《第08讲 直线的倾斜角与斜率（七大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第08讲 直线的倾斜角与斜率（七大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第08讲 直线的倾斜角与斜率【题型归纳目录】题型一：直线的倾斜角与斜率定义题型二：斜率与倾斜角的变化关系题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数题型四：直线与线段相交关系求斜率范围题型五：直线平行题型六：直线垂直题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用【知识点梳理】知识点一：直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是知识点诠释：1、要清楚定义中含有的三个条件直线向上方向；轴正向；小于的角2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向
2、旋转到与直线重合时所成的角3、倾斜角的范围是当时，直线与x轴平行或与x轴重合4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置知识点二：直线的斜率1、定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即知识点诠释：(1)当直线与x轴平行或重合时，；(2)直线与x轴垂直时，k不存在由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在2、直线的倾斜角与斜率之间的关系由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线
3、的斜率为零；当时，直线的斜率不存在直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然知识点三：斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式知识点诠释：1、对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；(2)与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；(5
4、)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由、点的坐标求的值；(2)已知及中的三个量可求第四个量；(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；(4)证明三点共线知识点四：两直线平行的条件设两条不重合的直线的斜率分别为若，则与的倾斜角与相等由，可得，即因此，若，则反之，若，则知识点诠释：1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率存在分别为；不重合；2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则知识点五：两直线垂直的条件设两条直线的斜率分别为若，则知识点诠释：1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2、当一条垂直直线的斜率不存
5、在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直【典例例题】题型一：直线的倾斜角与斜率定义例1直线的倾斜角为()ABCD【答案】A【解析】因为直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为.故选：A.例2对于下列命题：若是直线l的倾斜角，则；若直线倾斜角为，则它斜率；任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角其中正确命题的个数为()A1B2C3D4【答案】B【解析】对于：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则正确；对于：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以错误；对于和：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以正确；错误；其中正确说法的个
6、数为2.故选：B.例3已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为()A或B或C或D或【答案】C【解析】，即，设直线的倾斜角为，则，夹角为，故或.故选：C.例4直线经过，两点，则直线的倾斜角是()ABCD【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，由已知可得直线的斜率，又，所以倾斜角是，故选：B.例5已知直线经过点，该直线的倾斜角为()ABCD【答案】C【解析】因为直线过点，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：C.例6直线n的倾斜角为150，则它的斜率k()ABCD【答案】B【解析】它的斜率k.故选：B题型二：斜率与倾斜角的变化关系例7已知直线过，两点，且倾斜角为，则()ABCD【
7、答案】C【解析】因为直线过，两点，且倾斜角为，所以，解得，故选：C.例8若如图中的直线的斜率为，则()ABCD【答案】C【解析】设直线的倾斜角分别为，显然，且，所以，又在上单调递增，故，所以.故选：C例9直线的倾斜角的取值范围是()ABCD【答案】C【解析】由题意知,若 a = 0,则倾斜角为,若,则,当时，(当且仅当时，取“”)，当时，(当且仅当时，取“”)，故，综上，故选：C.例10若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为()ABCD【答案】C【解析】因为直线的斜率，又因为直线的倾斜角为锐角，所以，解得.故选：C例11已知直线的斜率为,则的倾斜角为()ABCD【答案】D【解析】解:
8、因为斜率为-1,设直线倾斜角为,所以,即.故选:D例12若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为()A或B或C或D或【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，因为，所以，当时，即，则；当时，即，则，所以直线的倾斜角为或.故选：C.题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数例13经过点的直线的斜率为()ABCD【答案】C【解析】故选：C.例14已知，则直线的斜率为()ABCD7【答案】B【解析】因为，所以线的斜率为.故选：B.例15已知直线斜率等于，则该直线的倾斜角为()ABCD【答案】D【解析】设该直线的倾斜角为，则由，得，又，所以.故选：D.例16若过两点，的直线的倾斜角为150，则的值为()AB0CD3
9、【答案】B【解析】因为过两点，的直线的倾斜角为150，所以直线斜率为 ，即，解得.故选：B.例17若直线经过两点，且其倾斜角为135，则m的值为()A0BCD【答案】D【解析】经过两点，的直线的斜率为，又直线的倾斜角为135，解得故选：D例18设为实数，已知过两点，的直线的斜率为，则的值为()A2B3C4D5【答案】C【解析】因为过两点，的直线的斜率为，所以，解得.故选：C题型四：直线与线段相交关系求斜率范围例19已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是()ABCD【答案】B【解析】直线的斜率分别为,结合图形可知：直线过点且与线段相交时，故选：B例20已知、，若直线经过点，且与线
10、段有交点，则的斜率的取值范围为()ABCD【答案】D【解析】过点作，垂足为点，如图所示：设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，当点在从点运动到点(不包括点)时，直线的倾斜角逐渐增大，此时；当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故选：D.例21已知点，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是()ABCD【答案】D【解析】由斜率公式可得，得， 由图像可知，当介于之间时，直线斜率的取值范围为，当介于之间时，直线斜率的取值范围为 ，所以直线的斜率的取值范围为，故选：D例22已知两点，过点的直线与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为()ABCD【答案】
11、A【解析】由题意：如下图所示：所以，则，若直线的倾斜角，则，所以，故选：.例23经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是()ABCD【答案】B【解析】由题知，直线的倾斜角为，则，且直线与连接点，的线段总有公共点，如下图所示，则，即，.故选：B例24已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是()ABCD或【答案】A【解析】设直线与线段交于点，其中，所以，.故选：A.题型五：直线平行例25已知直线l1：xmy2m20，直线l2：mxy1m0，当时，m_【答案】1【解析】因为，且斜率一定存在，所以，即，又因为，为两条不同的直线，所以，所以故答案为：1
12、例26已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线与的位置关系是_【答案】平行或重合【解析】由已知，得，但直线在y轴上的截距不确定，直线与的位置关系是平行或重合故答案为：平行或重合例27直线的倾斜角为，直线过，则直线与的位置关系为_.【答案】平行或重合【解析】倾斜角为的斜率过点，的斜率与平行或重合本题正确结果：平行或重合例28已知直线：，：.当时，_.【答案】【解析】当时，则需满足，解得，故答案为：例29已知两条直线和互相平行，则正数a的值为_.【答案】2【解析】根据两条直线的方程可以得出它们的斜率分别是，;因为两条直线平行，所以有，解得或.又因为，所以.经检验符合题意.故答案为：2.例30已知直线
13、，若，则实数_【答案】【解析】因为直线，且,所以，解得或，当直线，两直线重合，故舍去.故答案为：题型六：直线垂直例31直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是_【答案】垂直【解析】当时，直线过点和点，直线过点和点，此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此；当时，直线过点和点，直线过点和点此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此；当时，直线的斜率，直线的斜率，此时，故答案为：垂直.例32已知三点，则ABC为_ 三角形.【答案】直角【解析】如图，猜想是直角三角形，由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，由，得即，所以是直角三角形.故答案为：直角.例33已知两条直线的斜率是方程的两个根，则与的位置关系是_【答案】垂直【解析】解析由方程，知恒成立.故方程有两相异实根，即与的斜率均存在.设两根为，则 ，所以 故答案为：垂直例34已知直线与直线垂直，则实数a的值为_【答案】或【解析】因为直线与直线垂直，则，解得或.故答案为：或.例35已知经过点和点的直线l1与经
