《2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷（含解析）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是()A. f(x)=tanxB. f(x)=x1xC. f(x)=xcosxD. f(x)=x(ex+ex)2.数字串2024，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sin(a2+6)=()A. 12B. 12C. 32D. 323.设f(x
2、)=ax2+bx+c，(a,b,cR).已知关于x的方程f(x)=0有纯虚数根，则关于x的方程f(f(x)=0()A. 只有纯虚数根B. 只有实数根C. 有两个实数根，两个纯虚数根D. 既没有实数根，也没有纯虚数根4.对于集合A中的任意两个元素x，y，若实数d(x,y)同时满足以下三个条件：“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”d(x,y)=d(y,x) 对任意zA，都有d(x,y)d(x,z)+d(y,z) 则称d(x,y)为集合A上的距离，记为dA.对于命题P、命题Q，下列说法正确的是()命题P：d(x,y)=|xy|为dR 命题Q：d(x,y)=|sinxsiny|为dRA. 命题P
3、是真命题，命题Q是假命题B. 命题P是假命题，命题Q是真命题C. 命题P和命题Q都是真命题D. 命题P和命题Q都是假命题二、填空题：本题共12小题，共54分。5.函数y= x2+x+6|x3|的定义域为_6.已知复数z=2+i，则log5|z|= _7.在(x+1x)6的展开式中，常数项为_.(用数字作答)8.已知平面直角坐标系xOy中，A(1,3)，B(2,4)，则三角形AOB面积为_9.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=10.已知向量a=(1,2),b=(x2,2)，且cosa,b=35，则x= _11.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中m、
4、nN.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则mn= _12.已知，为锐角，sin(2+)=4sin，则tan(+)tan= _13.已知P(A)=0.6，P(B|A)=0.5，P(B|A)=0.2，那么P(B)= _14.设l1、l2、l3为空间中三条不同的直线，若l1与l2所成角为=6，l1与l3所成角为=4，那么l2与l3所成角的取值范围为_15.已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，双曲线方程为x2m2y2n2=1(m0,n0)，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为_16.在数列an中，若存
5、在两个连续的三项ai，ai+1，ai+2与aj，aj+1，aj+2相同(ij)，则称an是“3阶可重复数列”.已知给定项数为m(mN,m4)的数列an，其中ai0,1(i=1，2，m)一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是_三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)已知函数f(x)=cos2x+ 3sinxcosx12()求函数f(x)的单调递增区间；()若f(x)在区间0,m上的最大值为1，求m的最小值18.(本小题14分)2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在
6、上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动.为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率(1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)从顾客中随机抽取n人(nN)，记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为Pn，求i=1npi19.(本小题14分)如图所示，在底半径为R、高为H(H,R为定值，且HR)的圆锥内部内接一个底半径为r、高为的圆
7、柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决.甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式(图甲)，乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式(图乙)(1)设V1、V2分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径r为自变量分别表示V1、V2；(2)试分别求V1、V2的最大值(V1)max、(V2)max，并比较(V1)max、(V2)max的大小20.(本小题18分)满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线(1)若圆E：x2+(y2)2=1是集合M=l|l：mx+ny
