《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第10讲 圆的方程（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第10讲 圆的方程（教师版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第10讲 圆的方程【题型归纳目录】题型一：圆的标准方程题型二：圆的一般方程题型三：点与圆的位置关系题型四：二元二次曲线与圆的关系题型五：圆过定点问题题型六：轨迹问题【知识点梳理】知识点一：圆的标准方程，其中为圆心，为半径知识点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法知识点
2、二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内知识点三：圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程为圆心，为半径知识点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解它表示一个点(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程(2)根据已知条件，建立关于或的方程组(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程知识点五：轨迹方程求
3、符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法)2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等3、求轨迹方程的步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用表示轨迹(曲线)上任一点的坐标；(2)列出关于的方程；(3)把方程化为最简形式；(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；(5)作答【典例例题】题型一：圆的标准方
4、程例1圆关于直线对称的圆是()ABCD【解析】圆圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，则，解得，所以点关于直线对称的点为，所以圆关于直线对称的圆是.故选：D.例2已知圆C的圆心在直线2xy70上，且圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆C的标准方程为()A(x2)2(y3)25B(x2)2(y3)25C(x2)2(y3)25D(x2)2(y3)25【解析】设圆心，因为，所以，解得，则半径为，圆心.即圆C的标准方程为.故选：B例3已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的标准方程为()ABCD【解析】设圆的标准方程为，因为圆经过点，且圆心在直线上，所以有，因此圆的标准方程为，故选：A题型
5、二：圆的一般方程例4三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是()ABCD【解析】设所求圆方程为,因为，三点都在圆上，所以，解得，即所求圆方程为：.故选：C.例5已知圆经过两点，且圆心在直线上，则圆的方程为()ABCD【解析】设圆的一般方程为，圆心坐标为，因为圆经过两点，且圆心在直线上，所以，解得，所以圆的方程为.故选：C.题型三：点与圆的位置关系例6点P(m，3)与圆(x2)2(y1)22的位置关系为()A点在圆外B点在圆内C点在圆上D与m的值有关【解析】将点P(m，3)坐标代入(x2)2(y1)22中，有： 恒成立，故点P在圆外，故选：A.例7点与圆的位置关系是()A在圆内B在圆外C在圆上D不
6、确定【解析】因为，所以点在圆外.故选：B题型四：二元二次曲线与圆的关系例8(多选题)方程表示圆，则实数a的可能取值为()A4B2C0D【答案】AD【解析】把方程整理成，即，若表示圆则满足即，即所以或，观察答案中只有和符合题意.故选：AD例9(多选题)已知方程，下列叙述正确的是()A方程表示的是圆.B当时，方程表示过原点的圆.C方程表示的圆的圆心在轴上.D方程表示的圆的圆心在轴上.【答案】BC【解析】由得：；对于A，若，即，则方程不表示圆，A错误；对于B，当时，方程为，则方程表示以为圆心，半径为的圆，此圆经过原点，B正确；对于CD，若方程表示圆，则该圆圆心为，半径为，则圆心在轴上，不在轴上，C正
7、确，D错误.故选：BC.题型五：圆过定点问题例10对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为_ 【答案】或【解析】，即，令，解得，或，所以定点的坐标是或故答案为：或.例11对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为_.【答案】、【解析】由由得，故，解得或.故填：、.例12已知方程表示圆，其中，且a1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是_.【答案】【解析】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆.由，解得即定点坐标为.故答案为题型六：轨迹问题例13已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆C：上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么【解析】设点P的坐标为，点A的坐标为，又，且P为线
8、段AB的中点，所以，则.因为点A在圆C：上运动，即有，代入可得，整理可得，化为标准方程可得.所以，中点P的轨迹方程为，该轨迹为以为圆心，1为半径的圆.例14已知方程表示圆，其圆心为.(1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；(2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程.【解析】(1)方程可变为：由方程表示圆，所以，即得，.圆心坐标为.(2)当时，圆方程为：，设，又为线段的中点，的坐标为则，由端点在圆上运动，即线段中点的轨迹方程为.例15已知圆经过，三点.(1)求圆的方程；(2)设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程.【解析】(1)设圆的方程为，将三点，分别代入
9、方程，则，解得，所以圆的方程为；(2)设，因为点满足，所以，则，所以.因为点在圆上运动，所以，所以，所以，所以点的轨迹方程为.【过关测试】一、单选题1若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为()A0或2B0或-2C0或D-2或2【答案】A【解析】将圆的方程化为标准方程为：，所以，圆心为，半径.因为圆心到直线的距离为，所以，即，所以，所以或.故选：A.2已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为()ABCD【答案】A【解析】由题意知,圆的圆心与关于直线对称，且两圆半径相等，因为圆，即，所以圆心，半径为，设圆关于直线对称点为，则，解得，即，所以圆的方程为，即.故选：A.3若点在圆的内部，则a的取值范
10、围是().ABCD【答案】D【解析】由题可知，半径，所以，把点代入方程，则，解得，所以故a的取值范围是.故选：D4动直线平分圆的周长，则的最小值()ABCD【答案】D【解析】由题意，动直线过圆的圆心，则，又，则，当且仅当且，即时，等号成立，故的最小值为.故选：D.二、填空题5若l是经过点和圆的圆心的直线，则l在y轴上的截距是_【答案】【解析】将圆化为标准方程可得，所以圆心为.代入直线的两点式方程，整理可得.所以，l在y轴上的截距是.故答案为：.6圆过点、，求面积最小的圆的一般方程为_【答案】【解析】当为圆的直径时，过、的圆的半径最小，从而面积最小因为点、，线段的中点为，故所求圆的半径为，所以，
11、所求圆的方程为，即.故答案为：.7过圆外一点作圆的两条切线，切点A、B，则的外接圆的方程是_【答案】【解析】由圆，得到圆心O坐标为，, ，的外接圆为四边形的外接圆，如图所示，又，外接圆的直径为，半径为，外接圆的圆心C为线段OP的中点，即，则的外接圆方程是故答案为：8在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段AP的中点的轨迹方程是_【答案】【解析】如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为的一条中位线，即有DQOP，且，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上，所以Q的轨迹方程为.故答案为：.三、解答题9已知圆C经过点且圆心C在直线上.(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.【解析】(1)由题可设圆C的标准方程为，则，解之得，所以圆C的标准方程为；(2)设M(x，y)，由及M为线段EF的中点得，解得,又点E在圆C：上，所以有，化简得：,故所求的轨迹方程为10已知圆经过两点，圆心在直线上.(1)求出这个圆的标准方程；(2)当点到直线的距离最大时，求的值.【解析】(1)设圆的圆心为，圆的一般方程为，由方程可知，由条件在直线上，两点在圆上，联立方程组，解得，为所求的圆的标准方程.(2)直线化为，直线经过定点，当与直线垂直时，距离最大，故直线斜率为，解得.第 10 页 共 10 页
