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1、河南省许昌市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试卷学校:_姓名:_班级:_考号:_一、选择题1复数的共轭复数是( )A.B.C.D.2在中,点D满足,若为一组基底,则( )A.B.C.D.3有一组样本数据如下:56,62,63,63,65,67,68,69,71,74,76,76,77,78,79,79,80,85,87,88,95,98,则其分位数与分位数的和为( )A.144B.145C.146D.1474设l,m是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下面命题中正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则5若样本,的平均数为10,方差为2,则对于样本,下列结
2、论正确的是( )A.平均数为20,方差为4B.平均数为11,方差为4C.平均数为20,方差为8D.平均数为21,方差为86小明与小华两人玩游戏,则下列游戏不公平的是( )A.抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数,小明获胜,向上的点数为偶数,小华获胜B.同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上,小明获胜,两枚都正面向上,小华获胜C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色,小明获胜,扑克牌是黑色,小华获胜D.小明、小华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同,小明获胜,否则小华获胜7农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角泰”,是端午节大家都会品尝的食品,传说
3、这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.小明在和家人一起包粽子时,想将一丸子(近似为球)包入其中,如图,将粽叶展开后得到由六个边长为9的等边三角形所构成的平行四边形,将粽叶沿虚线折起来,可以得到如图所示的粽子形状的六面体,则放入丸子的体积最大值为( ).A.B.C.D.8有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )A.甲与丙相互独立B.乙与丙相互独立C.甲与丁相互独立D.
4、丙与丁相互独立二、多项选择题9下列命题中错误的是( )A.若x是实数,则x可能不是复数B.若z是虚数,则z不是实数C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D.-1没有平方根10已知向量,则下列结论正确的有( )A.B.若,则C.的最大值为2D.的最小值为211已知正方体的棱长为2,P为底面ABCD内(包括边界)的动点,则下列结论正确的是( )A.三棱锥的体积为定值B.存在点P,使得平面C.若,则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为D.若点P是AB的中点,点Q是AB的中点,经过D,P,Q三点的正方体的截面周长为三、填空题12正四棱台上、下底面的边长分别为2,4,且侧面积等于两底面
5、面积之和,则该棱台的体积是_.13已知,则在方向上的投影向量坐标为_.14在三棱锥中,若,且,Q为底面内部及边界上的动点,则PQ与底面ABC所成角的正弦值的取值范围为_.四、解答题15已知,与的夹角是.(1)求的值及的值;(2)当k为何值时,?16在一个文艺比赛中,10名专业人士和10名观众代表各组成一个评委小组,给参赛选手打分,下面是两组评委对同一名选手的打分:小组A 45 48 46 52 47 49 55 42 51 45小组B 55 36 70 66 75 49 68 42 62 47(1)如果选择方差度量每一组评委打分相似性的量,计算每组评委打分的方差;(2)你能据此判断小组A和小组
6、B中哪一个更像是由专业人士组成的吗?17已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且.(1)求A;(2)若,求面积的取值范围.18某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在,(单位:克)中,经统计得频率分布直方图如图所示.(1)根据频率分布直方图估计这组数据的中位数;(2)现按分层随机抽样的方法从质量在,内的芒果中随机抽取6个,再从这6个中随机抽取3个,求这3个芒果中质量至少有一个在内的概率;(3)若该种植园中还未摘下的芒果大约有10000个,以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,用样本估计总体.某经销商来收购未摘芒果,提出如下两种收购方案:A:所有芒果以
7、10元/千克收购;B:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,高于或等于250克的芒果以3元/个收购.通过计算确定该种植园选择哪种方案获利更多?19如图,三棱柱中,是正三角形,平面平面ABC,E、F分别为,的中点.(1)证明:平面ABC;(2)若P为底面ABC内(包括边界)动点,平面,且P的轨迹长度为l,求三棱柱的体积;(3)在(2)的条件下,求二面角的正切值.参考答案1答案:B解析:求复数 的共轭复数, 即实部相同, 虚 部互为相反数, ,所以 的共轭复数为 综上所述, 本题正确答案为B 2答案:A解析:,故选A.3答案:D解析:4答案:D解析:若,则或或l与相交,相交也不一定垂直,故A错误