8、=1，m，nR的包络曲线，求m，n满足的关系式；(2)求证：集合A=l|l：2(a1)xy(a1)2=0，(aR)的包络曲线E为：y=x2；(3)在(2)的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线l1，l2，l1l2=P，P在直线y=x4上若|AB|=2|AP|，求点P的坐标21.(本小题18分)函数F(x)的定义域为DR，如果存在tD，使得F(t)=t，称t为F(x)的一个不动点.函数g(x)=ex+(1 e)xa(aR,e为自然对数的底数)，定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x)=x2，且当x0时，f(x)x(1)求证：f1(x)=f(x)12x2为奇函数；(2)当a变化时，求函
9、数g(x)不动点个数；(3)若存在，x0x|f(x)+12f(1x)+x，且x0为函数g(x)的一个不动点，求a的取值范围答案解析1.D【解析】解：对于A，f(x)=tanx为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意；对于B，f(x)=x1x，定义域为(,0)(0,+)，f(x)=f(x)，所以f(x)为奇函数，在(,0)和(0,+)上分别单调递增，不符合题意；对于C，f(x)=xcosx，f(x)=xcos(x)=xcosxf(x)，故函数不是奇函数，不符合题意；由排除法可知选项D符合题意故选：D由函数的奇偶性与单调性及排除法进行判断即可本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题2.D【解
10、析】解：根据题意，数字串2024，经过一步之后为404，经过第二步之后为303，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即a=123，则sin(a2+6)=sin(1232+6)=cos6= 32故选：D根据题意可得数字a为123，然后利用诱导公式即可求解本题考查合情推理，考查学生的推理能力，属于基础题3.D【解析】解：因为f(x)=ax2+bx+c(a、b、cR)，关于x的方程f(x)=0有纯虚数根，可设为x=mi(m0,mR)，所以a(mi)2+bmi+c=0，所以am2+bmi+c=0，所以bm=0，c=am2，所以b=0，a0，a、c同号，所以f(x)=ax2+c(a0,a,
11、cR)，所以f(f(x)=a(ax2+c)2+c=a(a2x4+2acx2+c2)+c=a3x4+2a2cx2+ac2+c=0，令x2=t0，则a3t2+2a2ct+ac2+c=0，因为=4a4c24a4c24a3c=4a3c=4a2ac0，所以x2=2a2ci 4a3c2a3=ca aca2i，所以x不可能为纯虚数，也不可能为实数，即关于x的方程f(f(x)=0既没有实数根，也没有纯虚数根故选：D可设x=mi(m0,mR)是方程f(x)=0的根，代入方程得出b=0，a0，a，c同号，再求f(f(x)=0，得出x2，由此求出结果本题考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题
12、4.A【解析】解：对于命题P，当x，yR时，d(x,y)=|xy|=0，即x=y；若x=y，则d(x,y)=|xy|=|xx|=0，所以“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”，故d(x,y)=|xy|=|yx|=d(y,x)；对任意z，x，yR，|xy|=|(xz)+(zy)|xz|+|zy|，故命题P为真命题对于命题Q，当x，yR时，d(x,y)=|sinxsiny|，即d(x,y)=|sinxsiny|=0，即sinx=siny，此时若x=0，y=，则xy，故命题Q为假命题故选：A直接根据新定义对命题P，Q判断即可得出所求的答案本题考查命题的真假判断，考查学生的逻辑思维能力，属中档题5
13、.2,3)【解析】解：y= x2+x+6|x3|，则x2+x+60|x3|0，解得2x3，故函数的定义域为2,3)故答案为：2,3)根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目6.12【解析】解：由题意，|z|= 4+1= 5，则log5|z|=log5 5=12故答案为：12根据复数的模长以及对数的运算求解本题考查复数的模长，属于基础题7.20【解析】解：Tk+1=C6kx6kxk=C6kx62k令62k=0得，k=3常数项为T4=C63=20故答案为：20求出通项，并令x的指数为零
14、即可本题考查二项式展开式的应用属于基础题8.5【解析】解：A(1,3)，B(2,4)，则|AB|= (12)2+(3+4)2=5 2，kAB=3(4)12=7，故直线AB的方程为y3=7(x1)，即7x+y10=0，点O到直线的距离d=|0+010| 72+12= 2，故三角形AOB面积为12|AB|d=125 2 2=5故答案为：5根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及点到直线的距离公式，即可求解本题主要考查三角形的面积公式，属于基础题9.13【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可【解答】解：随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，可得np=30，np(1p)=20，则p=13，故答案为：1310.1【解析】解：因为向量a=(1,2),b=(x2,2)，所以ab=4x2，|a|= 5，|b|= 4+x4，则cosa,b=35=4x2 5 4+x4，整理得，
