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1、12024 年高考第二次模拟考试年高考第二次模拟考试高三数学高三数学全解全析一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的求的1.设集合ln3,1Ax yxBx x，则AB R（）A13xx B1x x C.1x x ,或3x D3x x【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，【详解】由题意得3Ax x，1Bx x，又1Bx x R则1ABx x R，故选：B.2.关于复数z与其共轭复数z，下列结论正确的是（）A.在复平面内，表示复数z和
2、z的点关于虚轴对称B.0z zC.zz必为实数，zz必为纯虚数D.若复数z为实系数一元二次方程20axbxc的一根，则z也必是该方程的根【答案】.D【解析】对于选项 A，表示复数z和z的点关于实轴对称，故错误：对于选项 B选项 C，当0z 时均不成立，故错误.故选 D3.已知向量2,4a ，1,bt，若a与b共线，则向量ab在向量0,1j 上的投影向量为（）A.jB.jC.2 jD.2 j【答案】C【解析】由向量2,4a ，1,bt，若a与b共线，则240t，所以2t ，(1,2)ab，所以向量ab在向量0,1j 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21abjjjjjj，故选：C4.“1a
3、b”是“10ba”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当0a 时，由1ab，可得10ba，当a0时，由1ab，得10ba；所以“1ab”不是“10ba”的充分条件.因为01010ababaa，所以1ab，所以“1ab”是“10ba”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况
4、种数是（）A.60B.114C.278D.336【答案】D【解析】命题意图 本题考查排列与组合的应用.录用 3 人，有353360C A 种情况；录用 4 人，有4232354333162C C AC A种情况；录用 5 人，有12323331345333333225)4(C CAC A(C AC A)11A种情况.所以共有 336 种.6.已知D：222210 xyaxa，点3,0P，若D上总存在M，N两点使得PMN为等边三角形，则a的取值范围是（）A.5,11,3 B.5,1,3 C.,21,D.2,11,【答案】B【解析】D的标准方程为2221xaya，圆心坐标为,0D a，半径为1ra
5、.因为,PMPNMDND，所以PMDPND.3所以30MPDNPD.要使D上总存在M，N两点使得PMN为等边三角形，则D上存在一点M，使得30MPD,当PM与D相切时，MPD最大，此时30MPD，故1sinsin302rMPDPD，即1132aa，整理得23250aa，解得5,1,3a .故选:B.7.已知ABC中，60BAC，2AB，Q是边BC上的动点若PA 平面ABC，2PA，且PQ与面ABC所成角的正弦值的最大值为63，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A.4B.6C.8D.9【答案】B【解析】三棱锥PABC中，PA平面 ABC，设直线 PQ 与平面 ABC 所成角为，sin的最大值
6、是63，26sin3PAPQPQ，解得3PQ，即 PQ 的最小值为3，AQ的最小值是 1，即 A 到 BC 的距离为 1，直角三角形ABQ 中，AB2，所以BAQ 60,又BAC60，所以,A Q重合，则ACB90，则ABC 的外接圆圆心 M 为 AB 的中点，又 PA平面 ABC，从而外接球的球心 O 为 PB 的中点，4外接球的半径2222222122226ABPAROBMBMO，三棱锥PABC的外接球的表面积2264462SR故选：B8.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且2cos1cbA，则下列结论错误的是（）A.2ABB.若3ab，则ABC为直角三角形C.若ABC
7、为锐角三角形，11tantanBA的最小值为 1D.若ABC为锐角三角形，则ca的取值范围为2 2 3,23【答案】C【解析】对于A,ABC中，由正弦定理得sin2sin cossinCBAB，由sinsinCAB，得sin coscos sinsinABABB.即sinsinABB，由0,A B，则sin0B，故0AB，所以ABB或ABBx，即2AB或A（舍去），即2,AB A正确：对于B，结合2AB和正弦定理知33,cossinsin2sin2abbBABB，又0,A B，故2,32ABC，B 正确；对于C，在锐角ABC中，0,02,03222BABCB，即3,tan1643BB.故221
8、111tan1tan1tantantan2tan2tanBBBABBB，C 错误；对于D，在锐角ABC中，由23,cos6422BB.sinsin3sin2 coscos2 sin12cos.sinsin2sin22coscCBBBBBBaABBB由对勾函数性质知，2 2 3,23ca，D 正确；故选 C.二二、选择题选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求全部全部选对的得选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分59.已知函数()
9、sin(2)|,26f xx为函数()f x的一个极值点，则（）A1(2)()2ffB()()f xfC()3fxf xD5()12fxfx 9AC【解析】由32k，|2，有6，21(2)sin3362ff，()1f，A 正确，B 错误；6x是函数图象的对称轴，C 正确；5,012是函数的对称中心，D 错误，选 AC10.已知双曲线222:102xyEaa的左、右焦点别为1F，2F，过点2F的直线 l 与双曲线E的右支相交于,P Q两点，则（）A.若E的两条渐近线相互垂直，则2a B.若E的离心率为3，则E的实轴长为1C.若1290FPF，则124PFPFD.当a变化时，1FPQ周长的最小值为
