《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第9讲 直线的交点坐标与距离公式（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第9讲 直线的交点坐标与距离公式（教师版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第9讲 直线的交点坐标与距离公式【题型归纳目录】题型一：判断两直线的位置关系题型二：过两条直线交点的直线系方程题型三：交点问题题型四：对称问题题型五：两点间的距离题型六：点到直线的距离题型七：两平行直线间的距离题型八：距离问题的综合灵活运用题型九：线段和与差的最值问题【知识点梳理】知识点一：直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标知识点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数知识点二：过两条直线交点的直线
2、系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数由于参数取法不同，从而得到不同的直线系过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线知识点三：两点间的距离公式两点间的距离公式为知识点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应
3、用，需熟练掌握知识点四：点到直线的距离公式点到直线的距离为知识点诠释：(1)点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；(2)使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；(3)此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等知识点五：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；距离公式：直线与直线的距离为知识点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是
4、两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式【典例例题】题型一：判断两直线的位置关系例1曲线与的交点的情况是()A最多有两个交点B两个交点C一个交点D无交点【答案】A【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点当时，得到，与曲线只有一个交点所以曲线与的最多有两个交点故选：A题型二：过两条直线交点的直线系方程例2过两直线和的交点和原点的直线方程为()A3x-19y=0 B19x-3y=0 C19x+3y=0 D3x
5、+19y=0【答案】D【解析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，解得，故所求直线方程为，即.故选：D.例3经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为()ABC或D或【答案】C【解析】设直线方程为，即令，得，令，得.由，得或.所以直线方程为或.故选：C.题型三：交点问题例4若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是()A或BCD【答案】D【解析】联立得，因为直线与直线的交点位于第一象限，所以，解得.故选：D例5若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为()ABCD【答案】C【解析】若直线与直线平行或重合，则，解得，若直线与直线相交，可得且，则有：联立
6、方程，解得，即交点坐标，由题意可得：，解得；综上所述：k的取值范围为.故选：C.题型四：对称问题例6已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为()A B C D【答案】C【解析】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，则，即点A坐标为.故选：C例7已知直线与直线关于轴对称，且直线过点，则()ABCD【答案】A【解析】点关于轴的对称点的坐标为，由题意可知，直线过点，则，解得.故选：A.题型五：两点间的距离例8已知，则BC边上的中线AM的长为_.【答案】【解析】设BC的中点为，因为所以，所以，所以.故答案为：.例9在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)间的距离为13，
7、则Q点的坐标为_【答案】或/或【解析】设，则有，解得或.即或.故答案为：或.题型六：点到直线的距离例10已知动点在直线上，则的最小值为_.【答案】2【解析】因为表示动点到坐标原点，所以的最小值为到线的距离.故答案为：2.例11已知实数x，y满足，那么的最小值为_【答案】【解析】方程表示直线，表示该直线上的点与定点的距离，所以的最小值是点到直线的距离.故答案为：例12若点A在直线上，且点A到直线的距离为，则点A的坐标为_.【答案】或【解析】依题意，设点A的坐标为，则有，解得或.故答案为：或.题型七：两平行直线间的距离例13若两条平行直线与之间的距离是，则_【答案】3【解析】因为直线与平行，所以，
8、解得且，所以直线为，直线化为，因为两平行线间的距离为，所以，得，因为所以，得，所以，故答案为：3题型八：距离问题的综合灵活运用例14函数的最小值是_.【答案】5【解析】因为，设，则表示点到点，两点的距离之和，即，点是轴上的点，则点关于轴的对称点为，则，所以，所以的最小值是.故答案为：题型九：线段和与差的最值问题例15已知点，点在轴上，点在直线上，则的周长的最小值为_【答案】【解析】设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，如图所示，连接交于点，交轴于点，由对称性可知，所以，当且仅当、四点共线时，等号成立，因为点与关于直线对称，所以，解得，所以因为与关于轴对称，所以，所以的周长的最小值为故答案
9、为：.例16已知为直线：上一点，点到和的距离之和最小时点的坐标为_.【答案】【解析】点在直线的同侧，设点关于的对称点为解得，即由题意，点为直线与的交点直线的方程为：故点的坐标为故答案为：【过关测试】一、单选题1已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是()A1B2CD【答案】D【解析】由题意知，直线：恒过定点，直线：恒过定点，如图所示，过作的垂线段，垂足为，那么必有，当且仅当与重合时取等号，从而的最大值为，即点到直线：距离的最大值是.故选：D.2若直线与之间的距离为，则a的值为()A4BC4或D8或【答案】C【解析】将直线化为，则直线与直线之间的距离，根据题意可得：，即，解得或，所以a的值为
10、或.故选：C3若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是()A B C D【答案】D【解析】由方程组，解得，即两直线的交点坐标为，因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得，即实数的取值范围为.故选：D.4两条平行直线与间的距离为()AB2C14D【答案】D【解析】由距离公式可知，所求距离为.故选：D二、填空题5直线与直线平行，则_.【答案】2【解析】法一：两直线平行，则；法二：两直线平行，则,故答案为：.6将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点的坐标是_【答案】【解析】依题意，点与点关于折痕所在直线对称，则折痕所在直线的方程为，因此点关于直线的对称点为，所以与点重合的点的坐标
11、是.故答案为：7已知点和，P为直线上的动点，则的最小值为_【答案】【解析】由题意可得点与在直线的同侧，故设点关于的对称点.则有，解得，则.当点为和直线交点时，即三点共线时，最小，最小值为.故答案为：.三、解答题8在中，边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为.(1)求点的坐标;(2)求直线的方程;(3)求点的坐标.【解析】(1)直线和直线的交点是，即点的坐标为.(2)因为直线为BC边上的高，由垂直关系得，所以直线的方程为，即.(3)因为角的平分线所在直线的方程为，所以，设点的坐标为，则，解得，即点C的坐标为.9已知直线的方程为，若直线过点，且.(1)求直线和直线的交
12、点坐标；(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线的方程.【解析】(1)因为直线过点，且，所以直线的方程为，即，联立，解得，所以直线和直线的交点坐标为；(2)当直线在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为，当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为，因为直线过，所以，所以，此时直线方程为，即，综上直线的方程为或.10已知ABC三个顶点的坐标分别为，线段AC的垂直平分线为l. (1)求直线l的方程;(2)点P在直线l上运动，当|AP|+|BP|最小时，求点P的坐标.【解析】(1)因为直线AC的斜率为，所以直线l的斜率为.因为AC的中点为，所以直线l的方程为，即.(2)点A与点C关于直线l对称，又点P在线段AC垂直平分线上，所以，当点P位于直线BC与l交点处时，取最小值，则取最小值.由得直线BC的方程为，即，联立方程，解得，所以点P的坐标为.第 10 页 共 10 页
