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1、2023-2024学年四川省眉山市仁寿县三校联考高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数(1i)2的虚部为()A. 2B. 2C. 2iD. 2i2.已知向量a=(2m,1),b=(1,3)，若ab，则实数m=()A. 23B. 23C. 32D. 323.甲、乙两位同学去参加某高校科研项目面试.已知他们通过面试的概率都是45，且两人的面试结果相互之间没有影响，则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为()A. 425B. 45C. 2425D. 8254.已知A，B，C，D四点在平面内，且任意三点都不共线，点P
2、在外，且满足AP+BP3CP+zDP=0，则z=()A. 0B. 1C. 2D. 35.在ABC中，点E为ABC的重心，则EC=()A. 13AB23ACB. 13AB+23ACC. 13AB23ACD. 13AB+23AC6.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断错误的是()A. 若m，n，mn=A，m/，n/，则/B. 若m，n/，则mnC. 若m/，n，则m/nD. 若，=m，n，mn，则n7.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB= 2，AD= 2，AA1=2 2，且A1AD=A1AB=60，则线段AC1的长为()A. 2 6B. 2 5C
3、. 26D. 3 38.一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79，则红球的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题为真命题的是()A. 若z1，z2为共扼复数，则z1z2为实数B. 若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=iC. 复数2i在复平面内对应的点在第三象限D. 若复数z1、z2满足|z1|=|z2|，则z1=z210.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷的点数之和是4”，B表示
4、事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”D表示事件“至少出现一个奇数点”，则()A. A与C互斥B. P(D)=34C. P(BD)=14D. B与C相互独立11.已知函数f(x)=2cos(x+)+1(0,0)的部分图象如图所示，则()A. =2B. =6C. f(x)在43,53上单调递增D. f(x+6)的图象关于直线x=4对称12.已知在等边ABC中，AB=2，D为AC的中点，E为BD的中点，延长CE交AB于点F，则()A. AE=12AB+14ACB. AF=2FBC. BEAC=32D. SDEC=2SBEF三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1
5、3.用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是_人.14.已知平面向量e1,e2不共线，且AB=2e1+ke2,CB=3e1+2ke2,CD=e1+e2，若A，B，D 三点共线，则k= _15.四种电子元件组成的电路如图所示，T1，T2，T3，T4电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6，则该电路正常工作的概率为_ 16.在如图所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，BAD=DAA1=60，BAA1=30，N为A1D1上一点，且A1N=A1D1.若BDAN，则的值为_四、
6、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图.其中等餐所需时间的范围是0,120，样本数据分组为0,20)，20,40)，40,60)，60,80)，80,100)，100,120(1)求频率分布直方图中x的值(2)利用频率分布直方图估计样本的平均数.(每组数据以该组数据所在区间的中点值作代表)18.(本小题12分)一枚质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4，将该正四面体连续抛掷2次，记录每一次底面的数字(1)求两次数字之和为7
7、的事件的概率；(2)两次数字之和为多少的事件概率最大？并求此事件的概率19.(本小题12分)如图所示，四面体OABC中，G，H分别是ABC，OBC的重心，设OA=a，OB=b，OC=c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点(1)试用向量a，b，c表示向量MN，OG；(2)试用空间向量的方法证明M、N、G、H四点共面20.(本小题12分)甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；(2)求“
8、九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率21.(本小题12分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，侧面PAB是边长为1的等边三角形，底面ABCD是正方形，M是侧棱PB上的点，N是底面对角线AC上的点，且PM=2MB，AN=2NC(1)求证：ADPB；(2)求证：MN/平面PAD；(3)求点N到平面PAD的距离22.(本小题12分)已知向量m=(cosx,sinx)，n=(sinx, 3sinx)，函数f(x)=2mn 3(1)求f(x)的最小正周期T；(2)当0x时，求f(x)的零点和单调递增区间参考答案1.A2.C3.D4.B5.B6.C7.B8.A9.AC10.BCD11
9、.ABD12.AB13.180014.115.0.878416. 3117.解：(1)由频率分布直方图可得，(0.02+x+0.008+0.004+0.002+0.002)20=1，解得x=0.014；(2)由频率分布直方图可得，平均数为：0.0022010+0.0042030+0.0142050+0.022070+0.0082090+0.00220110=63.618.解：(1)由题意，2次所得数字(a,b)，且a，b分别表示第一次、第二次的对应数字，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，
10、(4,3)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，共16种；其中两次数字之和为7的事件有(3,4)，(4,3)，共2种；所以两次数字之和为7的事件的概率为18(2)由(1)，数字之和为X=2，3，4，5，6，7，8，X=2有(1,1)，概率为116；X=3有(1,2)，(2,1)，概率为18；X=4有(1,3)，(3,1)，(2,2)，概率为316；X=5有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，概率为14；X=6有(2,4)，(4,2)，(3,3)，概率为316；X=7有(3,4)，(4,3)，概率为18；X=8有(4,4)，概率为116；所以两次数字之和为5的事件概率最大
11、，概率为1419.解：(1)在OBC中，M，N分别AB，OB的中点，MN/OA，且|MN|=12|OA|，又OA=a，MN=12a，在ABC中，G是ABC的中心，D是BC的中点，由平行四边形法则可得AG=2312(AB+AC)=13(AB+AC)，OA=a，OB=b，OC=c，AB=OBOA=ba，AC=OCOA=ca，又OG=OA+AG=a+13(ba+ca)=13a+13b+13c，故MN=12a，OG=13a+13b+13c；(2)证明：由(1)得MN=12a，G，H分别是ABC，OBC的重心，AGGD=12，OHHD=12，DHOD=DGDA=13，又GDH=ADO，AODGHD，GH
12、/OA，且GHOA=13，GH=13a，MN=32GH，MN/GH，M、N、G、H四点共面20.解：(1)因为甲每轮猜对的概率为23，所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率P=1(123)2=89；(2)“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词，包括两轮比赛中甲猜对2个，乙猜对一个，和甲猜对1个，乙猜对2个，所以所求概率为P=(23)2234(134)+223(123)(34)2=51221.解：(1)证明：因为侧面PAB底面ABCD，且侧面PAB底面ABCD=AB，ADAB，AD面ABCD，所以AD面PAB，因为PB面PAB，所以ADPB(2)证明：过M作MS/BA交PA于点S，过点N作NT/C
13、D交AD于点T，连接ST，因为PM=2MB，所以MS=23BA，同理可得NT=23CD=23BA，所以MS/NT，MS=NT，所以四边形MNTS是平行四边形，所以MN/ST，又ST面PAD，MN面PAD，所以MN/面PAD(3)由(2)知MN/面PAD，所以点M到平面PAD的距离是点N到平面PAD的距离，在平面PAB内过点M作MHPA于H，因为AD面PAB，所以ADMH，所以MH面PAD，所以MH是点M到平面PAD的距离，在RtPMH中，PM=2，MPH=3，所以MH= 3，所以点N到平面PAD的距离为 322.解：(1)m=(cosx,sinx)，n=(sinx, 3sinx)，f(x)=2mn 3=2sinxcosx+2 3sin2x 3=sin2x+ 3(1cos2x) 3=sin2x 3cos2x=2sin(2x3)，故f(x)的最小正周期为T=22=(2)令f(x)=2sin(2x3)=0，即2x3=k，kZ，解得x=k2+6，kZ，0x，f(x)的零点为6和23，令2k22x32k+2，kZ，解得k12xk+512，kZ，0x，f(x)的单调递增区间为0,512，1112,第9页，共9页
