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1、福建省泉州市安溪县2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1对于x,y两个变量,有四组样本数据,分别算出它们的线性相关系数r（如下）：,则线性相关性最强的是( )A.B.0.72C.D.0.852在空间直角坐标系中,点关于x轴的对称点坐标是( )A.B.C.D.3已知,则( )A.-1B.0C.1D.243个男生2个女生站成一排,其中女生相邻的排法个数是( )A.24B.48C.96D.1205已知函数,那么的值是( )A.B.C.2D.46已知随机变量X,Y满足：,则( )A.B.C.D.7给出下列四个命题,其中真命题是( )A.若向量与
2、向量,共面,则存在实数x,y,使B.若存在实数x,y,使,则点P,M,A,B共面C.直线a的方向向量为,平面的法向量为,则D.若平面经过三点,向量是平面的法向量,则8若函数有两个极值点,且,则下列结论中不正确的是( )A.B.C.a的范围是D.二、多项选择题9,分别为随机事件A,B的对立事件,下列命题正确的是( )A.B.若,则C.若,则A与B独立D.10已知函数,下列选项正确的是( )A.若在区间上单调递减,则a的取值范围为B.若在区间上有极小值,则a的取值范围为C.当时,若经过点可以作出曲线的三条切线,则实数m的取值范围为D.若曲线的对称中心为,则11在棱长为1的正方体中,点F在底面ABC
3、D内运动（含边界）,点E是棱的中点,则( )A.若F在棱AD上时,存在点F使B.若F是棱AD的中点,则平面C.若平面,则F是AC上靠近C的四等分点D.若F在棱AB上运动,则点F到直线的距离最小值为三、填空题12平面过点,其法向量为,则点到平面的距离为_.13从集合的子集中选出2个不同的子集A,B,且,则一共有_种选法.14现有甲、乙两个盒子,甲盒有2个红球和1个白球,乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒,再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”,事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”,则_,_.四、解答题15为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性,随机调
4、查了某中学的100名学生,整理得到如下,左表数据：(1)求a,b的值,并判断是否有的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？(2)经调查,学生的学习效率指数y与每天锻炼时间x（单位：拾分钟）呈线性相关关系,统计数据见下表,求y关于x的线性回归方程.男学生女学生合计喜欢运动ab60不喜欢运动bb合计60100x23456y2.533.5560.10.050.012.7063.8416.635附：（1）（2）,16已知（,）的展开式中,第2,3,4项的二项式系数成等差数列.(1)求n的值;(2)求的近似值（精确到0.01）;(3)求的二项展开式中系数最大的项.17如图,所有棱长均为2的正四棱锥,点
5、M,N分别是,上靠近P,B的三等分点.(1)求证：;(2)求二面角的余弦值.18某校举行投篮趣味比赛,甲、乙两位选手进入决赛,每位选手各投篮4次,选手在连续投篮时,第一次投进得1分,并规定：若某次投进,则下一次投进的得分比本次得分多1分;若某次未投进,则该次得0分,且下一次投进得1分.已知甲同学每次投进的概率为,乙同学每次投进的概率为,且甲、乙每次投篮相互独立.(1)求甲最后得3分的概率;(2)记甲最后得分为X,求X的概率分布和数学期望;(3)记事件B为“甲、乙总分之和为7”,求.19定义：如果函数与的图象上分别存在点M和点N关于x轴对称,则称函数和具有“伙伴”关系.(1)判断函数与是否具有“
6、伙伴”关系;(2)已知函数,.若两函数具有“伙伴”关系,求a的取值范围;若两函数不具有“伙伴”关系,求证：,其中n为正整数.参考答案1答案：A解析：线性相关系数的绝对值越接近1,线性相关性越强,则线性相关性最强的是.故选：A.2答案：C解析：在空间直角坐标系中,点关于x轴的对称点坐标为.故选：C.3答案：B解析：令,则,即.故选：B.4答案：B解析：根据捆绑法,“先捆再松”.可以将女生看作一个整体与男生全排,有种,女生再排有种,则女生相邻的排法个数是：.故选：B.5答案：D解析：因为,则,所以.故选：D.6答案：D解析：若,则,解得,故,则,故A错误,而,故,可得,故B错误,而,故C错误,由题
