2)证明:由已知可设直线l的方程为yxm(m0),由方程组可得所以P点坐标为,|PT|2m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)由方程组可得3x24mx4m2120.由16(92m2)0,解得m.则由根与系数的关系得x1x2,x1x2.所以|PA| ,同理|PB|.所以|PA|PB|m2.故存在常数,使得|PT|2|PA|PB|.