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1、2023-2024学年湖南省邵阳市邵东县高一(下)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z=21i+i,则|z|=()A. 1B. 2C. 3D. 52.某校高一学生550人,高二学生500人,高三学生450人,现有分层抽样,在高三抽取了18人,则高二应抽取的人数为()A. 24B. 22C. 20D. 183.已知向量a,b满足ab=10,且b=(3,4),则a在b上的投影向量为()A. (6,8)B. (6,8)C. (65,85)D. (65,85)4.已知、是三个不同的平面,l、m、n是三条不同的直
2、线,则()A. 若m/,n/,则m/nB. 若=m,=n,/,则m/nC. 若m,n,ln,则l/mD. 若=l,且m/l,则m/5.如表是足球世界杯连续八届的进球总数,则进球总数的第一四分位数是() 年份19941998200220062010201420182022进球总数141171161147145171169172A. 145B. 146C. 147D. 1666.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四面体两次,并记录每次正四面体朝下的面上的数字记事件A为“两次记录的数字和为奇数”,事件B为“两次记录的数字和大于4”,事件C为“第一次记录的数字为
3、奇数”,事件D为“第二次记录的数字为偶数”,则()A. A与D互斥B. C与D对立C. A与B相互独立D. A与C相互独立7.点O,G,P为ABC所在平面内的点,且有|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2,GA+GB+GC=0,(PA+PB)AB=(PB+PC)BC=(PC+PA)CA=0,则点O,G,P分别为ABC的()A. 垂心,重心,外心B. 垂心,重心,内心C. 外心,重心,垂心D. 外心,垂心,重心8.在三棱锥PABC中,AB=AC=2 2,BAC=120,PB=PC=2 6,PA=2 5,则该三棱锥的外接球的表面积为()A. 40B. 20C. 80
4、D. 60二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.某校举办数学文化节活动,10名教师组成评委小组,给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名选手的打分如下:45484652474943514745 则下列结论正确的为()A. 平均数为48B. 极差为9C. 中位数为47D. 第75百分位数为5110.已知ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,O为ABC的外心,b=4,c=5,ABC的面积S满足(b+c)2a2=4 3S.若AO=AB+AC,则下列结论正确的是()A. A=3B. S=10 3C. AOBC=92D. +=132011.
5、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点P为线段AA1上的一动点,则()A. 三棱锥B1PBC1的体积为定值43B. 当A1P=PA时,直线PC1与平面BB1C1C所成角的正切值为 52C. 直线PB与直线AC所成角的余弦值可能为58D. (BP+DP+2PC1)2的最小值为(64+32 2)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知向量a=(2,1),b=(1,),若(a+2b)/(2ab),则实数=_13.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如8=3+5,在不超过11的素数中,随机选取两个不同的数,其和为偶数的概率是_(用分数表示)14.
6、九章算术商功中描述几何体“阳马”为底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥.现有阳马PABCD,如图,PA平面ABCD,PA=AB=1,AD=3,点E,F分别在线段AB,BC上,则当空间四边形PEFD的周长最小时,直线PA与平面PFD所成角的正切值为_四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a=(sinx,1),b=(1,sin(3x),f(x)=ab(1)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期;(2)若当x0,4时,关于x的不等式2f(x)1m有解,求实数m的取值范围16.(本小题15分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,直线C
7、1B平面ABC,平面AA1C1C平面BB1C1C. (1)求证:ACBB1;(2)若AC=BC=BC1=2,在棱A1B1上是否存在一点P,使得四棱锥PBCC1B1的体积为43?若存在,指出点P的位置;若不存在,请说明理由17.(本小题15分)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况,对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间(单位:小时),得到样本数据,并绘制如图所示的频率分布直方图(1)求频率分布直方图中a的值;(2)根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间t;(每组数据用该组的区间中点值作代表) (3)将(2)所得到的日平均阅读时间t保留
