《第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（五大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（五大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【题型归纳目录】题型一：异面直线所成的角题型二：线面角题型三：二面角题型四：距离问题题型五：体积问题【知识点梳理】知识点1、求点线、点面、线面距离的方法 (1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OAa，连接PA，则以PAa则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示) (2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离 (3)求点面距离的常用方法：直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解 转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距
2、离来求解 体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解知识点2、异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤： (1)找(或作出)异面直线所成的角用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线 (2)求转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角(3)结论设(2)所求角大小为若，则即为所求；若，则即为所求知识点3、直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形知识点4、作二面角的
3、三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图，则AOB为二面角-l-的平面角 (2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角如图，AOB为二面角-l-的平面角(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角如图，为二面角的平面角知识点5、求体积的常用方法选择合适的底面，再利用体积公式求解【典例例题】题型一：异面直线所成的角例1如图，四面体中，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的
4、大小是()ABCD【答案】A【解析】如图，取中点，连接、，因为E，F分别是的中点，所以，又，所以，因为，所以，所以在中，所以，因为，根据等角定理可知，与所成的角的大小是，故B，C，D错误.故选：A.例2如图，在长方体中，且为的中点，则直线与所成角的大小为()ABCD【答案】C【解析】取的中点，连接，所以，直线与所成角即为直线与所成的，所以，在中由余弦定理可得,因为，所以.故选：C.例3在正方体中，分别是的中点，则异面直线和所成角的弧度数为()ABCD【答案】B【解析】在正方体中，因为分别是的中点，可得，又因为分别是的中点，可得，所以异面直线和所成的角，即为，在等腰直角中，可得，所以异面直线和所
5、成的角为.故选：B.题型二：线面角例4如图，四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，且，求直线AC与平面APD所成的角的正弦值；【解析】设点到平面的距离为，由知，因为平面，平面，故，又，平面，故平面又平面，所以，则，可得，矩形ABCD中，所以直线与平面所成的角的正弦值是例5如图，在正方体中，(1)求证：平面；(2)求直线和平面所成的角【解析】(1)在正方体中，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面；(2)设，连接，由(1)得平面，则即为直线和平面所成角的平面角，又平面，所以，在中，所以，又，所以，即直线和平面所成的角为例6)如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，是的中点(1)求证：平
6、面；(2)求直线与平面所成角的正弦值【解析】(1)连接，交于点，连接，四边形为菱形，为中点，又为中点，平面，平面，平面.(2)取中点，连接，为等边三角形，又为中点，；平面，平面，平面，平面，即为直线与平面所成角，又，即直线与平面所成角的正弦值为.题型三：二面角例7)如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，.(1)在线段AC上是否存在点F，使得平面?如果存在，求出AF的值；如果不存在说明理由；(2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值.【解析】(1)记中点为M，连结，为正三角形，,则，且.因为平面平面 ，平面平面，平面ACD,所以平面，又因为平面，所以.延长交于点G，则为平面与平面的交线
