《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第08讲 直线的方程（学生版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第08讲 直线的方程（学生版）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第08讲 直线的方程【题型归纳目录】题型一：点斜式直线方程题型二：斜截式直线方程题型三：两点式直线方程题型四：截距式直线方程题型五：中点坐标公式题型六：直线的一般式方程题型七：直线方程的综合应用题型八：判断动直线所过定点题型九：直线与坐标轴形成三角形问题【知识点梳理】知识点一：直线的点斜式方程方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式知识点诠释：1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；2、当直线的倾斜角为时，直线方程为；3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示这时直
2、线方程为：4、表示直线去掉一个点；表示一条直线知识点二：直线的斜截式方程如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式知识点诠释：1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式4、斜截式的前提是直线的斜率存在斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截
3、距知识点三：直线的两点式方程经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式知识点诠释：1、这个方程由直线上两点确定；2、当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程3、直线方程的表示与选择的顺序无关4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式知识点四：直线的截距式方程若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程a叫做直线在x轴上的截距，b
4、叫做直线在y轴上的截距知识点诠释：1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距知识点五：直线方程几种表达方式的选取在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积
5、或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏知识点六：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线我们把方程写为，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式知识点诠释：1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程知识点七：直线方程的不同形式间的关系名称方程的形
6、式常数的几何意义适用范围点斜式是直线上一定点，是斜率不垂直于轴斜截式是斜率，是直线在y轴上的截距不垂直于轴两点式，是直线上两定点不垂直于轴和轴截距式是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距不垂直于轴和轴，且不过原点一般式、为系数任何位置的直线直线方程的五种形式的比较如下表：知识点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件直线方程的一般式包含了平面
7、上的所有直线形式一般式常化为斜截式与截距式若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同知识点八：直线方程的综合应用1、已知所求曲线是直线时，用待定系数法求2、据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同(1)从斜截式考虑已知直线，；于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为(2)从一般式考虑：且或，记忆式()与重合，于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为【典例例题】题型一：点斜式直线方程例1已知直线的方程是，则()A直线经过点，斜率为-1B直线经过点，斜率为-1C直线经过点，斜率为-1D直线经过
8、点，斜率为1例2过点且倾斜角为150的直线l的方程为()A B C D题型二：斜截式直线方程例3写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是，在轴上的截距是；(2)倾斜角为，在轴上的截距是；(3)倾斜角为，在轴上的截距是题型三：两点式直线方程例4在中，已知点，求边上中线所在直线的两点式方程题型四：截距式直线方程例5已知ABC中，A(1，4)，B(6，6)，C(2，0).求：(1)ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程.题型五：中点坐标公式例6直线过点且与轴轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为_.例7已知点，
9、线段PQ的中点为，则直线PQ的方程为_.题型六：直线的一般式方程例8已知的三个顶点坐标为，则BC边上的中线AE所在直线的一般方程为_例9写出过点，且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程_.题型七：直线方程的综合应用例10已知的三个顶点分别是A(4，0)，B(6，6)，C(0，2)(1)求BC边上的高所在直线的方程；(2)求AB边的垂直平分线所在直线的方程例11已知的顶点，.(1)求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程；(2)求角的角平分线所在直线的一般式方程.题型八：判断动直线所过定点例12已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为_.例13无论为何值，直线必过定点坐标为_题型
10、九：直线与坐标轴形成三角形问题例14已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：(1)时，求直线l的方程(2)当的面积最小时，求直线l的方程例15已知直线的方程为：(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程【过关测试】一、单选题1经过点，且与直线垂直的直线方程为()ABCD2过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()ABCD或3过点，且与原点距离最远的直线方程为()ABCD4设、是轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为()ABCD5已知直线过定点P
11、，若点P在直线上，且，则的最小值为()A1B2C3D4二、填空题6经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为_7已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为_.8已知点到直线的距离为d，则d的最大值是_9设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值是_.三、解答题10已知的三个顶点，求：(1)边上的高所在直线的方程；(2)的垂直平分线所在直线的方程11已知直线(1)求直线过定点的坐标； (2)当直线时，求直线的方程；(3)若交轴正半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求最小值时直线的方程12已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点(1)若的面积为4，求直线l的方程；(2)求的最小值，并求此时直线l的方程；(3)求的最小值，并求此时直线l的方程第 9 页 共 9 页
