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1、12024 年高考第二次模拟考试高三数学（新高考 II 卷）参考答案第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678ADBDABDC二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9101112ABDBCBCDACD第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1351428151或或1716 2sin
2、 26f xx四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17（10 分）【解析【解析】（1）若选）若选，(2)coscos2sincossincossincosbcAaCBACAAC2sincossincoscossinsinsinBAACACACB，10,sin0cos223ABCBAA、，；若选若选，sin3 cossinsin3sincosaBbAABBA，0,sin0sin3costan323ABCBAAAA、，；若选若选cos3 sinsincos3sinsinsinsinaCcAbcACCABC sincos3sinsinsinsin
3、3sinsinsincos1ACCAACCCACA0,sin03sincos12sin26ABCCAAA、，而而,66 3663AAA.2（2）如图所示，设如图所示，设,ABc ACb，则，则BCbc，,cc bb，b cc，ABC是锐角三角形，是锐角三角形，201,440AB BCcbccccAC BCbbcc ，2222111233,4244CDcbCDcb cbc ，当，当2c 时取得最小值，故时取得最小值，故3,2CD.18（12 分）分）(1)求数列求数列 na的通项公式；的通项公式；(2)设设cos2nnnaba，求数列，求数列 nb的前的前 2023 项和项和.【解析【解析】（1
4、）设等差数列）设等差数列 na的公差为的公差为0d d，由题意可知，由题意可知，125383adaa a即即121113427adadadad解得解得121ad，所以，所以1nan；（2）由（）由（1）可知，）可知，1 cos1 cos22nnnnaban，对于任意对于任意*kN，有，有434241442,0,4,0kkkkbkbbk b，所以所以43424142kkkkbbbb，故数列故数列 nb的前的前 2023 项和为项和为 1234567820212022202320242024506 201012bbbbbbbbbbbbb.19（12 分）分）【解析【解析】（1）当）当100,130
5、 x时，时，0.50.3 1300.839Txxx；当当130,150 x时，时，0.5 13065T，所以，所以，0.839,10013065,130150 xxTx；（2）根据频率分布直方图及（）根据频率分布直方图及（1）知，）知，3当当100,130 x时，由时，由0.83957Tx，得，得120130 x，当当130,150 x时，由时，由6557T 所以，利润所以，利润T不少于不少于 57 万元当且仅当万元当且仅当120150 x，于是由频率分布直方图可知市场需求量于是由频率分布直方图可知市场需求量120,150 x的频率为的频率为0.0300.0250.015100.7，所以下一个
6、销售季度内的利润所以下一个销售季度内的利润T不少于不少于 57 万元的概率的估计值为万元的概率的估计值为 0.7；（3）估计一个销售季度内市场需求量）估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为的平均数为105 0.1 115 0.2125 0.3x 135 0.25 145 0.15126.5（吨）（吨）由频率分布直方图易知，由频率分布直方图易知，由于由于100,120 x时，对应的频率为时，对应的频率为0.010.02100.30.5，而而100,130 x时，对应的频率为时，对应的频率为0.010.020.03100.60.5，因此一个销售季度内市场需求量因此一个销售季度内市场需求量x的中位
7、数应属于区间的中位数应属于区间120130,，于是估计中位数应为，于是估计中位数应为1200.50.10.20.03126.7（吨）（吨）.20（12 分）分）【解析【解析】（1）证明：取）证明：取AD的中点的中点G，连接，连接,BD BG PG.因为因为2PAPD，所以，所以ADPG.又又PAPD，所以，所以2AD.又又2,60ABBAD，所以，所以ABD为正三角形，所以为正三角形，所以ADBG.因为因为PGBG，在平面在平面PBG内相交，所以内相交，所以AD 平面平面PBG.又又PB平面平面PBG，所以，所以ADPB.（2）以）以G为坐标原点，为坐标原点，,GA GB GP 的方向分别为的
8、方向分别为,x y z轴的正方向，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系，4则则3333(0,0,1),(0,3,0),0,(0,3,1),12222PBCPBPC .设平面设平面PBC的法向量为的法向量为,mx y z，则则30,330,22yzxyz令令3y，得，得1,3,3m .由题可知，平面由题可知，平面PAD的一个法向量为的一个法向量为0,1,0n.设平面设平面PAD和平面和平面PBC所成的锐二面角为所成的锐二面角为，则则339cos1313m nm n .21（12 分）分）【解析【解析】（1）由已知）由已知 C：22221(0,0)yxabab，点
9、，点 A 的坐标为的坐标为6,4，得，得4c，焦点焦点10,4F，20,4F，222126864aAFAF.所以所以2a，22212bca，故，故 C：221412yx.（2）设）设 l 的方程为的方程为21ym m，则，则0,2Dm，故，故0,Mm，由已知直线由已知直线 PQ 斜率存在，设直线斜率存在，设直线 PQ 的方程为的方程为0ykx m k，故，故,2mNmk.与双曲线方程联立得：与双曲线方程联立得：2223163120kxkmxm，由已知得由已知得231k，0，设，设11,P x y，22,Q xy，则则122631kmxxk，212231231mx xk由由PMPN，MQQN 得
10、：得：11mxxk，22mxxk，消去消去得：得：2112mmxxxxkk，5即即121220mx xxxk由由得：得：220k m，由已知，由已知2m，故存在定直线故存在定直线 l：2 2y 满足条件满足条件.22（12 分）分）【解析【解析】（1）2eln2xafxx的定义域为的定义域为2,，21e2xafxx，若若=1x为函数为函数 fx的极值点，则的极值点，则1 211e012af ，解得，解得12a，当当12a 时，时，1eln2xfxx，2,x，令令 11e2xFfxxx，则，则 121e02xxxF，F xfx在区间在区间2,上单调递增，上单调递增，1 111e012f ，当当2
11、,1x 时，时，0fx，fx在区间在区间2,1上单调递减；上单调递减；当当1,x 时，时，()0fx，fx在区间在区间1,上单调递增上单调递增.当当12a 时，时，=1x为函数为函数 fx的极小值点，满足题意，的极小值点，满足题意，即当即当=1x为函数为函数 fx的极值点时，的极值点时，fx在区间在区间2,1上单调递减，在区间上单调递减，在区间1,上单调递增上单调递增.（2）当）当1a时，时，22eln2eln2xaxfxxx设设 elnxg xx，0,x，6则则 1exgxx，易知，易知 gx在在0,上单调递增，上单调递增，又又121e2e402g，1e 10g ，01,12x，使，使0001e0 xgxx，（即（即001exx001lnelnxx00lnxx），当当00,xx时，时，0gx，g x在区间在区间00,x上单调递减，上单调递减，当当0,xx时，时，0gx，g x在区间在区间0,x 上单调递增，上单调递增，g x在在0 xx处取得极小值，也是最小值，处取得极小值，也是最小值，00000minelnexxg xg xxx，当当01,12x时，时，0112293ee42x，00min31e222xg xx，0,x，0eln2xg xxg x，当当2,x 且且1a 时，时，22eln2eln22xaxfxxx，原命题得证，原命题得证.7
