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1、2023-2024学年湖南省邵阳市邵东县高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z=21i+i，则|z|=()A. 1B. 2C. 3D. 52.某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为()A. 24B. 22C. 20D. 183.已知向量a，b满足ab=10，且b=(3,4)，则a在b上的投影向量为()A. (6,8)B. (6,8)C. (65,85)D. (65,85)4.已知、是三个不同的平面，l、m、n是三条不同的直
2、线，则()A. 若m/，n/，则m/nB. 若=m，=n，/，则m/nC. 若m，n，ln，则l/mD. 若=l，且m/l，则m/5.如表是足球世界杯连续八届的进球总数，则进球总数的第一四分位数是() 年份19941998200220062010201420182022进球总数141171161147145171169172A. 145B. 146C. 147D. 1666.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为
3、奇数”，事件D为“第二次记录的数字为偶数”，则()A. A与D互斥B. C与D对立C. A与B相互独立D. A与C相互独立7.点O，G，P为ABC所在平面内的点，且有|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2，GA+GB+GC=0，(PA+PB)AB=(PB+PC)BC=(PC+PA)CA=0，则点O，G，P分别为ABC的()A. 垂心，重心，外心B. 垂心，重心，内心C. 外心，重心，垂心D. 外心，垂心，重心8.在三棱锥PABC中，AB=AC=2 2，BAC=120，PB=PC=2 6，PA=2 5，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. 40B. 20C. 80
4、D. 60二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名选手的打分如下：45484652474943514745 则下列结论正确的为()A. 平均数为48B. 极差为9C. 中位数为47D. 第75百分位数为5110.已知ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为ABC的外心，b=4，c=5，ABC的面积S满足(b+c)2a2=4 3S.若AO=AB+AC，则下列结论正确的是()A. A=3B. S=10 3C. AOBC=92D. +=132011.
5、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，点P为线段AA1上的一动点，则()A. 三棱锥B1PBC1的体积为定值43B. 当A1P=PA时，直线PC1与平面BB1C1C所成角的正切值为 52C. 直线PB与直线AC所成角的余弦值可能为58D. (BP+DP+2PC1)2的最小值为(64+32 2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(2,1)，b=(1,)，若(a+2b)/(2ab)，则实数=_13.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8=3+5，在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是_(用分数表示)14.
6、九章算术商功中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥.现有阳马PABCD，如图，PA平面ABCD，PA=AB=1，AD=3，点E，F分别在线段AB，BC上，则当空间四边形PEFD的周长最小时，直线PA与平面PFD所成角的正切值为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a=(sinx,1)，b=(1,sin(3x)，f(x)=ab(1)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期；(2)若当x0,4时，关于x的不等式2f(x)1m有解，求实数m的取值范围16.(本小题15分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，直线C
7、1B平面ABC，平面AA1C1C平面BB1C1C. (1)求证：ACBB1；(2)若AC=BC=BC1=2，在棱A1B1上是否存在一点P，使得四棱锥PBCC1B1的体积为43？若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由17.(本小题15分)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况，对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间(单位：小时)，得到样本数据，并绘制如图所示的频率分布直方图(1)求频率分布直方图中a的值；(2)根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间t；(每组数据用该组的区间中点值作代表) (3)将(2)所得到的日平均阅读时间t保留