8、为整数,并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差218.(本小题17分)如图所示,长方形ABCD中,AD=1,AB=2,点M是边CD的中点,将ADM沿AM翻折到PAM,连接PB,PC,得到图的四棱锥PABCM (1)求四棱锥PABCM的体积的最大值;(2)若棱PB的中点为N,求CN的长19.(本小题17分)若函数f(x)在xa,b时,函数值y的取值区间恰为1b,1a,就称区间a,b为f(x)的一个“倒域区间”.已知定义在2,2上的奇函数g(x),当x0,2时,g(x)=x2+2x(1)求g(x)的解析式;(2)求函数g(x)在1,2内的“倒域区间”;(3)求函数g(x)在定义域内的所有
9、“倒域区间”参考答案1.D2.C3.C4.B5.B6.D7.A8.A9.BC10.ACD11.ACD12.1213.3514.3 5515.解:(1)因为f(x)=ab=sinx+sin(3x)=12sinx+ 32cosx=sin(x+3),所以函数f(x)的最小正周期T=2;因为函数y=sinx的单调增区间为2+2k,2+2k,kZ,所以2+2kx+32+2k,kZ,解得56+2kx6+2k,kZ,所以函数f(x)的单调增区间为56+2k,6+2k,kZ;(2)不等式2f(x)1m有解,即m+12f(x)min;因为x0,4,所以3x+3712,又sin712=sin512sin3,故当x
10、+3=3,即x=0时,f(x)取得最小值,且最小值为f(0)= 32,所以m 3116.解:(1)证明:过点B作BDCC1,垂足为D, 因为平面AA1C1C平面BB1C1C,平面AA1C1C平面BB1C1C=CC1,BD平面BB1C1C,所以BD平面AA1C1C,又因为AC平面AA1C1C,所以BDAC,又因为C1B平面ABC,AC平面ABC,所以C1BAC,又BDC1B=B,BD,C1B平面BB1C1C,所以AC平面BB1C1C,又BB1平面BB1C1C,所以ACBB1(2)当点P为A1B1中点时,四棱锥PBCC1B1的体积为43,理由如下: 过点P作PQ/B1C1,交A1C1于点Q,因为C
11、1B平面ABC,BC平面ABC,所以C1BBC,又BC=BC1=2,所以CC1=2 2,由(1)可知,BDCC1,所以SBCC1=12CC1BD=12BCBC1,即122 2BD=1222,所以BD= 2,设点P到平面BB1C1C的距离为,则VPBCC1B1=13CC1BD=132 2 2=43,所以=1,即P到平面BB1C1C的距离为1,在三棱柱ABCA1B1C1中,AC/A1C1,AC=A1C1 由(1)可知,AC平面BB1C1C,所以A1C1平面BB1C1C,又AC=2,所以A1C1=2,又PQ/B1C1,PQ平面BB1C1C,B1C1平面BB1C1C,所以PQ/平面BB1C1C,所以Q
12、到平面BB1C1C的距离为1,即QC1=1,故Q为A1C1中点,所以P为A1B1中点时,四棱锥PBCC1B1的体积为4317.解:(1)由概率和为1得:2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.1;(2)由题意知,t为全校师生日平均阅读时间,则t=0.041+0.063+0.15+0.17+0.39+0.211+0.113+0.0815+0.0217=9.16,所以全校师生日平均阅读时间为9.16小时;(3)将t保留整数则t9,由方差的定义可得:2=0.04(19)2+0.06(39)2+0.1(59)2+0.1(79)2+0.3
13、(99)2+0.2(119)2+0.1(139)2+0.08(159)2+0.02(179)2=13.28,所以估算师生日平均阅读时间的方差为13.2818.解:(1)取AM的中点G,连接PG,因为PA=PM,则PGAM,当平面PAM平面ABCM时,P点到平面ABCM的距离最大,四棱锥PABCM的体积取得最大值,此时PG平面ABCM,且PG=12AM= 22,底面ABCM为梯形,面积为(1+2)112=32,则四棱锥PABCM的体积最大值为1332 22= 24; (2)取AP中点Q,连接NQ,MQ,则因为N为PB中点,所以NQ为PAB的中位线,所以NQ/AB且NQ=12AB,因为M为CD的中
14、点,四边形ABCD为矩形,所以CM/AB且CM=12AB,所以CM/NQ且CM=NQ,故四边形CNQM为平行四边形,所以CN=MQ= (12)2+12= 52;19.(1)解:当x2,0)时,则x(0,2,由奇函数的定义可得g(x)=g(x)=(x)2+2(x)=x2+2x,所以,g(x)=x2+2x,0x2x2+2x,2x0(2)解:设1ab2,因为函数g(x)在1,2上递减,且g(x)在a,b上的值域为1b,1a,所以,g(b)=b2+2b=1bg(a)=a2+2a=1a1ab2,解得a=1b=1+ 52,所以,函数g(x)在1,2内的“倒域区间”为1,1+ 52(3)解:g(x)在a,b时,函数值g(x)的取值区间恰