《2022年高考分类题库考点35立体几何中的向量方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考分类题库考点35立体几何中的向量方法（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点35 立体几何中的向量方法1.(2022新高考卷T19)(12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,A1BC的面积为22.(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.【命题意图】本题考查求点到面的距离,求二面角的正弦值.【解析】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,设点A到平面A1BC的距离为h,则VA-A1BC=13SA1BCh=223h=VA1-ABC=13SABCA1A=13VABC-A1B1C1=43,解得h=2,所以点A到平面A1BC的距离为2;(2)取A1B的中点E,连接AE,
2、如图,因为AA1=AB,所以AEA1B,又平面A1BC平面ABB1A1,平面A1BC平面ABB1A1=A1B,且AE平面ABB1A1,所以AE平面A1BC,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABC,由BC平面A1BC,BC平面ABC可得AEBC,BB1BC,又AE,BB1平面ABB1A1且相交,所以BC平面ABB1A1,所以BC,BA,BB1两两垂直,以B为原点,建立空间直角坐标系,如图,由(1)得AE=2,所以AA1=AB=2,A1B=22,所以BC=2,则A(0,2,0),A1(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以A1C的中点D(1,1,1),则=(1,1,1)
3、,=(0,2,0),=(2,0,0),设平面ABD的一个法向量m=(x,y,z),则,可取m=(1,0,-1),设平面BDC的一个法向量n=(a,b,c),则,可取n=(0,1,-1),则cos=mn|m|n|=122=12,所以二面角A-BD-C的正弦值为1(12)2=32.2.(2022新高考卷)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,ABAC,E是PB的中点.(1)证明:OE平面PAC;(2)若ABO=CBO=30,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.【命题意图】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值,考查逻辑推理能力及运算求解能力.【解析】(1)如
4、图,连接BO并延长交AC于点D,连接OA,PD,因为PO是三棱锥P-ABC的高,所以PO平面ABC,AO,BO平面ABC,所以POAO,POBO,又PA=PB,易得POAPOB,即OA=OB,所以OAB=OBA,又ABAC,即BAC=90,所以OAB+OAD=90,OBA+ODA=90,所以ODA=OAD,所以AO=DO,即AO=DO=OB,所以O为BD的中点,又E为PB的中点,所以OEPD,又OE平面PAC,PD平面PAC,所以OE平面PAC.(2)过点A作AzOP,如图建立平面直角坐标系,因为PO=3,AP=5,所以OA=AP2-PO2=4,又OBA=OBC=30,所以BD=2OA=8,则
5、AD=4,AB=43,所以AC=12,所以O(23,2,0),B(43,0,0),P(23,2,3),C(0,12,0),所以E33,1,32,则=33,1,32,=(43,0,0),=(0,12,0),设平面AEB的法向量为n=(x,y,z),则,令z=2,则y=-3,x=0,所以n=(0,-3,2);设平面AEC的法向量为m=(a,b,c),则,令a=3,则c=-6,b=0,所以m=(3,0,-6);所以cos=nm|n|m|=-121339=-4313,设二面角C-AE-B为,由图可知二面角C-AE-B为钝二面角,所以cos =-4313,所以sin =1cos2=1113,故二面角C-
6、AE-B的正弦值为1113.3.(2022全国甲卷理科)在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,CDAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3.(1)证明:BDPA;(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.【命题意图】本题考查线面垂直的判定和性质以及利用空间向量求解线面角的正弦值,考查逻辑推理能力及运算求解能力,属于中档题.【解析】(1)因为PD底面ABCD,BD平面ABCD,所以PDBD,取AB的中点E,连接DE,则BE=12AB=1,因为CDBE,且CD=BE,所以四边形BCDE为平行四边形,所以DE=CB=1,因为DE=12AB,所以ABD为直角三角形,且AB为斜边,所以BDAD
7、,因为PDAD=D,PD平面PAD,AD平面PAD,所以BD平面PAD,又因为PA平面PAD,所以BDPA;(2)由(1)知,PD,AD,BD两两互相垂直,故建立如图所示的空间直角坐标系,BD=AB2-AD2=3,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,3),所以=(0,0,-3),=(1,0,-3),=(-1,3,0),设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),则,则可取n=(3,1,1),设PD与平面PAB所成的角为,则sin =|cos|=55,所以PD与平面PAB所成的角的正弦值为55.4.(2022全国乙卷理科T18)(12分)如图,四面体ABCD中,
8、ADCD,AD=CD,ADB=BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED平面ACD;(2)设AB=BD=2,ACB=60,点F在BD上,当AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.【命题意图】考查全等三角形的判断、等腰三角形的性质、面面垂直的判定、勾股定理、线面角、空间直角坐标系以及运算求解能力.【解析】(1)因为AD=CD,E为AC的中点,所以ACDE;在ABD和CBD中,因为AD=CD,ADB=CDB,DB=DB,所以ABDCBD,所以AB=CB,又因为E为AC的中点,所以ACBE;又因为DE,BE平面BED,DEBE=E,所以AC平面BED,因为AC平面ACD,所以平面
9、BED平面ACD.(2)连接EF,由(1)知,AC平面BED,因为EF平面BED,所以ACEF,所以SAFC=12ACEF,当EFBD时,EF最小,即AFC的面积最小.因为ABDCBD,所以CB=AB=2,又因为ACB=60,所以ABC是等边三角形,因为E为AC的中点,所以AE=EC=1,BE=3,因为ADCD,所以DE=12AC=1,在DEB中,DE2+BE2=BD2,所以BEDE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则A(1,0,0),B(0,3,0),D(0,0,1),所以=(-1,0,1),=(-1,3,0),设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z),则,取y=3
10、,则n=(3,3,3),又因为C(-1,0,0),F0,34,34,所以=1,34,34,所以cos=62174=437,设CF与平面ABD所成的角为,所以sin =|cos|=437,所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为437.5.(2022浙江高考数学科T19)(15分)如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,ABDC,DCEF,AB=5,DC=3,EF=1,BAD=CDE=60,二面角F-DC-B的平面角为60.设M,N分别为AE,BC的中点.()证明:FNAD;()求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.【命题意图】本题主要考查线线垂直的证明,考查如何建立空间直角坐标系,确定相关点的
11、坐标,利用法向量求线面角的正弦值.【解析】()由题易知CDCB,CDCF,平面CDEF平面ABCD=CD,则FCB为二面角F-DC-B的平面角,即FCB=60,因为CBCF=C,所以CD平面CBF,所以CDFN,又CF=3(CD-EF)=23,CB=3(AB-CD)=23,FCB=60,所以BCF是等边三角形,所以CBFN,因为CBCD=C,所以FN平面ABCD,故FNAD.()由于FN平面ABCD,如图建系,于是B(0,3,0),A(5,3,0),F(0,0,3),E(1,0,3),D(3,-3,0),则M3,32,32.=3,-32,32,=(2,23,0),=(-2,3,3),设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),由,得2x+23y=0-2x+3y+3z=0,令x=3,则y=-1,z=3,所以n=(3,-1,3),设BM与平面ADE所成角为,则sin =5714.【反思总结】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面:求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角;求直线与平面所成的角,关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角;求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
