《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第14讲 抛物线（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第14讲 抛物线（教师版）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第14讲 抛物线【题型归纳目录】题型一：抛物线的定义题型二：求抛物线的标准方程题型三：抛物线的综合问题题型四：轨迹方程题型五：抛物线的几何性质题型六：抛物线中的范围与最值问题题型七：焦半径问题【知识点梳理】知识点一：抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线知识点诠释:(1)上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值(2)定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定
2、义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.知识点二：抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，。知识点诠释：只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向(向下)抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的
3、类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。知识点三：抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程的几何性质范围：，抛物线y2=2px(p0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性：关于x轴对称抛物线y2=2px(p0)关于x
4、轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：坐标原点抛物线y2=2px(p0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0，0)。抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程y2=2px(p0)y2=2px(p0)x2=2py(p0)x2=2py(p0)顶点O(0，0)范围x0， x0，y0，y0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径知识点诠释：(1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；(2)标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常
5、常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.【典例例题】题型一：抛物线的定义例1若P为抛物线y2=2px(p0)上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为()A相交B相离C相切D不确定【答案】C【解析】如图所示，设的中点，作轴、轴分别交轴于点，由抛物线的定义，可得，又由梯形的中位线的性质，可得，所以以为直径的圆与轴相切.故选：C.例2已知抛物线的焦点为F，是C上一点，则()A1B2C3D4【答案】C【解析】依题意知，焦点，由定义知：，所以，所以故选：C.题型二：求抛物线的标准方程例3若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准
6、方程为()ABCD【答案】A【解析】到其准线的距离为，故抛物线方程为，故选：A例4已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为()ABCD【答案】D【解析】因为抛物线的焦点为在y轴上，令x2=2py(p0)且，得所以抛物线的标准方程为.故选：D题型三：抛物线的综合问题例5(多选题)已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，则下列结论正确的()A点的坐标为B若直线经过焦点，则C若，则线段的中点到轴的距离为D若直线经过焦点且满足，则直线的倾斜角为【答案】BC【解析】抛物线的焦点为,故A错误；过作直线交抛物线于两点，显然的斜率存在，设的方程为，与联立消去整理得0恒成立.设，则，故B正确；，根据抛物线定义得，则
7、，而由中点坐标公式得点P的纵坐标，即为点P到x轴的距离为，故C正确；由得，又当解得：，则直线的倾斜角为，当，解得：，则直线的倾斜角为， 故D错误.故选：BC设，则，当时，取得最小值为，故C错误；则，当在线段的延长线上时，等号成立，故D正确.故选：ABD.题型四：轨迹方程例6已知圆的方程为，若抛物线过点A(1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为()ABCD【答案】C【解析】设切点为(a，b)，则切线为：，即，当时也成立，设焦点(x，y)，由抛物线定义可得：，-得，代入得化简可得抛物线的焦点轨迹方程为，(依题意焦点不能与A，B共线，y0)故选：C例7已知抛物线C：y2
8、8x的焦点为F，点P是抛物线C上一动点，则线段FP的中点Q的轨迹方程是()ABCD【答案】A【解析】设Q(x，y)，P(x1，y1)，则，又F(2，0)，由Q为PF的中点，得从而代入，得(2y)28(2x2)，即y24(x1)故选：A题型五：抛物线的几何性质例8已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于两点，线段中点的纵坐标为，则_.【答案】【解析】由抛物线，可得其焦点坐标为，过焦点且倾斜角为的直线方程为，设，联立方程组，整理得，可得，则的中点的纵坐标为，因为线段中点的纵坐标为，可得，解得，又由抛物线的定义可得.故答案为：.例9抛物线在第一象限上一点，满足，为该抛物线的焦点，则直线的斜率为_.
9、【答案】【解析】由题意作图如下：过引抛物线准线的垂线，垂足为，则，所以，在中，所以，所以.故答案为：.题型六：抛物线中的范围与最值问题例10已知点在抛物线上，则点到直线的距离的最小值是_【答案】【解析】因为点在抛物线 上，设点，则点到直线的距离为，当且仅当时，等号成立，所以，即点到直线的距离的最小值为.故答案为：.例11已知点为拋物线上的动点，点为圆上的动点，则点到轴的距离与点到点的距离之和最小值为_.【答案】【解析】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，过点作轴交轴于点，由抛物线的定义可知点到轴的距离即为，圆的圆心坐标为，半径为，故点到轴的距离与点到点的距离之和，根据圆的性质可知点到轴的
10、距离与点到点的距离之和最小值为，当且仅当、四点共线(、在之间)时取等号.故答案为：.题型七：焦半径问题例12过抛物线M：焦点的直线交抛物线M于A，B两点，若线段AB的中点P到M的准线的距离等于9，则_【答案】【解析】因为抛物线M：，所以记抛物线M的焦点为F，抛物线准线方程为，设，则，所以点P到M的准线的距离为，所以，由抛物线定义知：，则故答案为：例13已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，交于两点，且满足，则_.【答案】【解析】抛物线，则，准线方程为，由于，所以是的中点，设，而，所以，将点坐标代入抛物线方程得，不妨设，则.设，由于三点共线，所以，整理得，解得，(舍去)，所以，所以.故答案为：【
11、过关测试】一、单选题1过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则()A1B2C3D4【答案】C【解析】如图所示，由题得，抛物线的准线方程为.所以.故选：C2已知抛物线，直线交该抛物线于两点若线段的中点坐标为，则直线斜率为()ABCD【答案】C【解析】设，则，故，由于线段的中点坐标为，故由抛物线对称性可知斜率存在，即，且，故，即，所以直线的斜率为.故选：C3过抛物线的焦点F作倾斜角为的弦AB，则的值为()ABCD【答案】B【解析】根据抛物线方程得：焦点坐标，直线的斜率为，由直线方程的点斜式方程，设，将直线方程代入到抛物线方程中，得：，整理得：，设，由一元二次方程根与系数的关系得：，所以弦长故
12、选：B二、填空题4抛物线上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为_.【答案】1【解析】抛物线，设点，依题意可知，得，故答案为：5抛物线的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则AHF的面积是_.【答案】【解析】由抛物线的定义可得|AF|=|AH|，直线AF的斜率为，AF的倾斜角为30.直线AH垂直于准线，故AHF为等边三角形.设Am，m0，过F作FMAH于点M，则在FAM中，|AM|=|AF|，解得，故等边三角形AHF的边长|AH|=4，AHF的面积是.故答案为：6已知点F为抛物线的焦点，点P为抛物线上一动点，则的最小值为_【答案】
13、4【解析】如图，过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，由抛物线的定义可知，则，当且仅当共线时等号成立，故的最小值为4.故答案为：4.三、解答题7已知直线l与抛物线C：交于A，B两点(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；(2)若直线l经过点，求的值【解析】(1)设，线段中点设为，则，由题意，抛物线的焦点为，根据抛物线的定义得；(2)当直线斜率不存在时，与抛物线只有一个交点，不符合题意.所以直线斜率必存在，设为，与抛物线联立得：，得，所以.8已知为抛物线的焦点，为抛物线在第一象限上的一点，且轴，(1)求抛物线的标准方程；(2)已知直线与抛物线交于、两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点【解析】(1)因为轴，所以点的坐标为，所以，又，所以，所以抛物线方程为.(2)设的方程为，代入有，设，则，直线与抛物线交于、两点，且以为直径的圆过点，所以，由(1)可得，所以即，所以，所以直线的方程为，即，令，解得，直线恒过点第 11 页 共 11 页
