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1、12024 年上海高考数学第二次模拟考试高三数学参考答案一、一、填空题（本大题共有填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 1-6 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分）考生应在答题纸的分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果相应位置直接填写结果1.(33)5i2.20,1,3 3.0.24.(，35.26.22yx7.28.3.349.16310.611.4 3312.62二二、选择题选择题（本大题共有本大题共有 4 题题，满分满分 18 分分，第第 1314 题每题题每题 4 分分，第第 1516 题每题题每题 5 分分）每题有且仅有一每题有
2、且仅有一个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。三、解答三、解答题（本大题共有（本大题共有 5 题，满分题，满分 78 分）解答下列各分）解答下列各题必必须在答在答题纸的相的相应位置写出必要的步位置写出必要的步骤17.（14 分）证明：（1）如图，在三棱柱111ABCA BC中，取AC的中点D，连接BD，因为ABC是等边三角形，则BDAC，又BD 平面ABC，平面11AAC C 平面ABC，平面11AAC C平面ABCAC，则BD 平面11AAC C，而1AC 平面11AAC C，于是1BDAC，又1A
3、CBC，BDBCB，BC 平面ABC，因此1AC 平面ABC，又AC 平面ABC，则1ACAC，于是22221111AAACACACBCAB，所以11A AAB解：（2）取AB的中点F，连接CF由（1）得1AC 平面ABC，又11/B BA A，所以1A AC是直线1B B与平面ABC所成的角，即145A AC，12ACAC，由（1）知1AC，CF，AB两两互相垂直，以C为坐标原点，直线CF为x轴，过点C且平行于AB的直线为y轴，直线1CA为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C，0，0)，(3,1,0)A，1(0A，0，2)，1(0B，2，2)，1(3,1,2)C，3 1(,2)22E
4、，13141516DCDC2于是1(3,3,2)AB ，13 3(,0)22EB，1(0,2,2)CB，设平面1AB E的法向量为111(,)nx y z，则1100n ABn EB，即111113320330 xyzxy，令13x，得(3,1,3)n，设直线1B C与平面1AB E所成的角为，则111|426sin|cos,|13|132 2n CBn CBn CB，即直线1B C与平面1AB E所成的角的正弦值为261318.（14 分）解：设甲乙丙三位同学分别通过复检为事件A，B，C，甲乙丙同学通过文考为事件D，E，F，可得P（A）0.5，P（B）0.6，P（C）0.75，P（D）0.6
5、，P（E）0.5，()0.4P F，（1）由题意，可得甲被录取成为空军飞行员的概率为：1 1PP （A）P（D）11 1 0.50.6 10.3 ；（2）由题意，甲乙丙三位同学分别通过复检，即为事件A，B，C，利用独立事件的概率计算公式，可得甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率为：()0.5(10.6)(10.75)(10.5)0.6(10.75)(10.5)(10.6)0.750.275P A B CA B CA B C【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率的求解，n次独立重复试验恰好发生k得概率的求解，属于中档题19.（14 分）解：（1）由232sin()sin()123BC
6、BC，可得232cossin123AA，可得31cossin13AA，即3cossin3AA，可得tan3A，3由0A，可得3A（2）因为sin4()(sinsin)cCabAB，由正弦定理有：24()()cab ab，可得2224()cab，又由3A及余弦定理有：222abcbc，有222abcbc，有224()ccbc，可得：34cb，又因为ABC的面积为3 313sin424bcAbc，可得3bc，所以解得32b，2c，由余弦定理可得22233113()2222224a，可得132a，可得ABC的周长1372abc【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公
7、式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20.（18 分）解：（1）解204xb，可得2xb，所以，x轴被抛物线22:4xCyb截得的线段长为4 b由已知可得，2222 234223abccaba，解得132 2bac所以椭圆的方程为221:19xCy，抛物线的方程为221:14Cyx（2）()i由（1）知，(0,1)M设直线l的方程为ykx，1(A x，1)y，2(B x，2)y联立直线l与抛物线的方程2114ykxyx，可得2440 xkx，则121244xxkx x 4又111114yxkx，222214yxkx，所以12121164x xk k ()ii联立直线M
8、A与抛物线的方程12114yk xxy，可得2140 xk x，则114xk同理：224xk设3(D x，3)y，4(E x，4)y联立直线MA与椭圆的方程122199yk xxy，可得2211(91)180kxk x，则13211891kxk，同理可得，24221891kxk由图象知，13|xMAMDx，24|xMBMEx，AMBDME，所以，12222112121212212234134221211|sin|sin|16|44 81916922(91)(91)(19)1118|8181 16163241|sin|sin|2291 91MA MBAMBxxAMBSx xk kkkkk kSx
9、 xkMD MEDMExxAMBkk，当且仅当112k 时，取等号，所以，12SS的最小值为16932412.（18 分）解：（1）因为222422(1)0 xxx恒成立，且224(4)0 xxxx 恒成立，所以当xR时，2222 44xxxx恒成立，5故1()yh x是222yx与24yxx 在(,)上的“分割函数”；又因为221(4)31xxxxx ，当0 x 与 1 时，其值分别为 1 与1，所以22()4h xxx与22()4h xxx在(,)上都不恒成立，故2()h x不是222yx与24yxx 在(,)上的“分割函数”；（2）设2(0)yaxcxd a是222yx与4yx在区间(,
10、)上的“分割函数”，则22224xaxcxdx对一切实数x恒成立，又因为2(22)4xx，当1x 时，它的值为 4，可知222yx的图象在1x 处的切线为直线4yx，它也是2yaxcxd的图象在1x 处的切线，所以244acacd，可得42cada，所以2222(42)4xaxa xax对一切实数x恒成立，即2(2)(1)0a x且2(1)0a x对一切实数x恒成立，可得20a 且0a，即02a，又2a 时，2(42)yaxa xa与222yx为相同函数，不合题意，故所求的函数为2(42)(02)yaxa xaa；6（3）关于函数424yxx，令3480yxx，可得0 x，2，当(,2)x 与
11、(0,2)x时，0y；当(2x，0)与(2x，)时，0y，可知2是函数424yxx极小值点，0 是极大值点，该函数与2416yx的图象如图所示：由ykxb为424yxx与2416yx在区间m，n上的“分割函数”，故存在0b使得0b b且直线0ykxb与424yxx的图象相切，并且切点横坐标 2t，2 2，2，此时切线方程为324(48)43ytt xtt，即348ktt，24043btt，设直线ykxb与2416yx的图象交于点1(x，1)y，2(x，2)y，则由2416ykxbyx，可得24160 xkxb，所以22232246423221212120|()41616(2)164378167816(21616kkxxxxx xbbtttttttsssst，4)，令32()7816k ssss，2s，4，则2()3148(32)(4)0k sssss，当4s 时，()0k s，所以()k s在2，4上单调递减，所以()maxk sk（2）12，所以12|2 3maxxx，所以nm的最大值为2 37