10、8 2【答案】ACD【解析】依题意，2b，A 选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,2baba，故 A 正确；B 选项，若E的离心率为22222222113ccabbeaaaaa，解得1a，所以实轴长22a，故 B 错误；C 选项，若1290FPF，则122221224PFPFaPFPFc，整理得222121224448,4PFPFcabPFPF，故 C 正确；D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PFPFaQFQFa，6两式相加得11114,4PFQFPQa PFQFaPQ，所以1FPQ周长为42aPQ，当12PQFF时，PQ取得最小值224baa，所以884242 48 2aP
11、Qaaaa，当且仅当84aa，即2a 时，等号成立，所以1FPQ周长的最小值为8 2，故 D 正确.故选：ACD11.在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，,E F分别是棱,BC CD的中点，则（）A11B D与EF是异面直线B存在点P，使得12A PPF，且BC/平面1APBC1A F与平面1B EB所成角的余弦值为2 23D点1B到平面1AEF的距离为45【答案】BC【解析】A 选项，以A作坐标原点，1,AB AD AA所在直线分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系，1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0BDEFABC，则1
12、12,2,0,1,1,0B DEF ，由于112B DEF，故11B D与EF平行，A 错误；B 选项，设,P x y z，因为12A PPF，所以2,21,2,x y zxyz，即224222xxyyzz，解得242,333xyz，故2 4 2,3 3 3P，设平面1APB的法向量为,ma b c，则 12 4 2242,03 3 3333,2,0,2220m APa b cabcm ABa b cac，令1a，则0,1bc，则1,0,1m，因为0,2,0 1,0,10BC m ，故BCm，BC/平面1APB，故存在点P，使得12A PPF，且BC/平面1APB，B 正确；C 选项，平面1B
13、 EB的法向量为1,0,0n r，7故1A F与平面1B EB所成角的正弦值为 111,2,21,0,013144AF nAFn ，则1A F与平面1B EB所成角的余弦值为212 2133，C 正确；D 选项，设平面1AEF的法向量为1111,nx y z，则 11111111111111,2,1,2220,1,1,00nAEx y zxyzn EFx y zxy ，令11x，则1131,2yz，故131,1,2n，则点1B到平面1AEF的距离为111132,0,01,1,24 171791 14AB nn ，D 错误.故选：BC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每
14、小题 5 分，共分，共 15 分分12.若二项式2nxx的展开式中二项式系数之和为 64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240【解析】【详解】因为二项式2nxx的展开式中二项式系数之和为 64，所以264n，得6n，所以二项式为62xx，则二项式展开式的通项36621662C()C 2rrrrrrrTxxx，8令第1r 项的系数最大，则11661166C 2C2C 2C2rrrrrrrr，解得111433r，因为Nr，所以4r，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240Tx，所以填 24013.若函数 sinf xaxx的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a是_.【答案】
15、0【解析】注意到，cosfxax.若函数 f x上存在两条切线垂直，则存在1x、2xR，使得 12121coscos1fxfxaxax 21212coscoscoscos10aaxxxx 221212coscoscoscos1022xxxxa 12coscos1,0 xxa .故答案为 014.已知已知12,x x是实数，是实数，满满足足221212848xxx x，当，当1x取得取得最最大值时，大值时，12xx_。【答案】5【解析】221212848xxx x221222122222482xxxxxx21116,4xx取等条件：12211222,4,4,1.xxxxxx 或11224,5.1
16、,xxxx 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13 分）分）已知数列 na的前 n 项和为nS，且对于任意的*nN都有321nnSa（1）求数列 na的通项公式；（2）记数列 na的前 n 项中的最大值为nM，最小值为nm，令2nnnMmb，求数列 nb的前 20 项和20T【答案】（1）12nna（2）1920526T9【解析】【分析】（1）根据321nnSa可得 na是以公比为2的等比数列，进而可求解，（2）根据数列 na的通项性质可对n分奇偶，进而可得nM，nm，分组求和即可求解.【小问 1 详解】对于任意的*nN都有321nnSa,当2n时，11321nnSa，两式相减得 1132121nnnnSSaa，即1322nnnaaa2n，进而得12nnaa 2n，.4 分当1n 时，11321Sa，故11a，所以数列 na是以首项为 1，公比为2的等比数列，所以12nna.6 分【小问 2 详解】当n为奇数时，12nna，且0na，当n为偶数时，12nna，且0na，
