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1、普通高等学校招生全国统一考试冲刺压轴卷（三）数学本试卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，且，则实数的取值范围是（）ABCD2复数复平面内对应的点位于（）A直线上B直线上C直线上D直线上3抛掷一枚骰子两次，
2、将得到的点数分别记为，则能构成三角形的概率是（）ABCD4已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（）ABCD5已知椭圆的左、右焦点分别为，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于两点.若，设椭圆的离心率为，则（）ABCD6若的最小值是4，则实数的值为（）A6或B或18C6或18D或7已知函数，若且，则的最小值为（）A11B5C9D78在菱形中，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知向量，则（）A若，则B
3、在方向上的投影向量为C存在，使得在方向上投影向量的模为1D的取值范围为10设分别为函数的极大值点和极小值点，且，则下列说法正确的是（）A为的极小值点BCD11随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（）AC的渐近线方程为B过点作，垂足为H，则C点N的坐标为D四边形面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，
4、共15分.12计算： .13五一长假期间，某单位安排这3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知在五一长假期间值班2天，则连续值班的概率是 .14某数学兴趣小组在阅读了选择性必修第一册中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣书上说，斐波那契数列满足：，的通项公式为.在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列该学习兴趣小组成员也提出了一些结论：数列是严格增数列；数列的前n项和满足；.那么以上结论正确的是 （填序号）四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15已知函数.(1)求曲线过点的切线方程；(2)若，求
5、的取值范围.16如图，在四棱锥中，平面，点是的重心.(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.17某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择.为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，数据如下：单位：人男生女生合计同意7050120不同意305080合计100100200(1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？(2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择.若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.记事件为“甲学生选择足球”，事件为“甲、
6、乙两名学生的选择不同”，判断事件是否独立，并说明理由.若该校所有学生每分钟跳绳个数.根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟跳182个以上人数（结果四舍五入到整数）.参考公式和数据：，其中.0.0250.0100.0055.0246.6357.879若，则，.18已知A，B是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足，其中是常数，且(1)设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；(2)若点P为半圆上的动点，且，求四
7、边形ABDC面积的最大值19设数列A： ， , ().如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得，则 ；（3）证明：若数列A满足- 1（n=2,3, ,N）,则的元素个数不小于 -.1C【分析】利用集合间的关系，建立不等式求解，注意集合元素的互异性【详解】根据题意得到，由，得，解得故实数的取值范围是.故选：C.2B【分析】利用复数的乘方运算以及除法法则可得，求得其对应点坐标可得结论.【详解】易知，所以，可得复数复平面内对应的点坐标为，位于直线上.故
8、选：B3A【分析】按照分类讨论的方法求出能够构成三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】因为三角形两边之和大于第三边，所以，又因为最大为，所以当时，有共六种情况，当时，有共五种情况，当时，有共四种情况，当时，有共三种情况，当时，有共两种情况，当时，有一种情况，所以共有种情况，而总的可能数有种，所以概率为，故选：A.4D【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果.【详解】易知直线恒过定点，直线恒过定点，且，易知直线与互相垂直，即可得，所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为；可得点轨
9、迹方程为；又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点，当两圆内切（圆在外）时，取得最大值；此时满足，解得.故选：D5B【分析】根据题意，得到四边形为矩形，由直线过原点且倾斜角为，在和中，利用余弦定理计算得，结合椭圆的定义,求得离心率，进而计算出.【详解】如图所示，因为，且分别为和的中点，所以四边形为矩形，又直线过原点且倾斜角为，即，且为等腰三角形，所以，在中，根据余弦定理可得，即，同时，在中，根据余弦定理可得，即，所以，可得，.故选：B.6A【分析】分，三种情况，得出每种情况下的最小值，令其为4，解出的值.【详解】当时，解得，符合题意；当时，解得，符合题意；当时，舍掉.故选：A.7D【分析】根据可
10、知函数的一条对称轴为，可得，求得，再根据正弦函数在处取得最小值，列出方程可求得结论.【详解】由可知，在取得最小值，所以函数的一条对称轴为，又，因此，即；所以，又在取得最小值，可知，解得，又，所以时，取得最小值为7.故选：D8C【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答.【详解】如图所示：由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足，由勾股定理得，所以，设点为外接圆的圆心，则外接圆的半径为，设点为外接圆的圆心，同理可得外接圆的半径为，如图所示：设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点，而均垂直平分，所以点在面，面内的射影分别在直线上，即，由题意，且二面角为直二面角，即面
11、面，所以，即，可知四边形为矩形，所以，由勾股定理以及，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.9ACD【分析】由垂直向量的数量积表示可判断A；由投影向量的计算公式
12、可判断B，C；由向量的模长公式结合三角函数的性质可判断D.【详解】对于A，若，则，则，即，所以，故 A正确；对于B，在方向上的投影向量为，故B错误；对于C，在方向上的投影向量的模为，若，则，即，其中，所以，所以存在，使得在方向上的投影向量的模为1，故C正确.对于D，,因为所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD.10AC【分析】求出函数的导数，由极大值小于1确定出的取值范围，再逐项求解判断即得答案.【详解】函数的定义域为，求导得，由分别是函数的极大值点和极小值点，得有两个不等的正根，即且，若，当或时，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，在处取得极小值，即，满足，若，当或时
13、,，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，在处取得极小值，即，不满足，因此，且为的极小值点，A正确，B错误；显然，C正确；，当时，D错误.故选：AC【点睛】关键点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论.11ABD【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；根据双曲线的光学性质可推得点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断B项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判
14、断D项.【详解】对于A项，由已知可得，所以双曲线的渐近线方程为，故A项正确；对于B项，如图，且满足，所以直线的方程为，联立化简得，由于，即为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点.则垂直平分，即点为的中点.又是的中点，所以，故B项正确；对于C项，设，则，整理可得.又，所以有，所以有，解得，所以点的坐标为，故C项错误；，当且仅当，即时，等号成立.所以，四边形面积的最小值为，故D项正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用光学性质得点为的中点，结合双曲线的定义求解，注意平面几何的特性是解决此类问题的捷径.12【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意故答案为：13#0.4【分析】根据条件概率公式可求出结果.【详解】记“在五一长假期间值班2天”，“连续值班”，则种，种，所以.所以已知在五一长假期间值班2天，则
