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1、2023-2024学年福建省福州市多校联考高二(下)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知A=x|2x1,B=x|x2+x20,则AB=()A. x|x2B. x|x2C. x|0x1D. x|0x12.若复数z满足z+i=2i(zi),则|z|=()A. 1B. 2C. 3D. 23.已知向量a=(3,4),|b|= 3,且a与b的夹角=6,则|ab|=()A. 10B. 10C. 13D. 134.圆台的上底面面积为,下底面面积为9,母线长为4,则圆台的侧面积为()A. 10B. 20C. 8D. 165.某次知
2、识竞赛共有12人参赛,比赛分为红、黄两队,每队由六人组成.其中红队6人答对题目的平均数为3,方差为5,黄队6人答对题目的平均数为5,方差为3,则参加比赛的12人答对题目的方差为()A. 5B. 4.5C. 3.5D. 186.已知为锐角,且cos(+6)=35,则sin=()A. 3+110B. 2 35C. 2 3110D. 4 33107.命题p:0a0,a1)在(,3)上单调,则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.设函数f(x)=sin(x+3)在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是()A. 53,136)B.
3、53,196)C. (136,83D. (136,196二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.若向量a=(m,n)(m,nR),b=(1,2),则以下说法正确的是()A. a/b1m=2nB. abm+2n=0C. 若m0,n=0,则cosa,b= 55D. 若a=(2,1),则b在a方向上的投影向量的坐标为(85,45)10.已知正数a,b满足a+5b=ab,则()A. 1a+5b=1B. a与b可能相等C. ab6D. a+b的最小值为6+2 511.如图,棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,F为正方形C1CDD1内一
4、个动点(包括边界),且B1F/平面A1BE,则下列说法正确的有()A. 动点F轨迹的长度为 2B. 三棱锥B1D1EF体积的最小值为13C. B1F与A1B不可能垂直D. 当三棱锥B1D1DF的体积最大时,其外接球的表面积为25三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.若角满足tan=2,则sin()+cos(32+)sin(2)cos()= _13.某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查.他们从36岁,712岁,1315岁,1618岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、x份.因调查需要,现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量
5、为300的样本.若在712岁年龄段的问卷中抽取了60份,则应在1618岁年龄段的问卷中抽取的份数为_14.已知f(x),g(x)是定义域为R的函数,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,满足f(x)+g(x)=ax2+x+2,若对任意的1x1x23成立,则实数a的取值范围是_四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)设a为常数,函数f(x)=asin2x+cos(22x)+1(xR)(1)设a= 3,求函数y=f(x)的严格增区间;(2)若函数y=f(x)为偶函数,求此函数在4,4上的值域16.(本小题15分)如图,在四棱锥PABCD中,
6、底面ABCD是菱形,BAD=120,AB=2,ACBD=O,PO底面ABCD,点E在棱PD上(1)求证:AC平面PBD;(2)若OP=2,点E为PD的中点,求二面角PACE的余弦值17.(本小题15分)2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周,本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”,为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计将成绩进行整理后,分为五组(50x60,60x70,70x80,80x0,都有|f(x)|M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界,最小的M称为
7、函数f(x)的上确界(1)求函数f(x)=|sinx|+sinx的上确界;(2)已知函数f(x)=1lnx+x+lnx+x4,x(23,2),证明:2为函数f(x)的一个上界;(3)已知函数f(x)=4x+2x2x,x0,+),若3为f(x)的上界,求实数的取值范围参考数据:ln20.69,ln31.10参考答案1.B2.A3.C4.D5.A6.D7.A8.C9.BCD10.BD11.AB12.213.120份14.34,+)15.解:(1)当a= 3时,函数f(x)= 3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+6)+1,令2k22x+62k+2,kZ,得k3xk+6,kZ所以此函数的单调
8、递增区间为k3,k+6,kZ;(2)由题意,得函数f(x)的定义域为R,因为函数y=f(x)为偶函数,所以对于任意xR,均有f(x)=f(x)成立,即asin(2x)+cos(2x)+1=asin2x+cos2x+1,即2asin2x=0对于任意实数x均成立,只有当a=0时成立,此时f(x)=cos2x+1因为0cos2x1,所以11+cos2x2,故此函数的值域为1,216.解:(1)证明:因为PO平面ABCD,AC平面ABCD,所以POAC,因为ABCD为菱形,所以ACBD,又BDPO=O,BD平面PBD,PO平面PBD,所以AC平面PBD(2)如图,连接OE,则OE平面ACE, 由AC平
9、面PBD,OE平面PBD,OP平面PBD,得ACOE,ACOP,故POE即为二面角PACE的平面角,在菱形ABCD中,AB=AD=2,BAD=120,所以BD=2 3,OD= 3,又PO=2,所以PB=PD= 22+( 3)2= 7,由点E为PD的中点,得OE=12PD= 72,PE=12PD= 72,所以POE为等腰三角形,在POE内过点E作高,垂足为H,则HO=1,所以cosPOE=cosHOE=HOOE=1 72=2 77,即二面角PACE的余弦值为2 7717.解:(1)由题意知,所以0.0162=0.008a,解得a=0.032,又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)
10、10=1,解得b=0.004所以a=0.032,b=0.004;(2)成绩落在50,70)内的频率为:0.16+0.32=0.48,落在50,80)内的频率为:0.16+0.32+0.40=0.88,设第80百分位数为m,则(m70)0.04=0.80.48,解得m=78,所以晋级分数线划为78分合理;(3)x=90,故x1+x2+x3+x10=1090=900,又s2=110(x12+x22+x102)902=62,x12+x22+x102=81360,剔除其中的95和85两个分数,设剩余8个数为x1,x2,x3,x8,平均数与标准差分别为x0,s0,则剩余8个分数的平均数:x0=x1+x2
11、+x3+x88=90095858=90,方差:s02=18(x12+x22+x82)902=18(81360952852)902=38.7518.解:(1)ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bac=sinCsinAsinB+sinA由正弦定理得bac=cab+a,所以a2+c2b2=ac,由余弦定理得cosB=a2+c2b22ac=ac2ac=12,又B(0,),所以B=3;(2)ABC为锐角三角形,AC=2,D是线段AC的中点,因为a2+c2b2=ac,所以a2+c2=ac+4又BD=12(BA+BC),所以BD2=12(BA+BC)2=14(a2+c2+ac)=1+12ac
12、,由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2sin3=4 33,所以a=4 33sinA,c=4 33sinC,所以ac=4 33sinA4 33sinC=163sinAsin(A+3)=83sin(2A6)+43,又ABC为锐角三角形,所以0A2023A2,解得6A2,所以62A656,所以ac(83,4,所以BD2(73,3,所以BD( 213, 3,即BD的长的取值范围是( 213, 319.解:(1)依题意f(x)=2sinx,2kx+2k0,+2kx2+2k,故f(x)0,2,|f(x)|2,故f(x)=|sinx|+sinx的上确界为2;(2)证明:令lnx+x=t(ln23+23,2+ln2),故原函数化为g(t)=t+1t4,由对勾函数性质可知,g(t)在t(ln23+23,1)上单调递减,在t(1,ln2+2)上单调递增,且g(1)=2,2g(ln2+2)0,0g(ln23+23)=ln23+23+1ln23+2342(借助参考数据可得),故|g(t)|2,故2为函数f(x)的一个上界;(3)依题意,|f(x)|3在0,+)上恒成立,即3f(x)3对x0,+)恒成立,令t=12x(0,1,故(t+4t)2tt对t(