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1、考点37 椭圆1.(2022全国甲卷文科)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为()A.x218+y216=1 B.x29+y28=1 C.x23+y22=1 D.x22+y2=1【命题意图】本题主要考查椭圆方程的求解,平面向量数量积的坐标运算等知识.【解析】选B.因为离心率e=ca=1b2a2=13,解得b2a2=89,b2=89a2,A1,A2分别为C的左、右顶点,则A1-a,0,A2a,0,B为上顶点,所以B(0,b).所以=(-a,-b),=(a,-b),因为=-1,所以-a2+b2=-1,将b
2、2=89a2代入,解得a2=9,b2=8,故椭圆的方程为x29+y28=1.2.(2022全国甲卷理科)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为()A.32 B.22 C.12 D.13【命题意图】本题考查椭圆的简单几何性质,是基础题.【解析】选A.已知A(-a,0),设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),kAP=y0x0+a,kAQ=y0a-x0,故kAPkAQ=y0x0+ay0a-x0=y02a2-x02=14,因为x02a2+y02b2=1,即y02=b2(a2-x02)a2,代入整理得:
3、b2a2=14,e=ca=1b2a2=32.3.(2022新高考卷)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l的方程为.【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力.【解析】如图,令AB的中点为E,因为|MA|=|NB|,所以|ME|=|NE|,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x126+y123=1,x226+y223=1,所以x126-x226+y123-y223=0,即(x1-x2)(x1+x2)6+(y1+y2)(y1-y2)3=0,所以(y
4、1+y2)(y1-y2)(x1-x2)(x1+x2)=-12,即kOEkAB=-12,设直线AB:y=kx+m,k0,令x=0得y=m,令y=0得x=-mk,即M-mk,0,N(0,m),所以E-m2k,m2,即km2-m2k=-12,解得k=-22或k=22(舍去),又|MN|=23,即|MN|=m2+(2m)2=23,解得m=2或m=-2(舍去),所以直线AB:y=-22x+2,即x+2y-22=0.答案:x+2y-22=04.(2022北京高考T19)(本小题15分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个顶点为A(0,1),焦距为23.(1)求椭圆E的方程;(2)过点P(-2
5、,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.【命题意图】以椭圆为背景,考查椭圆方程,直线与椭圆位置关系,考查学生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】(1)依题意可知,b=1,2c=23,a2=b2+c2,解得a=2b=1c=3,故椭圆E的标准方程为x24+y2=1.(2)由题可设直线方程为y-1=k(x+2),B(x1,y1),C(x2,y2),联立直线与椭圆的方程得,y-1=k(x+2),x24+y2=1,可得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,由0得(16k2+8k)2-4(1
6、+4k2)(16k2+16k)0,解得k0,由根与系数的关系得x1+x2=-(16k2+8k)1+4k2,x1x2=16k2+16k1+4k2,直线AB的斜率kAB=y1-1x1,直线AB的方程为y=y1-1x1x+1,令y=0,可得点M的横坐标xM=x11y1,同理可得xN=x21y2,则有|MN|=x11y1-x21y2=x1-k(x1+2)-x2-k(x2+2)=1kx2x2+2-x1x1+2=1k2(x1+x2)2-4x1x2x1x2+2(x1+x2)+4=2,代入整理得1k264(2k2+k)2-416(k2+k)(1+4k2)(1+4k2)216k2+16k1+4k2+-32k2-
7、16k1+4k2+4+16k21+4k2=2,即1k44k4+4k3+k2-4k4-4k3-k2-k=2,可得k=-4,故k的值为-4.5.(2022浙江高考数学科T21)(15分)如图,已知椭圆x212+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q0,12在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-12x+3于C,D两点.()求点P到椭圆上点的距离的最大值;()求|CD|的最小值.【命题意图】主要考查与椭圆有关的最值、直线与圆锥曲线的位置关系问题,突出考查考生解决综合问题及运算能力.【解析】()设M(23cos ,sin )是椭圆上任意一点,P(0,1),则|PM|2=12cos
8、2+(1-sin )2=13-11sin2-2sin =-11sin +1112+1441114411,当且仅当sin =-111时取等号,故|PM|的最大值是121111.()设直线AB:y=kx+12,直线AB的方程与椭圆x212+y2=1联立,可得k2+112x2+kx-34=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=kk2+112x1x2=34(k2+112),因为直线PA:y=y1-1x1x+1与直线y=-12x+3交于C,则xC=4x1x1+2y1-2=4x1(2k+1)x1-1,同理可得,xD=4x2x2+2y2-2=4x2(2k+1)x2-1.则|CD|=1+14|xC-xD|=524x1(2k+1)x1-1-4x2(2k+1)x2-1=25x1-x2(2k+1)x1-1(2k+1)x2-1=25x1-x2(2k+1)2x1x2-(2k+1)(x1+x2)+1=35216k2+1|3k+1|=65516k2+1916+1|3k+1|655(4k34+11)2|3k+1|=655,当且仅当k=316时取等号,故|CD|的最小值为655.