7、意得,故D正确.故选：D.7答案：B解析：对于A,如果为非零向量,且与不共线,而与共线,则不成立,故A错误;对于B,运用四点共面定理推论可知B正确;对于C,则,则,故C错误;对于D,向量是平面的法向量,则,即,又,得且,解得,则,故D错误.故选：B.8答案：B解析：对于AC,有两个极值点,且,所以,有两个零点,且在,各自两边异号,所以与有两个交点,记,则,易知：时,时,所以在上递增,在上递减,所以有最大值,且时,时,又当x趋向于正无穷时,趋向于正无穷的速率远远超过趋向于正无穷的速率,所以趋向于0,且,由上可得的图象如下,所以当且仅当时与有两个交点,且,故A,C正确;对于B,又,所以,即,故B错
8、误.对于D,令,则,所以,则,所以要证,只需证,只需证,令,则,所以在上单调递减,即时,不等式得证,故D正确.故选：B.9答案：ACD解析：A选项,由对立事件性质可知,A正确;B选项,若,则,B错误;C选项,若,则,故,A与B独立,C正确;D选项,D正确.故选：ACD.10答案：BCD解析：令若在区间上单调递减,则在区间上小于或者等于零恒成立,即恒成立,即,又在区间单调递增,则所以a的取值范围为,故选项A错误.若在区间上有极小值,则在区间上有零点,且在零点左端小于零,在零点右端大于零,则,解得a的取值范围为.故选项B正确.当时,设经过点作出曲线的三条切线切点为,则切线斜率为切线为又切线经过点,
9、则有三解,即有三解,令,则当,时函数取极值,则实数m的取值范围为,故选项C正确.若曲线的对称中心为,则即解得.故选：BCD.11答案：BCD解析：A.如图建立空间直角坐标系,整理为,解得：或,都舍去,所以不存在点F使,故A错误;B.如图,取的中点M,连结,因为点M,F是,的中点,所以,平面,平面,所以平面,同理,且,所以,平面,平面,所以平面,且,平面,所以平面平面,平面,所以平面C. 若F是AC上靠近C的四等分点,则,所以,所以,且,平面,所以平面,且过点E只有1条直线和平面垂直,则点F是唯一的,点F是上靠近C的四等分点,故C正确;D.若点F在棱上运动,设,则点F到的距离,当时,d的最小值为
10、,故D正确.故选：BCD.12答案：解析：根据点到面的距离公式,且,可得点到平面的距离.故答案为：.13答案：65解析：从集合的子集中选出2个不同的子集A,B,且,当A为空集时,B可以包含1,2,3,4个元素,所以共有种选法;当A只含有1个元素时,B可以包含2,3,4个元素,所以共有种选法;当A只含有2个元素时,B可以包含3,4个元素,所以共有种选法;当A只含有3个元素时,B包含4个元素,所以共有种选法.故共有种选法.故答案为：65.14答案：;解析：第一空：,第二空：从甲盒中取出的是一个红球和一个白球,乙盒中还剩下两个红球或者两个白球.则故答案为：;.15答案：(1),有(2)解析：(1)依
11、题意,得,解得,假设：认为学生的性别与是否喜欢运动无关联,所以根据的独立性检验,认为不成立,即有的把握认为学生的性别与喜欢运动有关联;(2)由题意得,所以回归方程为.16答案：(1)7(2)128.45(3)解析：(1)展开式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列,整理得,解得,又,(2)(3),依题意得,即,解之,又,故展开式中系数最大得项为17答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)连接交于O,建立如图所示的空间直角坐标系则,.(2),设平面的法向量为,则,取.取平面的法向量为,所以,设二面角的平面角为,.由图可知二面角的余弦值为18答案：(1)(2)分布列见解析,(3)解析：(1)记事件
12、A为“甲得3分”,分析3分是,不可能是,所以在这四次投篮中,连续两次投中,另两次没中,记甲得3分,所以(2)X的取值为0,1,2,3,4,6,10,X01234610P(3)记Y为乙最后得分,则事件B为“甲1分,乙6分”,“甲3分,乙4分”,“甲4分,乙3分”,“甲6分,乙1分”故19答案：(1)函数与具有“伙伴”关系(2)证明见解析解析：(1)函数与具有“伙伴”关系,理由如下：根据定义,若与具有“伙伴”关系,则在与的定义域的交集上存在x,使得.所以,即,解得,所以与具有“伙伴”关系.(2)函数,令,两函数具有“伙伴”关系,则函数在上有零点.当时,所以在上递减,所以,此时函数无零点,不符合题意.当时,令,则,则,故在上递增,在上递减,且时,当时,函数的导函数,所以该函数在上递减,所以,所以,从而,即此时,取所以从而,又函数图象在上连续不间断,由零点存在定理可得,函数在上存在唯一零点,即存在,使得综上可得,若两函数具有“伙伴”关系,a的取值范围为由可得若两函数不具有“伙伴”关系,a的取值范围为,且当时,恒有成立,即在恒成立所以当时,可得同理,两边分别累加得：即即.
