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1、2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“x2+5x60”是“x2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.设函数f(x)=x2+1,x12x,x1，则f(f(3)=()A. 139B. 3C. 23D. 153.我国北宋时期科技史上的杰作梦溪笔淡收录了计算扇形弧长的近似计算公式：lAB=弦+2矢2径，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径.如图，已
2、知扇形的面积为43，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为()A. 3+2 B. 3 3+22C. 4 3+12 D. 2 3+14.已知zC，若|z(3+4i)|=5，则|z|=()A. 1B. 2C. 3D. 45.ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AC|，则向量CA在向量CB上的投影向量为()A. 14CBB. 34CBC. 14CBD. 34CB6.如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间7,3上是()A. 增函数且最小值为5B. 增函数且最大值为5C. 减函数且最小值为5D. 减函数且最大值为57.如图所
3、示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，棱柱的侧面均为矩形，AA1=1，AB=BC= 3，cosABC=13，P是A1B上的一动点，则AP+PC1的最小值为()A. 3B. 2C. 5D. 78.在ABC中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲：acosA=bcosB；乙：a2tanB=b2tanA；丙：acosB=bcosA；丁：ab=ccosBccosA.判断结果与其它三个不一样的是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张
4、卡片都为红色”互斥而不对立的事件有()A. 2张卡片不全为红色B. 2张卡片恰有一张红色C. 2张卡片至少有一张红色D. 2张卡片都为绿色10.已知甲组数据为：1，1，3，3，5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是()A. 这两组数据的第80百分位数相等B. 这两组数据的极差相等C. 这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变D. 甲组数据比乙组数据分散11.在OAB中，点P1，P2，Pn1分别是AB上的n等分点，其中nN，n4，则()A. OPn3OPn2=OPn2OPn1B. 2OPn2=OPn3+OPn1C. OPn1=1n+1OA+nn+
5、1OBD. 2|OP1+OP2+OPn1|=(n1)|OA+OB|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某乡镇有居民20000户，从中随机抽取200户调查是否安装宽带网线，调查结果如表所示，则该乡镇已安装宽带网线的居民大约有_户. 网线动迁户原住户已安装6530未安装406513.若a0，b0，且(4a1)(b1)=4，则4a+b的最小值为_14.如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE，连接A1C.若当三棱锥A1CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1CDE外接球的体积为8 23，则a=_四、解答题：本题共5小题，共77分。
6、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)已知|a|=1，|b|= 3，a+b=( 3,1)，求：(1)|ab|；(2)a+b与ab的夹角16.(本小题15分)已知函数f(x)=cosx(2 3sinx+cosx)sin2x(1)求函数f(x)单调递增区间和最小正周期；(2)请选择和中的一个条件，补全下面的问题并求解，其中有解；恒成立问题：若当x0,2时，关于x的不等式f(x)m_，求实数m的取值范围17.(本小题15分)已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135，256，345等) 现要从甲乙两名同学中，选出
7、一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛(1)由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来(2)这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由18.(本小题15分)如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为梯形，CD/AB，ABBC，PAPD，BC=CD=PA=PD=1，AB=2，平面PAD平面PBC(1)若PB的中点为N，求证：CN/平面PAD；(2)求二面角PADB的正弦值19.(本小题17分)n个有次序的实数a1
8、，a2，an所组成的有序数组(a1,a2,an)称为一个n维向量，其中ai(i=1,2,n)称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量a=(a1,a2,an)，若|ai|=1，i=1，2n，称a为n维信号向量.设a=(a1,a2,an)，b=(b1,b2,bn)，则a和b的内积定义为ab=i=1naibi=a1b1+a2b2+anbn，且abab=0(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量x1，x2，xk满足它们的前m个分量都是相同的，求证： kmP(B).故选取规则对甲、乙两名学生不公平18.解：(
9、1)证明：设T是PA中点，连接TN、TD， 在ABP中，TN为中线，TN/AB且TN=12AB，又CD/AB且CD=12AB，TN/CD且TN=CD，四边形CDTN为平行四边形，CN/DT且CN=DT又CN平面PAD，DT平面PAD，CN/平面PAD (2)如图以AD中点作为坐标原点，建立空间直角坐标系，设二面角角PADB的大小为，则OP=(0, 22cos, 22sin)， 设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),1 2DA=(1,0,0), 2OP=(0,cos,sin)，1 2DAn1=x1=0, 2OPn1=y1cos+z1sin=0，令y1=sin，z1=cos，所以n1=
10、(0,sin,cos)设平面PBC的法向量为n2=(x2,y2,z2), 2CB=(1,1,0), 2BP=(1,cos2,sin)， 2CBn2=x2+y2=0, 2BPn2=x2+y2(cos2)+z2sin=0，令y2=1，则x2=1,z2=3cossin，所以n2=(1,1,3cossin)平面PAD平面PBC，所以n1n2=sincos3cossin=0，cos=13，sin=2 2319.解：(1)依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为：(1,1,1,1)，(1,1,1,1)，(1,1,1,1)，(1,1,1,1)(2)证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量y1,y2,y14，因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，所以不妨设y1=(1,1,1),y2=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)，因为y1y3=0，所以y3有7个分量为1，设y3的前7
