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1、2023-2024学年广东省茂名市高二下学期教学质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx+1x40，则AB=A. (0,1)B. (0,4)C. (1,0)D. (4,0)2.复数z=i1i，则复数z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.函数f(x)=xln|x|的图象大致为A. B. C. D. 4.已知直线2x+y2=0与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，则|AB|=A. 5B. 5C. 3 5D. 4 55.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项
2、的和为264，所有偶数项的和为253，则此数列的项数是A. 43B. 45C. 47D. 496.已知函数f(x)=1x21+x2，则不等式f(2x1)0,09”，B=“mn为偶数”，C=“m+n为奇数”，则A. p(A)=16B. p(AB)=15C. p(AC)=19D. B与C互斥11.已知函数f(x)=a3x3ax23ax+b，其中实数a，bR，且a0，则A. 当a=1时，f(x)没有极值点B. 当f(x)有且仅有3个零点时，ba53,9C. 当b=113a时，f(x+1)为奇函数D. 当ma3+b,+时，过点A(0,m)作曲线f(x)的切线有且只有1条三、填空题：本题共3小题，每小题
3、5分，共15分。12.已知圆锥的底面直径为2 2，母线长为2，则此圆锥的体积是_13.已知数列an1是首项为23，公比为13的等比数列，且a1+a2+a3+an0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与y轴交于点B，与E交于点A，且F2B=32F2A，点F1在以AB为直径的圆上，则E的渐近线方程为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC边的中点(1)证明：A1B/平面ADC1；(2)若AB=2，三棱锥CADC1的体积为 33，求二面角DAC1C的余弦值16.(本小题15分)已知
4、函数f(x)=(x+a)lnx+1，aR(1)若f(x)在点(1,1)处的切线的斜率为1，求f(x)的极值；(2)若a=1，证明：当0x1时，f(x)b0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为 32(1)求E的方程；(2)设M(1,0)，直线x=n(nR且n1)与E交于不同的两点B，C，若直线BM与E交于另一点D，则直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由19.(本小题17分)某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为13，答错的概率都为23，且每次
5、答对与否相互独立记第n次答题得分为Xn(1)求p(X3=4)；(2)求Xn(n2)的分布列和期望；(3)在游戏开始前，该同学有两个选择，从第2次开始，若第n次得分刚好为n时，则该同学获得胜利，游戏结束从第1次开始，若第n次得分刚好为2n时，则该同学获得胜利，游戏结束已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大参考答案1.B2.B3.A4.B5.C6.D7.C8.C9.BC10.AC11.BCD12.2 2313.9914.y=2 55x.15.解：(1)连接A1C，与AC1交于点E，连接DE，D、E分别为BC、A1C边的中点，DE/A1B，又DE平面ADC1，A1B平面ADC1
6、，A1B/平面ADC1(2)V三棱锥CADC1=V三棱锥C1ADC=13CC1SADC=CC13 32= 33，CC1=2，正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1AD，又ABC是正三角形，D是BC边的中点，BCAD，又BCBB1=B，且BC，BB1平面BB1C1C，AD平面BB1C1C，取B1C1的中点D1，则DC，DA，DD1两两垂直，故以D为原点，DA，DB，DD1分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A( 3,0,0)，C1(0,1,2)，C(0,1,0)，DA=( 3,0,0)，DC1=(0,1,2)，CC1=(0,0,2)，CA=
7、( 3,1,0)，记平面DAC1，平面AC1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1)，n2=(x2,y2,z2);则DAn1=0DC1n1=0,CAn2=0CC1n2=0,即 3x1=0y1+2z1=0，2z2=0 3x2+y2=0故可取z1=1，x2=1，则n1=(0,2,1)，n2=(1, 3,0)，cos=n1n2|n1|n2|=2 3 52= 155，又二面角DAC1C所成的平面角是锐角，故其余弦值为 15516.解：(1)f(x)=lnx+ax+1且f(x)图象在点(1,1)处切线的斜率为1，f(1)=a+1=1，则a=0，即f(x)=xlnx+1，x(0,+)，又f(x)=lnx
8、+1，当0x1e时，f(x)1e时，f(x)0，f(x)单调递增又f(1e)=11e，当x=1e时，f(x)取得极小值11e，无极大值(2)a=1，f(x)=(x+1)lnx+1，令g(x)=(x+1)lnx+1x，x(0,1)，g(x)=lnx+1x令(x)=g(x)=lnx+1x，且(x)=1x1x2=x1x2当0x1时，(x)0，g(x)在(0,1)单调递增，且g(1)=0g(x)g(1)=0，即g(x)=f(x)x0，当0x1时，f(x)x17.解：(1)由正弦定理得 3sinB=2sinC(12sinA+ 32cosA)=sinCsinA+ 3sinCcosA， 3sinB= 3si
9、n(A+C)= 3sinAcosC+ 3sinCcosA，sinCsinA= 3sinAcosC，又sinA0，tanC= 3，又C(0,)，C=3(2)记a=3m，则c= 7m;由余弦定理cosC=a2+b2c22ab，即12=9m2+b27m26mb，b=m，或b=2m，b=m时，角A对的边最大，且cosA=b2+c2a22bc=1+792 70，符合;法一：又A(0,)，tanA=3 21 7=3 3;cosB=a2+c2b22ac=9+746 7=2 77，又B(0,)，tanB= 212 7= 32，1tanA+1tanB=13 3+2 3=7 39法二：又A(0,)，sinA=3
10、2114，cosB=a2+c2b22ac=9+746 7=2 77，又B(0,)，sinB= 217，1tanA+1tanB=cosAsinA+cosBsinB=cosAsinB+cosBsinAsinAsinB=sin(A+B)sinAsinB=sinCsinAsinB= 323 2114 217=7 3918.解：(1)由题意可得，b=1，又由a2=c2+1ca=12，得a=2，c= 3，所以E的方程为x24+y2=1(2)显然直线BM的斜率不为0，设直线BM的方程为x=my1，B(x1,y1)，D(x2,y2)，C(x1,y1)，由x=my1 x24+y2=1，消去x整理得(4+m2)y
11、22my3=0，mR，=(2m)24(4+m2)(3)0，所以y1+y2=2m4+m2，y1y2=34+m2，直线CD的方程为y=y1y2x1x2(xx2)+y2，根据BC的对称性可知，若直线CD恒过定点，则定点在x轴上，令y=0，解得x=x2+y2(x1x2)y1+y2=x1y2+x2y1y1+y2=(my11)y2+(my21)y1y1+y2=2my1y2y1+y21，=2m34+m22m4+m21=4，所以直线CD过定点(4,0)19.解：(1)由题意可知X3=4表示事件“第1次答错，第2、3次均答对”，p(X3=4)=231313=227(2)Xn可取1，2，4，2n且Xn=1表示事件“第n次答错”，所以p(Xn=1)=23，当n2时，Xn=2k，k=1，2，3，n1，表示事件“第nk次答错，第nk+1，nk+2，n次均答对”，所以p(Xn=2k)=23(13)k=23k+1，k=1，2，3，n1，Xn=2n表示事件“第1，2，3，n次都答对p(Xn=2n)=(13)n=13n，所以p(Xn=2k)=23k+1k=0.1.2n1.13nk=n,所以Xn的分布列为：Xn1242n12np2323223323n13nE(Xn)=k=0n(2kp(Xn=2k)=k=0n1(2k23k+1)+2n13n=23(1(23)n)12
