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1、第11讲 直线与圆、圆与圆的位置关系【题型归纳目录】题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标题型三：切线与切线长问题题型四：弦长问题题型五：判断圆与圆的位置关系题型六：由圆的位置关系确定参数题型七：公共弦与切点弦问题题型八：公切线问题题型九：圆中范围与最值问题题型十：圆系问题【知识点梳理】知识点一：直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点2、直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解如果有解，直
2、线与圆C有公共点有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离(2)几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离知识点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线
3、的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决知识点二：圆的切线方程的求法1、点在圆上，如图法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即法二：圆心到直线的距离等于半径2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上常见圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程是；(2)过圆上一点的切线方程是知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法
4、2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长知识点四：圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点2、圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离(2)几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含知识点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比
5、较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法3、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种(1)两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；(2)两圆外切时，有2条外公切线和1
6、条内公切线，共3条；(3)两圆相交时，只有2条外公切线；(4)两圆内切时，只有1条外公切线；(5)两圆内含时，无公切线【典例例题】题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系例1直线与圆的位置关系为()A相交B相切C相离D与的值有关例2已知直线与圆，则下列说法错误的是()A对，直线恒过一定点B，使直线与圆相切C对，直线与圆一定相交D直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标例3直线与圆没有公共点，则的取值范围是()A或BCD或例4关于的方程有两解，则k的范围为()A B C D题型三：切线与切线长问题例15圆在点处的切线方程为_.例6由直
7、线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为_例7已知圆，直线，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为_题型四：弦长问题例8若直线与圆相交于两点，则弦的长为_例9圆的一条弦以点为中点，则该弦的斜率为 _例10设为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则_.题型五：判断圆与圆的位置关系例11圆与圆的位置关系是()A外离B外切C相交D内切例12已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为()A相交B外切C外离D内含题型六：由圆的位置关系确定参数例13已知圆：和圆：外切，则实数m的值为_.例14已知圆，以点为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为_题型七：公共弦与切点弦问题例15已
8、知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为_.例16已知圆和圆，则圆与圆的公共弦的弦长_例17过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_.题型八：公切线问题例18已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围_例19已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是_题型九：圆中范围与最值问题例20圆上恰好有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是_.例21设圆：上有且仅有两个点到直线的距离等于,则圆半径的取值范围是_.例22已知圆： ，为圆上任一点，则的最大值为_.题型十：圆系问题例23已知圆：与：相交于A、B两点(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线yx上，且经过A、B两点的圆的方程
9、；(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程【过关测试】一、单选题1直线被圆截得的弦长为1，则半径()ABC2D2已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程()ABCD3已知，圆，圆， 若直线过点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为()ABCD4若圆与圆外切，则()A21B19C9D5在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为()A10B12C13D15二、填空题6若直线与圆相切，则实数_7已知圆与圆相交，则它们的公共弦所在的直线方程是 8若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是_三、解答题9已知圆C过点，(1)求圆C的方程；(2)若直线与圆C交于两点A，B，且，求m的值10已知圆，直线.(1)证明：直线和圆恒有两个交点；(2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程.第 9 页 共 9 页
