《第03讲 概率的综合运用（五大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第03讲 概率的综合运用（五大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第03讲 概率的综合运用【题型归纳目录】题型一：古典概型题型二：概率的基本性质题型三：事件的独立性题型四：随机模拟题型五：概率的综合运用【知识点梳理】知识点1、古典概型(1)古典概型考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性可以发现，它们具有如下共同特征：有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概型(2)概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定
2、义事件A的概率P(A).其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数知识点2、概率的基本性质一般地，概率有如下性质：性质1：对任意的事件A，都有P(A)0.性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P()1，P()0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)1P(A)，P(A)1P(B)性质5：如果AB，那么P(A)P(B)性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AB)P(A)P(B)P(AB)知识点3、事件A与B相互独立对任意两个事件A与B，如果P(AB)P(A)P(B)成立，
3、则称事件A与事件B相互独立，简称为独立(1)事件A与B是相互独立的，那么A与， 与B， 与也是否相互独立.(2)相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B).【典例例题】题型一：古典概型例1某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时.(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.【解析】(1)记
4、“甲一次停车不超过1小时”为事件A，“甲一次停车1到2小时”为事件B，“甲一次停车2到3小时”为事件C，“甲一次停车3到4小时”为事件D.由已知得，.又事件A，B，C，D互斥，甲的停车费为6元即甲一次停车不超过1小时，所以，所以甲的停车费为6元的概率为.(2)易知甲、乙停车时长的样本点有，共16个，停车1小时的费用为6元，停车2小时的费用为14元，停车3小时的费用为22元，停车4小时的费用为30元.这16种情况发生的可能性是相等的，而“停车费之和为28元”的样本点有，共3个.所以所求概率为.例2清明期间，某校为缅怀革命先烈，要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动
5、，学生只能选择一种方式参加.已知该中学初一、初二、初三3个年级的学生人数之比为，为了解学生参与“清明祭英烈”活动的方式，现采用分层抽样的方法进行调查，得到如下数据.年级人数方式初一年级初二年级初三年级前往革命烈士纪念馆2a-1810线上网络ab2(1)求，的值；(2)从该校各年级被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生人任选两人，求这两人是同一个年级的概率.【解析】(1)由题可知，解得，；(2)由(1)知，选择网络方式的，初一有3人(分别记为)，初二和初三都是2人(分别记为和)，任取2人有，共21种方法；同一个年级的有共5种方法，故2人是同一年级的概率为.例3某区为了全面提升高中体
6、育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：(1)估计两组测试的平均成绩，(2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率【解析】(1)由田径队的频率分布直方图得：，解得，同理可得其中“田径队”的平均成绩为：，“足球队”的平均成绩为：.(2)“田径队”中90分以上的有(人)，“足球队”中90分以上有(人)所以抽取的比例为，在“田径队”抽取 (人)，记作a，b，c
7、，d；在“足球队”抽取 (人)记作A，B，C从中任选2人包含的基本事件有：ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个，正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，故正、副队长都来自“田径队”的概率为例4随着新课程标准的实施，新高考改革的推进，越来越多的普通高中学校认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观、生活观.某校高一年级1000名学生参加生涯规划知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，学校将初赛成绩分成5组：加以统计
8、，得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计这1000名学生初赛成绩的平均数(同一组的数据以该组区间的中间值作代表)；(2)为了帮学生制定合理的生涯规划学习计划，学校从成绩不足70分的两组学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，然后再从抽取的6人中任意选取2人进行个别辅导，求选取的2人中恰有1人成绩在内的概率.【解析】(1)；(2)根据分层抽样，由频率分布直方图知成绩在和内的人数比例为，所以抽取的6人中，成绩在内的有人，记为，；成绩在内的有人，记为，从6人中任意选取2人，有，共15种可能；其中选取的2人中恰有1人成绩在区间内的有，共8种可能，所以所求概率.例5甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在
9、一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果(a，b)，如果，算甲赢，否则算乙赢(1)求的概率；(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由【解析】(1)摸球结果(a，b)全部可能的结果是(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5
10、，4)，(5，5)，共25种，其中的结果为(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故由古典概型的概率计算公式可得；(2)这种游戏规则不公平，理由如下：设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，由题意事件A包含的基本事件(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共15个，由古典概型的概率计算公式可得，故这种游戏规则不公平题型二：概率的基本性质例6将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6)先后抛掷3次，至少出现1次6
11、点向上的概率是()ABCD【答案】D【解析】将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立，记事件为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”，则为“抛掷3次都没有出现6点向上”，记事件为“第次中，没有出现6点向上”，则，又，所以，所以.故选：D.例7抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为()ABCD【答案】A【解析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和事件A表
12、示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，P(A)，P(B)，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P(AB)P(A)+P(B)，故选：A例8某城市2017年的空气质量状况如下表所示：污染指数3060100110130140概率其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为()ABCD【答案】A【解析】由表知空气质量为优的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为，所以该城市2017年空气质量达到良或优的
13、概率，故选：A例9抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率()ABCD【答案】D【解析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，得到答案.满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，故.故选：.题型三：事件的独立性例10两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A ，而乙带了两名手下和，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒
14、下的一人胜出.决斗开始时，A先向敌方成员开枪，之后若B未倒下，则B向敌方成员开枪，之后按C，A，B，C，A，B，的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是()ABCD【答案】A【解析】对于甲来说，一旦唯一一名手下 A被击毙，则甲方必败，同理，若乙方B、C两名手下被击毙，则乙方必败(题目定义开枪顺序是三名手下轮流开枪，甲与乙不参与开枪)，按照被击中的顺序表示事件，易知甲获胜的方式有如下几种：乙甲甲乙，B甲C，C甲B，B甲乙甲，C甲乙甲，事件概率分别记为，则，所以甲最终获胜的概率是,故选：A例11从高一(男、女生人数相同,人数很多)抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是()ABC事件A与事件B互斥D事件A与事件C对立【答案】B【解析】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确；事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为，D正确；事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与事件含义相同，故，B错误；故选：B.例12某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影
