《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系（教师版）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系【题型归纳目录】题型一：直线与椭圆的位置关系题型二：椭圆的弦题型三：椭圆的综合问题题型四：直线与双曲线的位置关系题型五：双曲线的弦题型六：双曲线的综合问题题型七：直线与抛物线的位置关系题型八：抛物线的弦题型九：抛物线的综合问题【知识点梳理】知识点一：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M(x，y)，若点M(x，y)在椭圆上，则有；若点M(x，y)在椭圆内，则有；若点M(x，y)在椭圆外，则有.直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为
2、关于x或y的一元二次方程，其判别式为.0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：知识点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；0直线和双曲线相离直线和双
3、曲线相离，无公共点直线与双曲线的相交弦设直线交双曲线于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.知识点四、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系将直线的方程与抛物线的方程y2=2px(p0)联立成方程组，
4、消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若 0 直线和抛物线相交，有两个交点；0直线和抛物线相切，有一个公共点；0直线和抛物线相离，无公共点直线与抛物线的相交弦设直线交抛物线于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：抛物线的焦点弦问题已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： 焦点弦长，其中|AF|叫做焦半径，焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。【典例例题】题型一：直线与椭圆的位置关系例1若直线与椭圆有且只有一公共
5、点，那么的值为()ABCD【答案】C【解析】因为方程表示的曲线为椭圆，则，将直线的方程与椭圆的方程联立，可得，则，解得.故选：C.例2已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为()A相交B相切C相离D不确定【答案】A【解析】对于直线，整理得，令，解得，故直线过定点.，则点在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选：A.题型二：椭圆的弦例3已知椭圆的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，则_【答案】【解析】已知椭圆，则，所以椭圆的左焦点为,因为直线倾斜角为，所以直线的斜率，则直线的方程为.联立，消去，整理得，解得故答案为：.例4椭圆的焦点为、，过O作直线交椭圆于A、B两点，若的面积
6、为20，则直线AB的方程为_【答案】或【解析】由直线AB关于原点对称以及椭圆关于原点对称可知，从而过点A作AH垂直于x轴，垂足为H，则，即点A的纵坐标为，代入椭圆方程解得A的横坐标为，即点A的坐标为或或或因此直线AB的方程为或故答案为：或题型三：椭圆的综合问题例5已知椭圆：()上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程【解析】(1)由椭圆的定义知，又椭圆的离心率，椭圆的标准方程为.(2)为椭圆内一点，直线与椭圆必交于，两点，设，当时，不合题意，故，为线段的中点，又，均在椭圆上，两式相减，得，即，即，直线的方程
7、为，即题型四：直线与双曲线的位置关系例6直线与双曲线相交，有且只有1个交点，则双曲线的离心率为()ABCD【答案】A【解析】因为直线与双曲线：相交，且有且仅有1个交点,所以直线与双曲线：的渐近线平行，故，则双曲线的离心率.故选：A例7若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有()A条B条C条D条【答案】C【解析】直线，即恒过点，又双曲线的渐近线方程为，则点在其中一条渐近线上，又直线与双曲线只有一个交点，则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切，即满足条件的直线有条.故选：C题型五：双曲线的弦例8已知双曲线：的左右顶点分别为，点，在双曲线上(1)求直线，的斜率之积；(2)若直线MN的斜
8、率为2，且过点，求的值【解析】(1)设，由双曲线：可得，故， 即.(2)直线，设由可得，即，故.题型六：双曲线的综合问题例9已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点(1)求双曲线的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值【解析】(1)由题设可知，解得则：(2)设点M的横坐标为当直线斜率不存在时，则直线：易知点到轴的距离为当直线斜率存在时，设：，联立，整理得，整理得联立，整理得，则，则，即则，即此时点到轴的距离大于2；综上所述，点到轴的最小距离为2题型七：直线与抛物线的位置关系例10过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，
9、它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条 B有且只有两条 C有且只有三条 D有且只有四条【答案】B【解析】根据题意，抛物线的焦点坐标为，设，若直线的斜率不存在，则，不符合题意，若直线的斜率存在，设直线方程为，联立，可得，由题意得，解得，所以此时有两条直线满足题意，综上所述，符合题意得直线有且只有两条.故选：B.题型八：抛物线的弦例11过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为_.【答案】【解析】由抛物线的焦点弦长公式可知，.由抛物线方程，可得，又，所以弦的长为.故答案为： .例12已知抛物线的焦点为，过的弦满足，则的值为_【答案】【解析】如图，由，分别向抛物线的准线作
10、垂线，垂足为，设直线与抛物线的准线交点为，抛物线的准线与轴交于点，则，设()，则，由抛物线的定义，易知，又易知，.故答案为：.题型九：抛物线的综合问题例13已知抛物线是抛物线上的点，且.(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程.【解析】(1)由题意，在抛物线中，由几何知识得，解得：，故抛物线的方程为：.(2)由题意及(1)得，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则，两式相减得，整理得，因为的中点为，直线的方程为：，即，经检验，满足题意.例14已知抛物线的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4(1)求抛物线E的标准方程；(2)已知的三个顶点都在抛物线E上，顶点，重心恰
11、好是抛物线E的焦点F求所在的直线方程【解析】(1)由题意得，抛物线方程为：(2)设，由重心坐标公式得，CD中点坐标为，两式相减得，方程：，方程：.【过关测试】一、单选题1已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为()ABCD【答案】C【解析】设,则，相减得，由于,所以，所以,将其代入中可得，所以 ,故,故选：C2椭圆mx2ny21与直线y1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于()ABCD【答案】B【解析】设，M、N中点为D ，则，由题意得：因为M、N在椭圆上，则，两式相减整理得，.故选：B.3过点的直线与双曲线相交于两点，若是
12、线段的中点，则直线的方程是()ABCD【答案】A【解析】设，则，两式相减得直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，经检验此时与双曲线有两个交点.故选：A4在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则()A1B3C2D【答案】A【解析】因为点，在椭圆上，所以，因为直线，的斜率之积为，所以，可得，化简得，则.故选：A.二、填空题5设P是双曲线右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则的值为_【答案】【解析】渐近线方程为，设，则，所以由点到直线的距离公式有，.故答案为：6过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是_【答案】【解析】由题意知，抛物线焦点
13、坐标为，从而设直线AB的方程为，联立方程，得，.所以.故答案为：.7已知双曲线C：的左、右焦点分别为，其中与抛物线的焦点重合，点P在双曲线C的右支上，若，且，则的面积为_.【答案】【解析】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以，设，则，因为，所以，则，解得，所以，.故答案为：三、解答题8已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离大1.(1)求曲线的方程；(2)若直线与曲线交于，两点，求证：.【解析】(1)设动点，动点到点的距离比它到直线的距离大，即动点到点的距离等于它到直线的距离，两边平方，化简可得.(2)设、，由，消去得，则，所以，所以，所以，即.9已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，求证：为定值.【解析】(1)由题意得：且，得，所以椭圆的方程为.(2)证明：由椭圆方程可知，设，则且；则，则，所以为定值.第 12 页 共 12 页
