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1、天津市蓟州区擂鼓台中学2024届高三上学期开学考试数学试卷学校:_姓名:_班级:_考号:_一、选择题1已知全集,集合,则( )A.B.C.D.2已知,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3已知,则( )A.B.C.D.4曲线是造型中的精灵,以曲线为元素的给人简约而不简单的审美感受,某数学兴趣小组设计了如图所示的双J型曲线,以下4个函数中最能拟合该曲线的是( )A.B.C.D.5若,则下列不等式不恒成立的是( )A.B.C.D.6设是定义域为R的奇函数,且,若,则( )A.B.C.D.7甲、乙两人准备分别从历史、文学、哲学这类书中随机选择一本阅
2、读,且两人的选择结果互不影响记事件“甲选择历史书”,事件“甲和乙选择的书不同”,则( )A.B.C.D.8对两个变量x,y进行线性相关检验,得线性相关系数,对两个变量u,v进行线性相关检验,得线性相关系数,则下列判断正确的是( )A.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量x与y的线性相关性较强B.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量x与y的线性相关性较强C.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量u与v的线性相关性较强D.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量u与v的线性相关性较强9为研究某种细菌在特定环境下,随时间变化的繁殖情况,得到如下实验数据:天数x(天)3456繁殖个数y( 千
3、个)2.5344.5由最小二乘法得y与x的线性回归方程为,则当时,繁殖个数y的预测值为( )A.4.9B.5.25C.5.95D.6.1510已知函数(e为自然对数的底数,)有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题11函数的单调递增区间为_.12已知是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增,若实数满足,则实数a的取值范围是_.13在的展开式中,常数项为_请用数字作答14某品牌手机的电池使用寿命X(单位:年)服从正态分布.且使用寿命不少于1年的概率为0.9,使用寿命不少于9年的概率为0.1,则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为_.15已知袋中有4
4、个白球2个黑球,现从袋中任取2个球,则取出的2个球为同色球的概率为_.16函数的最小值为_.三、解答题17已知,.(I)求的值;(II)若,且,求的最小值.18已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)直线l为曲线的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.19甲、乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出3人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错或不答都得0分,已知甲队3人每人答对的概率分别为,乙队每人答对的概率都是,设每人回答正确与否相互之间没有影响,用X表示甲队总得分.(1)求的概率;(2)求甲队和乙队得分之和为4的概率.20已知是函数的一个极值点.(1)求a
5、;(2)求函数的单调区间;(3)若函数有3个零点,求b的取值范围.参考答案1答案:D解析:全集,集合,由补集定义可知:或,即.故选:D.2答案:B解析:因为;,所以,p推不出q,所以p是q的必要不充分条件.故选:B.3答案:C解析:因为在定义域内单调递增,则,所以,因为在定义域内单调递增,则,所以,因为在定义域内单调递减,则,所以,综上所述:.故选:C.4答案:A解析:由函数,其定义域为,关于原点对称,可得,所以函数为偶函数,所以排除B;由函数,可得,故排除C;由函数,当时,可得且,则,故排除D.由函数的定义域为,关于原点对称,且,所以为奇函数,图象关于原点对称,由时,可得,当时,单调递减;当
6、时,单调递增,且,所以A项符合题意.故选:A.5答案:C解析:对于A,由得恒成立;对于B,由可知恒成立;对于C,由于,故当时,不成立,所以C不恒成立;对于D,由得,所以恒成立.故选:C.6答案:A解析:是定义域为R的奇函数,是周期为2的周期函数,.故选:A.7答案:D解析:事件“甲选择历史书”,则,事件“甲和乙选择的书不同”,则事件“甲选择历史书,乙选择的是文学书或哲学书”,所以,所以.故选:D.8答案:C解析:因为线性相关系数,所以x,y正相关,因为线性相关系数,所以u,v负相关,又因为,所以变量u,v的线性相关性比x,y的线性相关性强,故选:C.9答案:B解析:由题意得:,样本点的中心的坐
7、标为,代入,得,解得.y关于x的线性回归方程为.取,得.故选:B.10答案:D解析:当时,所以,且,所以二次函数开口向下且在内抛物线与x轴只有一个交点,所以在内只有一个零点,当时,所以不是的零点,由已知得当时,有两个零点,由,得,令,即,由题意可得函数与有两个交点,又因为,所以当时,单调递减,当时,单调递增,所以,又因为函数与有两个交点,所以,所以a的取值范围为.故选:D.11答案:解析:函数的单调递增区间,即函数在的条件下,y的减区间.由二次函数的性质可得,在的条件下,y的减区间为,故答案为:.12答案:解析:因是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增,所以在区间上单调递减,且,由,在区间上
8、单调递增,故,由,在区间上单调递减,故,综上,.故答案为:.13答案:解析:二项式的展开式的通项为,令,解得,所以展开式的常数项为,故答案为:60.14答案:0.4解析:由题意知,正态分布曲线的对称轴为直线,因为,故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4.故答案为:0.4.15答案:解析:取出的2个球共有种,若同为白球,共有种;若同为黑球,共有种;可得同色球共有种,所以取出的2个球为同色球的概率为.故答案为:.16答案:4解析:由,根据基本不等式,得,当且仅当,即时等号成立.所以函数的最小值为4.故答案为:4.17答案:(I);(II)解析:(I),所以,.(II)由换底
9、公式得:,所以,当且仅当,即取等号,因此的最小值为.18答案:(1);(2)切线方程为;切点为.解析:(1)由,得,曲线在点处的切线方程为,即;(2)设切点为,切线方程为,切线经过原点,.则,所求的切线方程为;切点为.19答案:(1);(2)解析:(1),则甲队有两人答对,一人答错,故;(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A,设乙队得分为Y,则,.20答案:(1);(2)的增区间是和;减区间是.(3)解析:(1),因为是函数的一个极值点,所以,解得.(2)由(1)得,令,得,.和随x的变化情况如下:x1300+极大值极小值的增区间是和;减区间是.(3)由(2)知,的极大值为,极小值为.因为,所以.因为,所以.函数图像如图所示,当直线与函数的图像有3个交点时,函数有3个零点,b的值在函数的极小值和极大值之间,所以b的取值范围为.