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1、12024 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数数学学本试卷分为第本试卷分为第卷卷（选择题选择题）和第和第卷卷（非选择题非选择题）两部分两部分，共共 150 分分，考试用时考试用时 120 分钟分钟 第第卷卷 1 至至 3 页，第页，第卷卷 4 至至 6 页页答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效考试结粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在
2、试卷上的无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！祝各位考生考试顺利！第第卷（选择题）卷（选择题）注意事项：注意事项：1每小题选出答案后每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动如需改动，用橡皮擦干用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号净后，再选涂其他答案标号2本卷共本卷共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分分参考公式：参考公式：如果事件如果事件AB，互斥，那么互斥，那么 P ABP AP B如果事件如果事件AB，相互独立，那么相互独立，那么 P ABP A P B球的
3、体积公式球的体积公式343VR，其中，其中R表示球的半径表示球的半径圆锥的体积公式圆锥的体积公式13VSh，其中，其中S表示圆锥的底面面积，表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合1,2,3,4A，2,3,4,5B，则AB（）A.1,2,3,4B.2,3,4C.2,4D.1【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合1,2,3,4A，2,3,4,5B，所以2,3,4AB，2故选：B2.设,a bR，则“33ab”是“33ab”的
4、（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33ab和33ab都当且仅当ab，所以二者互为充要条件.故选：C.3.下列图中，相关性系数最大的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察 4 幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r值相比于其他 3 图更接近 1.故选：A4.下列函数是偶函数的是（）A.22e1xxyxB.22cos1xx
5、yxC.e1xxyxD.|sin4exxxy【答案】B3【解析】【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对 A，设 22e1xxf xx，函数定义域为R，但112e1f，112ef，则 11ff，故 A 错误；对 B，设 22cos1xxg xx，函数定义域为R，且 2222coscos11xxxxgxg xxx，则 g x为偶函数，故 B 正确；对 C，设 e1xxh xx，函数定义域为|1x x ，不关于原点对称，则 h x不是偶函数，故 C 错误；对 D，设|sin4exxxx，函数定义域为R，因为 sin1 41e，sin1 41e，则 11，则 x不是偶函数，故 D 错误.
6、故选：B.5.若0.30.34.24.24.2log0.2abc，则abc，的大小关系为（）A.abcB.bacC.cabD.bca【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为4.2xy 在R上递增，且0.300.3，所以0.300.304.24.24.2，所以0.30.304.214.2，即01ab，因为4.2logyx在(0,)上递增，且00.21，所以4.24.2log0.2log10，即0c，所以bac，故选：B6.若,m n为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（）A.若/m，n ，则/m nB.若/,/mn，则/m n4C.若/,m
7、n，则mnD.若/,mn，则m与n相交【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断 AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断 CD 的正误.【详解】对于 A，若/m，n ，则,m n平行或异面，故 A 错误.对于 B，若/,/mn，则,m n平行或异面或相交，故 B 错误.对于 C，/,mn，过m作平面，使得s，因为m，故/m s，而s，故ns，故mn，故 C 正确.对于 D，若/,mn，则m与n相交或异面，故 D 错误.故选：C.7.已知函数 sin303f xx的最小正周期为则函数在,12 6的最小值是（）A.32B.32C.0D.32【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周
8、期公式求出，得 sin2f xx，再整体求出,12 6 x时，2x的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】sin3sin 3sin33f xxxx，由23T得23，即 sin2f xx，当,12 6 x时，2,6 3x，画出 sin2f xx 图象，如下图，由图可知，sin2f xx 在,12 6上递减，所以，当6x 时，min3sin32f x 5故选：A8.双曲线22221()00axyabb，的左、右焦点分别为12.FF P、是双曲线右支上一点，且直线2PF的斜率为 212PFF是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（）A.22182yxB.22184xyC.22128x
9、yD.22148xy【答案】C【解析】【分析】可利用12PFF三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PFm，由面积公式求出m，由勾股定理得出c，结合第一定义再求出a.【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，1290FPF，设2PFm，211122,PF FPFF，由21tan2PFk，求得12sin5，因为1290FPF，所以121PFPFkk，求得112PFk，即21tan2，21sin5，由正弦定理可得：121212:sin:sin:sin902:1:5PFPFFF，则由2PFm得1122,25PFm FFcm，由1 212112822PF FSPFPFmm得2 2m，6则21