8、为整数，并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差218.(本小题17分)如图所示，长方形ABCD中，AD=1，AB=2，点M是边CD的中点，将ADM沿AM翻折到PAM，连接PB，PC，得到图的四棱锥PABCM (1)求四棱锥PABCM的体积的最大值；(2)若棱PB的中点为N，求CN的长19.(本小题17分)若函数f(x)在xa,b时，函数值y的取值区间恰为1b,1a，就称区间a,b为f(x)的一个“倒域区间”.已知定义在2,2上的奇函数g(x)，当x0,2时，g(x)=x2+2x(1)求g(x)的解析式；(2)求函数g(x)在1,2内的“倒域区间”；(3)求函数g(x)在定义域内的所有
9、“倒域区间”参考答案1.D2.C3.C4.B5.B6.D7.A8.A9.BC10.ACD11.ACD12.1213.3514.3 5515.解：(1)因为f(x)=ab=sinx+sin(3x)=12sinx+ 32cosx=sin(x+3)，所以函数f(x)的最小正周期T=2；因为函数y=sinx的单调增区间为2+2k,2+2k，kZ，所以2+2kx+32+2k，kZ，解得56+2kx6+2k，kZ，所以函数f(x)的单调增区间为56+2k,6+2k，kZ；(2)不等式2f(x)1m有解，即m+12f(x)min；因为x0,4，所以3x+3712，又sin712=sin512sin3，故当x
10、+3=3，即x=0时，f(x)取得最小值，且最小值为f(0)= 32，所以m 3116.解：(1)证明：过点B作BDCC1，垂足为D， 因为平面AA1C1C平面BB1C1C，平面AA1C1C平面BB1C1C=CC1，BD平面BB1C1C，所以BD平面AA1C1C，又因为AC平面AA1C1C，所以BDAC，又因为C1B平面ABC，AC平面ABC，所以C1BAC，又BDC1B=B，BD，C1B平面BB1C1C，所以AC平面BB1C1C，又BB1平面BB1C1C，所以ACBB1(2)当点P为A1B1中点时，四棱锥PBCC1B1的体积为43，理由如下： 过点P作PQ/B1C1，交A1C1于点Q，因为C
11、1B平面ABC，BC平面ABC，所以C1BBC，又BC=BC1=2，所以CC1=2 2，由(1)可知，BDCC1，所以SBCC1=12CC1BD=12BCBC1，即122 2BD=1222，所以BD= 2，设点P到平面BB1C1C的距离为，则VPBCC1B1=13CC1BD=132 2 2=43，所以=1，即P到平面BB1C1C的距离为1，在三棱柱ABCA1B1C1中，AC/A1C1，AC=A1C1 由(1)可知，AC平面BB1C1C，所以A1C1平面BB1C1C，又AC=2，所以A1C1=2，又PQ/B1C1，PQ平面BB1C1C，B1C1平面BB1C1C，所以PQ/平面BB1C1C，所以Q
12、到平面BB1C1C的距离为1，即QC1=1，故Q为A1C1中点，所以P为A1B1中点时，四棱锥PBCC1B1的体积为4317.解：(1)由概率和为1得：2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1，解得a=0.1；(2)由题意知，t为全校师生日平均阅读时间，则t=0.041+0.063+0.15+0.17+0.39+0.211+0.113+0.0815+0.0217=9.16，所以全校师生日平均阅读时间为9.16小时；(3)将t保留整数则t9，由方差的定义可得：2=0.04(19)2+0.06(39)2+0.1(59)2+0.1(79)2+0.3
13、(99)2+0.2(119)2+0.1(139)2+0.08(159)2+0.02(179)2=13.28，所以估算师生日平均阅读时间的方差为13.2818.解：(1)取AM的中点G，连接PG，因为PA=PM，则PGAM，当平面PAM平面ABCM时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥PABCM的体积取得最大值，此时PG平面ABCM，且PG=12AM= 22，底面ABCM为梯形，面积为(1+2)112=32，则四棱锥PABCM的体积最大值为1332 22= 24； (2)取AP中点Q，连接NQ，MQ，则因为N为PB中点，所以NQ为PAB的中位线，所以NQ/AB且NQ=12AB，因为M为CD的中
14、点，四边形ABCD为矩形，所以CM/AB且CM=12AB，所以CM/NQ且CM=NQ，故四边形CNQM为平行四边形，所以CN=MQ= (12)2+12= 52；19.(1)解：当x2,0)时，则x(0,2，由奇函数的定义可得g(x)=g(x)=(x)2+2(x)=x2+2x，所以，g(x)=x2+2x,0x2x2+2x,2x0(2)解：设1ab2，因为函数g(x)在1,2上递减，且g(x)在a,b上的值域为1b,1a，所以，g(b)=b2+2b=1bg(a)=a2+2a=1a1ab2，解得a=1b=1+ 52，所以，函数g(x)在1,2内的“倒域区间”为1,1+ 52(3)解：g(x)在a,b时，函数值g(x)的取值区间恰
