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1、第11讲 直线与圆、圆与圆的位置关系【题型归纳目录】题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标题型三：切线与切线长问题题型四：弦长问题题型五：判断圆与圆的位置关系题型六：由圆的位置关系确定参数题型七：公共弦与切点弦问题题型八：公切线问题题型九：圆中范围与最值问题题型十：圆系问题【知识点梳理】知识点一：直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点2、直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解如果有解，直
2、线与圆C有公共点有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离(2)几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离知识点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线
3、的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决知识点二：圆的切线方程的求法1、点在圆上，如图法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即法二：圆心到直线的距离等于半径2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上常见圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程是；(2)过圆上一点的切线方程是知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法
4、2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长知识点四：圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点2、圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离(2)几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含知识点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比
5、较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法3、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种(1)两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；(2)两圆外切时，有2条外公切线和1
6、条内公切线，共3条；(3)两圆相交时，只有2条外公切线；(4)两圆内切时，只有1条外公切线；(5)两圆内含时，无公切线【典例例题】题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系例1直线与圆的位置关系为()A相交B相切C相离D与的值有关【答案】A【解析】直线，即，因此直线恒过定点，因，即点A在圆内，所以直线与圆相交.故选：A例2已知直线与圆，则下列说法错误的是()A对，直线恒过一定点B，使直线与圆相切C对，直线与圆一定相交D直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为【答案】B【解析】直线，即，令，解得，即直线恒过定点，故A正确；圆，即圆，圆心，半径，则，即点在圆内，所以直线与圆一定相交，故B错误，
7、故C正确，当时直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，最短弦长，故D正确，故选：B.题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标例3直线与圆没有公共点，则的取值范围是()A或BCD或【答案】A【解析】因为圆 的圆心为，半径为，则点到直线的距离大于，即或；故选：A.例4关于的方程有两解，则k的范围为()A B C D【答案】C【解析】根据题意可知，表示的直线恒过定点，对两边同平方并移项得，则表示的是圆的上半部分，若关于的方程有两解，即直线与上半圆有两个交点，画出图象如下图所示：易知，定点，即两点之间的斜率，同理，当直线从位置绕点沿顺时针方向旋转到位置时满足题意，所以需满足，即.故选：
8、C题型三：切线与切线长问题例15圆在点处的切线方程为_.【答案】【解析】设圆的圆心，点将代入圆的方程成立，所以在圆上，与切线垂直，所以切线斜率，切线方程为，即.故答案为：例6由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为_【答案】【解析】设过点的切线与圆相切于点，连接，则，圆的圆心为，半径为，则，当与直线垂直时，取最小值，且最小值为，所以，即切线长的最小值为.故答案为：.例7已知圆，直线，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为_【答案】【解析】由题知，M：，圆心为，半径，圆心到直线上的点的最短距离为，所以切线长，故四边形的面积的最小值为.故答案为：.题型四：弦长问题例8若直
9、线与圆相交于两点，则弦的长为_【答案】【解析】由圆的方程得：圆心为，半径，圆心到直线的距离，.故答案为：.例9圆的一条弦以点为中点，则该弦的斜率为 _【答案】/-0.5【解析】将配方得，圆心为，弦以点为中点，该弦的斜率为故答案为：例10设为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则_.【答案】1或3【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，直线的一般方程为，所以圆心到直线的距离，因为，所以，化简可得，解得或故答案为：-1或3.题型五：判断圆与圆的位置关系例11圆与圆的位置关系是()A外离B外切C相交D内切【答案】C【解析】两圆化为标准形式，可得与圆，可知半径，于是，而，故两圆相交，故选：.例12已
10、知圆与圆，则圆与圆的位置关系为()A相交B外切C外离D内含【答案】A【解析】因为圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，所以，易知，所以圆与圆相交.故选：A.题型六：由圆的位置关系确定参数例13已知圆：和圆：外切，则实数m的值为_.【答案】3【解析】圆的标准方程为.圆：， .又两圆外切，解得m=3.故答案为：3例14已知圆，以点为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为_【答案】【解析】由题知的圆心为，两圆心的距离因为两圆有公共点，即相交或相切，所以，解得故答案为：题型七：公共弦与切点弦问题例15已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为_.【答案】【解析】圆：的圆心坐标为，因为圆过圆的
11、圆心，所以，所以，所以：，两圆的方程相减可得相交弦方程为.故答案为：.例16已知圆和圆，则圆与圆的公共弦的弦长_【答案】【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以，满足两圆相交有公共弦，两圆公共弦所在直线方程为两圆方程作差得：，即，所以圆心到直线的距离，则公共弦长为.故答案为：.例17过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_.【答案】【解析】根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则，则以为圆心，为半径为圆为，即圆，为两圆的公共弦所在的直线，则有，变形可得：；即直线的方程为，故答案为：题型八：公切线问题例18已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围_【答案】【解析
12、】由，即，可知圆的圆心为，半径为；因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交，则，解得：，即的取值范围是.故答案为：.例19已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是_【答案】【解析】圆，即，圆心为，半径.圆，即，圆心为，半径.圆心角，所以两圆相内切.由解得，所以两圆切点的坐标为，所以公切线的斜率为，所以公切线的方程为.故答案为：题型九：圆中范围与最值问题例20圆上恰好有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】把圆的方程化为标准式为，所以圆心坐标为，半径则圆心到直线的距离，由题意得，即，即解得：或，即实数的取值范围为 ，故答案为：.例21设圆：上有且仅有两个点到直线的距离等于,则圆半径
13、的取值范围是_.【答案】【解析】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于，所以，即，所以.故答案为：例22已知圆： ，为圆上任一点，则的最大值为_.【答案】【解析】设，则，即直线方程为，因为为圆上任一点，则圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值为，故答案为：.题型十：圆系问题例23已知圆：与：相交于A、B两点(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线yx上，且经过A、B两点的圆的方程；(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程【解析】(1)将两圆方程相减得x2y40，此即为所求直线方程(2)设经过A、B两点的圆的方程为(为常数)，则圆心坐标为；
14、又圆心在直线yx上，故，解得，故所求方程为(3)由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小两圆心所在直线方程为2xy30，与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为故面积最小的圆的方程为【过关测试】一、单选题1直线被圆截得的弦长为1，则半径()ABC2D【答案】B【解析】圆心到直线的距离为，所以，故，故选：B2已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程()ABCD【答案】D【解析】将两个圆的方程相减，得3x4y60.故选：D.3已知，圆，圆， 若直线过点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为()ABCD【答案】A【解析】设直线的方程为，由直线与圆相切，则，解得，即，即直线的方程为，又圆的圆心坐标为，半