10、122 2,4 2,22 10,10PFPFFFcc，由双曲线第一定义可得：1222 2PFPFa，222,8abca，所以双曲线的方程为22128xy.故选：C9.一 个 五 面 体ABCDEF 已 知ADBECF，且 两 两 之 间 距 离 为 1 并 已 知123ADBECF，则该五面体的体积为（）A.36B.3 3142C.32D.3 3142【答案】C【解析】【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJLMN（顶点与五面体ABCDEF一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N；,E M;,F L重合，因为ADBECF，且两两之间
11、距离为 11,2,3ADBECF，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为 1 的等边三角形，侧棱长为1 3223 14，213221131 1422ABC DEFABC HIJVV .故选：C.第第卷卷7注意事项：注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共本卷共 11 小题，共小题，共 105 分分二二、填空题填空题：本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 30 分分试题中包含两个空的试题中包含两个空的，答对答对 1 个的个的给给3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分
12、10.已知i是虚数单位，复数 5i52i_【答案】75i【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】5i52i55i2 5i275i.故答案为：75i.11.在63333xx的展开式中，常数项为_【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333xx的展开式的通项为63636 216633C3C,0,1,63rrrrrrrxTxrx，令630r，可得3r，所以常数项为0363 C20.故答案为：20.12.22(1)25xy的圆心与抛物线22(0)ypx p的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为_【答案】45#0.8【解
13、析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及AF的方程，从而可求原点到直线AF的距离.8【详解】圆22(1)25xy的圆心为1,0F，故12p即2p，由2221254xyyx可得22240 xx，故4x 或6x （舍），故4,4A，故直线4:13AF yx 即4340 xy或4340 xy，故原点到直线AF的距离为4455d，故答案为：4513.,A B C D E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A的概率为_；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为_【答案】.35.12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A的概率；采用列举法或
14、者条件概率公式可求乙选了A活动，他再选择B活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE,共 10 种情况，其中甲选到A有 6 种可能性：,ABC ABD ABE ACD ACE ADE，则甲选到A得概率为：63105P；乙选A活动有 6 种可能性：,ABC ABD ABE ACD ACE ADE，其中再选则B有 3 种可能性：,ABC ABD ABE，故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A为事件M，乙选到B为事件N，则甲选到A的概率为2435C3C5P M；9乙选
15、了A活动，他再选择B活动的概率为133524351C2CCP MNCP N MP M故答案为：35；1214.在边长为 1 的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，1,2CEDE BEBABCuuruuruuu r，则_；若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF DG 的最小值为_【答案】.43.518【解析】【分析】解法一：以,BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得，设BFBEkuuu ruur，求,AF DGuuu r uuu r，结合数量积的运算律求AF DG 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得，设1,3,03F aaa，求,AF D
16、Guuu r uuu r，结合数量积的坐标运算求AF DG 的最小值.【详解】解法一：因为12CEDE，即23CEBAuuruur，则13BEBCCEBABCuuu ruuruuuurruuu r，可得1,13，所以43；由题意可知：1,0BCBABA BC ，因为F为线段BE上的动点，设1,0,13BFkBEkBAkBC k ，则113AFABBFABkBEkBAkBC ，又因为G为AF中点，则11 111122 32DGDAAGBCAFkBAkBC ，可得11 1111132 32AF DGkBAkBCkBAkBC 10221 11563112 329510kkkk，又因为0,1k，可知：当1k 时，AF DG 取到最小值518；解法二：以 B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则11,0,0,0,0,1,1,1,13ABCDE，可得11,0,0,1,13BABCBE ，因为,BEBABC ，则131，所以43；因为点F在线段1:3,03BE yx x 上，设1,3,03F aaa，且G为AF中点，则13,22aGa，可得131,3,122aAFaaDGa，则22132331