7、，因为，故，所以B为的中点，取中点F，连结，则，因为平面，平面，所以平面.即线段上存在点F，当时，平面.(2)连结，则为平面与平面的交线，在平面内，过点B作的垂线，垂足为H.连结，因为平面，平面，故,平面，故平面，平面，故,则为平面与平面所成的二面角的平面角.为正三角形，故，则,且,故在中，故，而，故,又因为，所以，即平面与平面所成的锐二面角的正切值为.例8如图，在四棱锥中，底面是菱形(1)若点E是PD的中点，证明：平面；(2)若， ，且平面平面，求二面角的正切值【解析】(1)连接交于M，连接，因为底面是菱形，所以M为的中点，又点E是PD的中点，故为的中位线，故，而平面，平面，故平面；(2)设
8、为的中点，连接，因为，故,因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，而平面，故，底面是菱形，故，作交于N，则，且N为的中点，连接，因为平面，故平面，则即为二面角的平面角，设，则,，则，则，由于为的中点，N为的中点，故，而平面，平面，故，所以，即二面角的正切值为2.例9如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.(1)证明：平面.(2)作出二面角的平面角，并求其大小.【解析】(1)，且，故四边形为平行四边形，故，平面，且平面，故平面.(2)如图所示：是中点，连接，则，故，即，故，平面平面，平面，平面，故为二面角的平面角，故.故二面角的平面角为.例10四棱锥中，平面，四边形为菱形，E
9、为AD的中点，F为PC中点(1)求证：平面；(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角的正弦值【解析】(1)取的中点，连接，因为点为的中点，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；(2)四边形为菱形，为等边三角形，在中，是中点，平面，平面，平面，平面，平面，斜线在平面内的射影为，即是与平面所成角的平面角，平面，平面，在中，在中，平面，平面，在中，与平面所成角的正切值为(3)在平面中，过点作，垂足为，连结，平面，平面，平面，平面，又平面，是二面角的平面角，在中，在中，在中，由余弦定理得，二面角的正弦值为题型四：距离问题例11在斜三棱柱中，是边长为2的正
10、三角形，侧棱，顶点在平面的射影为边的中点求点到平面的距离【解析】设点到平面的距离为因为是边长为2的正三角形，所以，且，因为顶点在平面的射影为边的中点，所以平面，且平面，所以，故，解得.同理可得，故，即.在中，由余弦定理可得，结合可得，所以.根据等体积公式可得，解得.例12在四棱锥中，为等边三角形，(1)证明：平面平面PBC；(2)求点C到平面PAB的距离【解析】(1)证明：取CD的中点E，连接PE，AE，如图，易知，在中，由余弦定理得，则，故，由，同理可得且，故为二面角的平面角，又，则，故，故平面平面ABCD，又CE与AB平行且相等，且，则四边形ABCE为矩形，故又平面ABCD，平面平面，故平
11、面PCD，又平面PBC，则平面平面PBC(2)连接AC，设C到平面PAB的距离为h，由(1)得平面平面PCD，由面面垂直的性质定理，同理可得平面ABCD，即，平面AEP，则平面AEP，又，故平面AEP，平面AEP，故，故，故，解得例13在直角梯形中(如图一)，.将沿折起，使(如图二).(1)求证：平面平面；(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.【解析】(1)取的中点，连接，如图所示：因为，则四边形为正方形，所以，因为，所以.因为，平面，所以平面.又因为平面，所以.因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.(2)取的中点，连接，因为平面，所以平面，又因为平面，所以.因为，所以.因为，平面
12、，所以平面，又因为平面，所以.因为，且，所以，即点 E 到直线 CD 的距离为.题型五：体积问题例14)校联考阶段练习)如图，在正四棱锥中，分别为的中点(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求该四棱锥被平面所截得的两部分体积之比，其中【解析】(1)在正四棱锥中，连接，连接，由正方形，得，由，得平面，则平面，而分别为的中点，即，因此平面，又平面，所以平面平面.(2)设与相交于点，则为的中点，延长交于点，连接，由，得，则为等边三角形，因为平面平面，且为交线，所以到平面的距离等于到直线的距离，在中，由余弦定理得，则，则到直线的距离，直线与平面所成角的正弦值(3)过作于，设，则
13、，由，得，解出，由，得，在中，四棱锥的高，则，四边形的对角线垂直，则，下方几何体体积，所以例15如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且，分别是，的中点(1)求证：平面；(2)设，求三棱锥的体积【解析】(1)证明：在三棱柱中，因为平面，所以平面又平面，所以，因为，为中点，所以，由，平面，所以平面，又平面，所以，设，则在矩形中，故，所以，即，由，平面，所以平面(2)因为为中点，所以例16如图，在正四棱锥中，、分别为中点.(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积.【解析】(1)证明： 连接，四边形为正方形，、分别为中点，又五点共面，平面，平面，平面，(2)在正四棱锥中，连接交于点，连接，则平面，又平面，所以，所以， ，因为，为中点.所以，故.例17如图，三棱锥中，分别是，的中点(1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积【解析】(1)如图，分别取的中点为，连结.因为分别为的中点，所以，且，所以，且.所以，四边形为平行四边形，所以，.因为平面，平面，所以，平面.(2)由已知可得，在中，有，根据余弦定理可知，所
