《第06讲 空间向量及其运算的坐标表示（七大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第06讲 空间向量及其运算的坐标表示（七大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第06讲 空间向量及其运算的坐标表示【题型归纳目录】题型一：空间向量的坐标表示题型二：空间向量的直角坐标运算题型三：空间向量的共线与共面题型四：空间向量模长坐标表示题型五：空间向量平行坐标表示题型六：空间向量垂直坐标表示题型七：空间向量夹角坐标表示【知识点梳理】知识点一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.2、右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中
2、指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3、空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.知识点二、空间直角坐标系中点的坐标1、空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.2、空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是
3、；点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是.知识点三、 空间向量的坐标运算(1)空间两点的距离公式若，则即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。，或.知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。(2)空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.(3)向量加减法、数乘的坐标运算若，则;(4)向量数量积的坐标运算若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。(5)空间向量
4、长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则(1).(2).知识点诠释：夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是.用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与的关系(相等，互余，互补)。(6)空间向量平行和垂直的条件若，则规定：与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直.【典例例题】题型一：空间向量的坐标表示例1在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是()ABCD【答案】C【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.故选：C.例2已知平行四边形，且，则顶点的坐标为()ABCD【答案】D【解析】设，则，由题意得：，即，解得：，故顶点的坐标为.故选：D例3已知，则向量的坐
5、标是()ABCD【答案】B【解析】因为，所以，故选：B例4平行六面体中，则点的坐标为()ABCD【答案】B【解析】设，又，解得，即.故选：B.例5在空间直角坐标系中，则向量()ABCD【答案】B【解析】因为，所以向量故选：B.例6若，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是_.【答案】【解析】点，为线段上一点，且，所以，设点的坐标为，则，则，即，解得，即；故答案为：例7已知点，则点的坐标为_【答案】【解析】点，则设点，则由，则 ，即，所以点的坐标为故答案为：例8已知点，若点为线段AB上靠近的三等分点，则点的坐标为_.【答案】【解析】由题设，而，令，则，可得，即.故答案为：例9如图所示，在正方体AB
6、CDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为_，的坐标为_，的坐标为_【答案】 【解析】如题图示，.故答案为：，.题型二：空间向量的直角坐标运算例10已知，则()A-5B-7C3D【答案】B【解析】，故选：B例11若，则()A-11B3C4D15【答案】C【解析】由已知，.故选：C例12已知向量,则()ABCD【答案】B【解析】向量,.故选:B.例13已知，则()ABCD【答案】B【解析】因为，所以.故选：B例14已知向量，若，则()ABCD【答案】B【解析】由题意知，由，得，解得.故选：B.例15已知，则等于()A B C D【答案】B【解析】.故选：B.例16已
7、知向量则的坐标为()A B C D【答案】B【解析】由题可得，故选:B.题型三：空间向量的共线与共面例17已知，若与共线，则实数()A-2BCD2【答案】B【解析】，.与共线，即.故选：B.例18与向量共线的单位向量可以为()ABCD【答案】D【解析】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或.故选：D例19在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则()ABCD【答案】B【解析】，若三点共线，则有，得，解得，.故选：B例20已知向量，则与同向共线的单位向量()ABCD【答案】C【解析】因为向量，所以，所以与同向共线的单位向量为：，故选：C.例21若,且,为共线向量,则的值为()A2BC6D8【答案
8、】A【解析】解:由题知,为共线向量,因为,所以有,解得,故.故选:A例22若三点共线，则()A1B4C6D2【答案】D【解析】因为，所以，由三点共线，则有与共线，所以，解得：，所以，故选：D.例23已知向量，若共面，则实数的值为()AB1CD【答案】D【解析】因为共面，则设，所以，解得，所以，故选：D.例24已知，若三向量共面，则实数等于()ABCD【答案】C【解析】共面，可设，即，解得：.故选：C.例25已知向量共面，则实数的值是()A1BC2D【答案】C【解析】因为共面，所以存在，使得，整理得，解得.故选：C.例26若空间四点共面，则的值为()AB2C1D【答案】D【解析】因A，B，C，D
9、四点共面，则存在有序实数对，使得.又.则，得.故A，B，C错误，D正确.故选：D题型四：空间向量模长坐标表示例27设空间向量，若，则_【答案】3【解析】，则显然，解得，则，故答案为：3.例28，则_【答案】6【解析】因为，所以，所以；故答案为：.例29已知.则_【答案】【解析】因为，且，所以，解得，则，故，所以.故答案为：例30已知点是点关于坐标平面yoz内的对称点，则_【答案】3【解析】因为点是点关于坐标平面yoz内的对称点，所以点坐标为,所以，所以.故答案为：3例31若，则_【答案】【解析】因为，所以，则.故答案为：.例32若，则_【答案】【解析】，.故答案为：.题型五：空间向量平行坐标表
10、示例33在空间直角坐标系中，若，则实数_.【答案】4【解析】由题意得，即，所以，解得.故答案为：4例34已知向量与向量平行()，则的值为_.【答案】【解析】因为向量与向量平行，所以，则，解得，所以，故答案为：.例35已知空间向量，且与是共线向量，则实数x的值为_【答案】【解析】设，则，解得：.故答案为：-6例36已知空间向量与共线，则_.【答案】【解析】空间向量与共线，则存在实数，使得，则，解得，所以.故答案为：.题型六：空间向量垂直坐标表示例37已知，单位向量满足，则_【答案】或【解析】设向量，其中，因为且，可得，即，将代入，可得或，所以向量的坐标为或.故答案为：或.例38已知空间向量，若，
11、则_.【答案】【解析】空间向量，由，得，解得，所以.故答案为：例39已知向量，若，则的值为_.【答案】【解析】因为向量，且，则，可得.故答案为：.例40已知向量，且与互相垂直，则的值是_【答案】【解析】因为与互相垂直，所以，解得故答案为：例41已知空间向量，若，则x=_.【答案】1【解析】空间向量，由，得，解得，所以.故答案为：1题型七：空间向量夹角坐标表示例42已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】因为向量，且与的夹角为钝角，所以，且，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：例43在空间直角坐标系中，已知，则、夹角的余弦值是_【答案】【解析】因为，由空间向量的夹角公
12、式可得，所以、夹角的余弦值是，故答案为：.例44已知向量，若与夹角为，则k的值为_【答案】【解析】，所以，可知，解得：故答案为：.例45已知、，则向量与的夹角大小为_【答案】【解析】由题意得，与的夹角为故答案为：.例46若向量，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为_【答案】3【解析】向量，又夹角的余弦值为，解得故答案为:例47已知向量，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是_.【答案】【解析】因为，所以，解得，所以，所以，因为向量与所成角为钝角，所以，解得，若向量与共线，则，解得，此时与共线同向，综上可得.故答案为：例48已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.【答案】且【解析】因为，所以，因为向量与的夹角为锐角，所以，解得，当时，解得，所以实数的取值范围为且.故答案为：且.【过关测试】一、单选题1下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是()ABCD【答案】B【解析】对于A，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；对于B，设，所以三
