《第04讲 空间向量及其运算（七大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第04讲 空间向量及其运算（七大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第04讲 空间向量及其运算【题型归纳目录】题型一：空间向量的有关概念及线性运算题型二：共线向量定理的应用题型三：共面向量及应用题型四：空间向量的数量积题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度题型七：利用空间向量的数量积证垂直【知识点梳理】知识点一：空间向量的有关概念1、空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量(2)长度或模：空间向量的大小(3)表示方法：几何表示法：空间向量用有向线段表示；字母表示法：用字母a，b，c，表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或|.知识点诠释：(1)空间中点的一个平移就是一个向量；
2、(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2、几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：a的相反向量：相等向量相同相等ab知识点二：空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法ab减法ab加法运算律交换律：abba结合律：(ab)ca(bc)(2)空间向量的数乘运算定义：实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，a与向量a方向相同；当0时，a与向量a方向相反；当0时，a0；a的长度是a的长度的|倍运算律结合律：(a)(a
3、)()a.分配律：()aaa，(ab)ab.知识点诠释：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则(3)空间向量加法的运算的小技巧：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；知识点三：共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，
4、则这些向量叫做共线向量或平行向量(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使ab.(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得a.知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：(1)存在唯一实数，使得；(2)存在唯一实数，使得，则注意：不可丢掉，否则实数就不唯一(3)共线向量定理的用途：判定两条直线平行；(进而证线面平行)证明三点共线。注意
5、：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。知识点四：向量共面问题共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使xy或对空间任意一点O，有xy.(4)共面向量定理的用途：证明四点共面线面平行(进而
6、证面面平行)。知识点五：空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.即ab|a|b|cosa，b规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)abab0.aa|a|a|cosa，a|a|2.cosa，b.(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(a)b(ab)a(b)交换律abba分配律a(bc)abac知识点诠释：(1)由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同(2)两向
7、量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定(3)两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆知识点六：利用数量积证明空间垂直关系当ab时，ab0.知识点七：夹角问题1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。知识点诠释：(1)规定:(2)特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。2、利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选
8、取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。知识点八：空间向量的长度1、定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：将其推广：；。2、利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。【典例例题】题型一：空间向量的有关概念及线性运算例1在平行六面体中，与向量相等的向量共有()A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】由图
9、，与向量大小相等，方向相同的向量有共3个.故选：C例2下列关于空间向量的说法中正确的是()A方向相反的两个向量是相反向量B空间中任意两个单位向量必相等C若向量满足，则D相等向量其方向必相同【答案】D【解析】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确；故选：D.例3下列关于空间向量的说法中错误的是()A零向量与任意向量平行B任意两个空间向量一定共面C零向量是任意向量的方向向量D方向相同且模相等的两个向量是相等向量【答案】C【解析】由已知，选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量
10、平行，该选项正确；选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确；选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误；选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.故选：C.例4如图，在四面体OABC中，点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则()ABCD【答案】D【解析】如图，连接，是的中点，故选：例5如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，用，表示，则()ABCD【答案】A【解析】因为是的中点，分别是，的中点，所以.故选：A例6四面体中，是的中点，是的中点，设，则()ABCD【答案
11、】C【解析】因为，所以，因为Q是的中点，所以，因为M为PQ的中点，所以，故选：C.题型二：共线向量定理的应用例7已知空间向量，且，则一定共线的三点是()ABCD【答案】C【解析】，又与过同一点B， A、B、D三点共线故选：C例8若，E为空间中不在直线CD上的任意一点，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交B平行C在平面内D平行或在平面内【答案】D【解析】因，则有直线AB与直线CD平行或重合，而点E不在直线CD上，即点E、直线CD确定平面CDE，若直线AB与直线CD平行，当点E在直线AB上时，直线AB在平面CDE内，当点E不在直线AB上时，平面CDE，平面CDE，于是得平面CDE，若直线A
12、B与直线CD重合，则直线AB在平面CDE内，所以直线AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.故选：D例9如果空间向量不共线，且，那么的值分别是()ABCD【答案】C【解析】由题意可知空间向量不共线，且，即，则，即，故选：C.例10若空间向量不共线，且，则()A6B12C18D24【答案】C【解析】空间向量不共线，要使，则故选：C例11满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是()ABCD【答案】C【解析】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误；若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误；，则A、B、C三点共线，选项C正确；，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三
13、点共线，选项D错误；本题选择C选项.例12当，且不共线时，与的关系是()A共面B不共面C共线D无法确定【答案】A【解析】根据平行四边形法则可得，以，为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为，所以与共面.故选：A.题型三：共面向量及应用例13下面关于空间向量的说法正确的是()A若向量平行，则所在直线平行B若向量所在直线是异面直线，则不共面C若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面D若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面【答案】D【解析】向量平行，所在直线可以重合，也可以平行，A错误；可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC错误；显然AB，AC，AD是空间中有公共端点A，但不共面的三条线段，所以向量，不共面，D正确.故选：D例14已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是()A点是唯一的，且一定与共面B点不唯一，但一定与共面C点是唯一的，但不一定与共面D点不唯一，也不一定与共面【答案】A【解析】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使，因为，所以，所以共面，所以四点共面，因为，所以，所以点唯一.故选：A.例15在下列条件中，能使与，一定共面的是()ABCD【答案】C【解析】空间向量共面定理，若，不共线，且，共面，则其充要条件是；对于A，因为，所以不能得出，四点共面；对于