8、;若,则l与m的位置关系有三种:平行、相交或异面,故B错误;若,则或或l与相交,相交也不一定垂直,故C错误;若,则,又,则,故D正确.故选:D.5答案:C解析:因为样本,的平均数是10,方差为2,所以样本,的平均数是:,方差为.故本题正确答案为C.6答案:B解析:对于A,抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的,所以游戏公平;对于B,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅有(正,正)一种情况,所以游戏不公平;对于C,从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的,所以游戏公平;对于D,小明、小华两人各写一个数字6或8,一
9、共四种情况,两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的,所以游戏公平.故选B.7答案:A解析:该六面体是由两个全等的正四面体组合而成,正四面体的棱长为9,如图所示.在棱长为9的正四面体中,取BC中点D,连接SD,AD作平面ABC,垂足O在AD上,则,.当该六面体内有一球,且该球体积取最大值时,球心为O,且该球与SD相切,过球心O作,则OE就是球的半径.,该球半径.该球体积的最大值为,故放入丸子体积最大值为.故选:A8答案:C解析:依题意,有放回地随机取两次,共有36种不同结果:,其中,丁事件包含共6个基本事件.丙事件包含,共5个基本等件.易知“甲、丙同时发生”的基本事件有0个,“丙、丁同时发
10、生”的基本事件有0个,“乙、丙同时发生”的基本事件为,有1个,又,乙、丙不相互独立.同理可知“甲、丁同时发生”的基本事件为,又,甲与丁相互独立,故选C.9答案:ACD解析:因为复数包含实数,故A错误;根据虚数的定义可知B正确;一个复数为纯虚数的充要条件是实部为零,虚部不为零,故C错误;-1的平方根为,故D错误.故选ACD.10答案:AC解析:对于A,A正确;对于B,若,则,所以,又,所以,B错误;对于C,因为,所以,所以的最大值为2,C正确;对于D,因为,所以,当,取得最小值1,D错误故选:AC.11答案:ABC解析:对于A,由等体积法,三棱锥的高等于,底面积,所以,所以三棱锥的体积为定值,故
11、A正确;对于B,以D为坐标原点,以DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设,若平面,则,则,解得,不符合,故B错误;对于C,若,即.所以点P的轨迹就是线段AC,轨迹长为,故C正确;对于D,连接PQ并延长交DC的延长线于N,连接交于F,连接QF,延长QP交DA的延长线于M,连接交于E,连接PE,则五边形即为经过,P,Q三点的正方体的截面,如图:正方体的棱长为2,则,则为等腰直角三角形,则,根据得,则,则,同理可得,而,则五边形的周长为,故D错误.12答案:解析:由题意,正四棱台上、下底面的边长分别为2,4,高为h.可得上、下底面面积为,如图所示,取上、下底面正方形的中心分别
12、为,O,再取E,F分别为,BC的中点,分别连接,OE,EF,过点E作,在直角中,可得因为侧面积等于两底面面积之和,可得.可得.代入棱台体积公式:,得:,故答案为:.13答案:解析:因为,所以,所以a在b方向上的投影向量为14答案:解析:如图,过点P作AB的垂线PM交AB于点M,过点M作AB的垂线MN交AC于点N,则为平面PAB与平面ABC所成的角,易知是直角三角形,则,.,又,在中,.在中,过点P作平面ABC,垂足为O,则点O在直线MN上,且,.显然当点Q在点M处时,直线PQ与平面ABC所成的角取得最大值,.当点Q在点C处时,直线PQ与平面ABC所成的角取得最小值,又,则15答案:(1);(2
13、)解析:(1),;(2)因为,所以,整理得,解得.即当时,.16答案:(1)答案见解析;(2)A组更像是由专业人士组成的解析:(1),;(2)由于专业人士给分更符合专业规则,相似程度更高由(1)可知,因而,根据方差越大数据波动越大,因此A组更像是由专业人士组成的.17答案:(1);(2)解析:(1)由及正弦定理得:,即,因为,因此,所以得,即,得或,又因为,所以.(2)由正弦定理得:,所以,所以,因为,所以,因此,所以.因此:面积的取值范围是:.18答案:(1)268.75;(2);(3)该种植园选择B方案获利更多.解析:设中位数为x,由频率分布直方图可得:,解得:.这组数据的中位数是268.
14、75.(2)抽取的6个芒果中,质量在和内的分别有4个和2个.设质量在内的4个芒果分别为A,B,C,D,质量在内的2个芒果分别为a,b.从这6个芒果中选出3个,样本空间为:,设“至少有一个在内”为事件M,则,因此,所以从6个芒果中随机抽取3个,至少有一个在内的概率为.(3)A方案可获利:(元).B方案可获利:(元)由于,因此该种植园选择B方案获利更多.19答案:(1)证明见解析;(2);(3)解析:(1)取AC的中点D,连接BD.因为是等边三角形,所以.又平面平面,且平面平面,在面ABC内,所以平面.因为平面,所以.因为,BD,平面ABC,所以平面ABC.(2)取BC的中点M,连接DM,因为E,F分别为,的中点,D、M分别为AC,BC的中点,因为三棱柱,侧面